Kappaleen liike Lagrangen pisteestä L1

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Eräässä toisessa aiheessa sivuttiin Lagrangen pisteitä ja nuo pisteet alkoivat kiinnostaa. Lähinnä miten kappaleen liikerata muotoutuu kun sille annetaan hieman vauhtia Kuuta kohden pisteestä L1. Tuskin on helppoa, ken ties ylivoimaista ratkaista matemaattisesti mutta itse aion hakea ratkaisua numeerisesti simuloimalla. Onkohan tuosta olemassa mitään ratkaisuja.
Sain yllättävän yksinkertaisen kaavan Pisteen L1 laskemiseksi:
1/r² - r/d³ - s/(d-r)² = 0
r = L1-pisteen etäisyys Maan keskipisteestä, d = Maan ja Kuun keskietäisyys ja s = Kuun ja Maan massojen suhde.
Numeerisesti sain r:lle arvoksi 326300 km
Liikeradan ratkaisu onkin sitten hieman haastavampi tehtävä.

Kommentit (14)

Vierailija

Jos nyt ihan tarkkoja ollaan niin yo. kaavaan on lisättävä pieni korjaustermi, koska Kuu ei pyöri Maan painopisteen ympäri vaan molempien yhteisen painopisteen ympäri ja tämä aiheuttaa keskeiskiihtyvyyteen pienen eron.

1/r² - s/x² - r/d³ + s·x/d³ = 0
x = d-r

Tarkemmin laskettuna r = 326380 km

amandrai
Seuraa 
Viestejä205
Liittynyt26.4.2010

Mistä tuo keskimmäinen r/d³-termi tulee? Eikö L1 ole juuri siinä pisteessä missä kuun ja maan gravitaatiovoimat on yhtäsuuret?

korant
Eräässä toisessa aiheessa sivuttiin Lagrangen pisteitä ja nuo pisteet alkoivat kiinnostaa. Lähinnä miten kappaleen liikerata muotoutuu kun sille annetaan hieman vauhtia Kuuta kohden pisteestä L1. Tuskin on helppoa, ken ties ylivoimaista ratkaista matemaattisesti mutta itse aion hakea ratkaisua numeerisesti simuloimalla. Onkohan tuosta olemassa mitään ratkaisuja.
Sain yllättävän yksinkertaisen kaavan Pisteen L1 laskemiseksi:
1/r² - r/d³ - s/(d-r)² = 0
r = L1-pisteen etäisyys Maan keskipisteestä, d = Maan ja Kuun keskietäisyys ja s = Kuun ja Maan massojen suhde.
Numeerisesti sain r:lle arvoksi 326300 km
Liikeradan ratkaisu onkin sitten hieman haastavampi tehtävä.
jussipussi
Seuraa 
Viestejä32622
Liittynyt6.12.2009
korant
Eräässä toisessa aiheessa sivuttiin Lagrangen pisteitä ja nuo pisteet alkoivat kiinnostaa. Lähinnä miten kappaleen liikerata muotoutuu kun sille annetaan hieman vauhtia Kuuta kohden pisteestä L1. Tuskin on helppoa, ken ties ylivoimaista ratkaista matemaattisesti mutta itse aion hakea ratkaisua numeerisesti simuloimalla. Onkohan tuosta olemassa mitään ratkaisuja.
Sain yllättävän yksinkertaisen kaavan Pisteen L1 laskemiseksi:
1/r² - r/d³ - s/(d-r)² = 0
r = L1-pisteen etäisyys Maan keskipisteestä, d = Maan ja Kuun keskietäisyys ja s = Kuun ja Maan massojen suhde.
Numeerisesti sain r:lle arvoksi 326300 km
Liikeradan ratkaisu onkin sitten hieman haastavampi tehtävä.



Loytyisko tuosta PDF.stä apua ( online copy) ..Mulla menee yli hilseen

http://www.cds.caltech.edu/~marsden/boo ... esign.html

Vierailija

En ole jaksanut syventyä tuohon viitteeseen syvällisemmin. Pisteet L1 ... L3 ovat selvät ja onnistuin laskemaan niiden sijainnitkin Maa-Kuu-systeemissä mutta pisteet L4 ja L5 ovat haastavammat. Nimen omaan tasasivuiset kolmiot tuntuvat aika mystisiltä mutta stabiili tila niissä on myös mielenkiintoinen ilmiö. Ainakin tuon kiihtyvyyden suuruus ja suunta on simuloinnilla helppo tarkistaa.
Tuosta L1:stä Kuun suuntaan lähtevä kappale näyttäisi törmäävän kuuhun mutta en vielä luota simulaatiooni täysin.

Vierailija

Kaipa tuo simulaatio oikein näyttää. Ellei alkuvauhtia anna ja kappale on L1:ssä ei se mihinkään lähde. Jos sijoittaa 100 m Kuun suuntaan tai antaa alkuvauhtia niin lähtee kiihtyen kohti Kuuta heilahdellen laajenevalla amplitudilla edestakaisin Maan ja Kuun yhdyssuoran molemmin puolin. Se että kappale alkaa värähdellä voi olla simulaation epätarkkuudsta johtuvaa tai sitten ei.

Vierailija
korant
Kaipa tuo simulaatio oikein näyttää. Ellei alkuvauhtia anna ja kappale on L1:ssä ei se mihinkään lähde.

Käytitkö simulaatiossasi havaintokoordinaatistoa jossa aurinkokunnan painopiste on paikallaan
vaiko
havaintokoordinaatistoa jossa maa_kuu systeemin painopiste on paikallaan ja jättänyt auringon gravitaatiokentän tyystin huomiotta ?

Mikäli arvaan oikein että jälkimmäistä, oletko huomioinut kiihtyvässä koordinaatistosta johtuvat näennäisvoimat, ja jos et, niin oletko tehnyt tästä aiheutuvaa virhearviota tuloksiisi ?

Veikkaisin tämän olevan selvästi suurempaa suuruusluokkaa kuin suhtiksen ja newtonilaisen fysiikan eroista johtuva ja lisäksi vaikuttavan olennaisesti pisteen L1 stabiilisuuteen.

Koska piste L1 on eri etäisyydellä auringosta kuin maa_kuu systeemin painopiste, tulee samalla kiertoajalla auringon ympäri eroa vaadittavaan voimaan radalla pysymiseksi. Huomioitko tätä mitenkään ?
Ilmeisesti et, koska et mainitse tehdäänkö tarkastelua uudenkuun vai täysikuun aikana.

Realistiset ratalaskut eivät valitettavasti ole ihan simppeleitä, ja kun maa_kuu systeemin voimat kompensoituvat (mutta eivät kumoudu) pisteessä L1, tulevat pienetkin erot huomioimatta jätetyissä asioissa näkyviin vaikuttaen lopputulokseen merkittävästi toisin kuin lagrangen pisteiden ulkopuolella kävisi.

Toivotan hyvää itsekuria lähteitä kaivellessa aiheesta, itsehän tuota ei kannata lähteä vääntämään mikäli ei ole jo ennestään alaan perehtynyt. Minulla ei kyllä kärsivällisyyttä siihen riittäisi, kun ei ole työpaikka alalta tähtäimessä.

Vierailija

Kiinnostuin tuosta siksi, että olen aiemmin tehnyt helpohkon 2D-simulaation planeettajärjestelmästä, jossa on aurinkoa kiertämässä 5 planeettaa ja massoiltaan sellaisia, että niiden vaikutus toisiinsa näkyy selvästi. Jos laitan vain yhden planeetan kiertämään, on rata hyvin tarkkaan sama joka kierroksella eli simulaatio on melko tarkka.
Nyt oli tarkoitus simuloida pyörivässä koordinaatistossa Maa-Kuu systeemissä aluetta, jossa Kuu on keskellä ja vasemmassa laidassa L1. Kappaleelle annetaan pieni alkuvauhti ja plotataan sen rata. Tuo edellä mainittu värähtely johtui kyllä huonosta simulaatiosta, tuli varmaan sekoiltua kulmien kanssa. Muutin sitten hieman simulaatiota ikäänkuin Maa.Kuu-painopisteeseen sidotuksi mutta ei pyöriväksi. Kuitenkin sitten systeemiä pyöritetään niin että kuvaus vastaa pyörivän koordinaatiston tapausta eli Maa ja Kuu ovat paikallaan ja vain kappele liikkuu. Näyttää menevän odotusten mukaan eli tietyllä lähtönopeusalueella nippa nappa ohittaa Kuun joka antaa kappaleelle lisävauhtia ja sinkoaa sen takaisin maahan tai Kuun liikesuuntaan tai ulos koko systeemistä.
Aurinkoa en tosiaan ottanut lukuun koska sen vaikutus on hyvin pieni.

Lähtönopeudet 100...1300 m/s Kuuta kohti.
100 (valkoinen) törmää kuuhun
300 (kellertävä) tekee ihmeelliset voltit
1100 ja yli, törmää Kuuhun

Vierailija
teramut
Mistä tuo keskimmäinen r/d³-termi tulee? Eikö L1 ole juuri siinä pisteessä missä kuun ja maan gravitaatiovoimat on yhtäsuuret?

Maan ja kuun gravitaatiovoimat eivät kumoudu Lagrangen pisteissä vaan tarvitaan lisäksi keskeiskiihtyvyyden antava voima eli myös keskipakovoima on kumottava..

Vierailija

Aika ihmeellisiä ratoja saa, kun lisää myös pystysuuntaisen alkunopeuden. Esim. Vx = 70 m/s ja Vy = 200 m/s saadaan seuraava rata, jossa kappale kiertää useita kertoja Kuun ympäri kunnes lopulta törmää siihen.

Vierailija

Vaihdoin yo. kuvan koska se oli virheellinen. Zoomasin simulointialuetta laajemmaksi niin, että myös Maa tuli näkyviin. Kappale ohitti Maan eikä lähtenyt kiertämään sen ympäri kuten olisi pitänyt. Löysin virheen keskipakovoiman lausekkeesta jonka korjasin. Koska L1: etäisyys maasta oli hieman pyöristetty, se ei ollut tarkka ja niinpä kappale lähti itsekseen valumaan maata kohti kiertäen sitä kapeaa ellipsirataa ympäri noin 3 vuorokaudessa. Koska kuvaus on pyörivässä koordinaatistossa rata näyttää "munamaiselta" tai voi muodostaa kahdeksikon jos kappaleen kulmanopeus jää alle Kuun kulmanopeuden.
Lähtönopeudella 400 m/s kappale kiertää Kuun ja sinkoutuu takaisin Maata kohden, kiertää sen, palaa Kuun läheisyyteen ja kiertää sen vastakkaiseen suuntaan. Kappale kiertää jälleen Maan ja sen jälkeen Kuun samaan suuntaan ja jatkaa kiertelyä Maan ympäri.

Vierailija

author="korant" kirjoitti:
Tässä lähtönopeudet näkyvät vasemmassa reunassa, ensin vx (Kuuta kohti) ja sitten pystysuora vy (pyörivässä koordinaatistossa eli Maa-Kuu-systeemiin nähden). keskipakovoiman lausek vaikutti näihinkin ratoihin huomattavasti. Virheellinen lauseke oli kappaleen kehänopeuden mukaan kun piti olla koordinaatiston kehänopeuden mukaan. Näiden pitäisi nyt olla kohtuullisella tarkkuudella oikein.

Vierailija

Minua nämä liikeradat kiehtovat sen verran että laitan vielä yhden kuvan selostuksineen.
Kun kappale lähetetään Lagrangen pisteestä L1 Kuun pyörimissuuntaan, siis kohtisuoraan alkuperäistä suuntaa vastaan, saadaan se kiertämään kuuta samaan suuntaan kuin Kuu kiertää Maata. Keskipakovoiman vetämänä ja impulssimomentin säilymislain mukaisesti kappale pyrkii ulommalle radalle mikä alkaa kaartua vastakkaiseen suuntaan. Kappale ohittaa Kuun melko läheltää alkaen kiertää sitä ellipsiradalla hakeutuen vähitellen ympyräradalle. 11 kierroksen jälkeen ympyrärata alka jälleen lähestyä ellipsiä ja lopulta 21 kierroksen jälkeen kappale sinkoutuu takaisin pisteeseen L1 ja jatkaa edelleen samaa rataa. Ratakäyrä on peilisymmetrinen Maata ja Kuuta yhdistävän suoran suhteen. Vasemmassa ylänurkassa näkyy lähtönopeuden vaaka- ja pystykomponentti Maa-Kuu-systeemin suhteen.

Vierailija

Ei näytä kiinnostavan ketään kun ei minkäänlasta kommenttia tule. Sitäpaitsi nuo uudetkin kuviot meni pieleen. Ei ole tämmöisiä aikoihin tullut laskeskeltua mutta korjasin ja nyt toimii oikein ja tarkasti. Askelvälin pudottaminen sekunnista 0,2 sekuntiin ei muuttanut käyrää pikselinkään vertaa vaikka se kiersi Kuun 5 kertaa ja Maan 22 kertaa ja matkaan meni aikaa noin 460 vuorokautta.
Huomasin myös miksei laskemani L1 ollut tarkka. Siksi että käytin Kuun kiertoaikaa kulmanopeuden laskemiseen ja Maan ja Kuun keskietäisyyttä säteiden määritykseen. Tuo keskietäisyys ei varmaan ollut oikea vaan pitäisi määrittää ympyrä, jonka halkaisija on sama kuin Kuun kiertoradan isoakseli tai sitten on vain laskettava se säde tuon kiertoajan ja Maan painovoiman mukaan.
Joo, heittoa oli lähes prosentti. Wikipedian mukaan Maan ja Kuun keskietäisyys on 384 400 km kun laskemaalla kiertoajan ja gravitaation perusteella tulee 387 931 km. Kuun kiertoradan säde on 383 217 km kun rata oletetaan ympyräksi.

Vierailija

Tässä tehtävässä tuli selkeästi esille näennäisistä nopeuksista ja kiihtyvyyksistä aiheutuvat puuttuvat voimat kuten keskipakoisvoima, joka on lisättävä pyörivästä koordinaatistosta johtuvana. Väärä tulkinta on kuitenkin että tuo voima olisi näennäinen. Voimat ovat aina todellisia ja koordinaatistosta riippumattomia. Sen sijaan epäinertiaalikoordinaatistossa kaikki koordinaatiston määrittelemät suureet eli paikka, nopeus ja kiihtyvyys ovat näennäisiä. Vapaasti liikkuvaan kappaleeseen ei vaikuta mikään Coriolisvoima mutta sen sijaan näennäinen Corioliskiihtyvyys on lisättävä, jotta kappaleen liikerata saadaan oikeaksi.

Uusimmat

Suosituimmat