Polynomiyhtälöiden ratkaisukaava

Seuraa 
Viestejä950
Liittynyt11.12.2010

Mietin tässä eilen, yöllä ja aamulla ratkaisumetodia polynomiyhtälöille. En jaksanut laskematta uskoa, että yli viidennen asteen (täydellisille) yhtälöille ei olisi algebrallista ratkaisua.

No, yhtälö kuin yhtälö voidaan saattaa aina muotoon, jossa korkeimman potenssin kerroin on 1.

Olkoon esimerkiksi kolmannen asteen yhtälö:

[code:3nx62qwy]| x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0
|
| Saatetaan yhtälö muotoon:
|
| (x + k) * (x + p)^2 = 0
|
| Kerrotaan auki, ja saadaan:
|
| x^3 + (2p+k)x^2 + (p^2+2pk)x + p^2k = 0
|
| Muodostetaan yhtälöryhmä:
|
| 2p + k = B
| p^2 + 2pk = C
|
| Kun p ja k ratkaistaan, myös p^2k = D.
|
| Ratkaistaan yhtälöryhmä p:n suhteen, ja
| saadaan:
|
| -3p^2 + 2Bp - C = 0
| ===================[/code:3nx62qwy]

Kun lukija osaa (oletettavasti) itsekin ratkaista saadun yhtälön neliöimällä, päästään käsiksi p:hen ja k:hon, ja sitä myöden alkuperäisen yhtälön juurten ratkaisemiseen.

Nyt neljännen asteen yhtälö saatetaan muotoon:

(x + p)^2 * (x + q)^2 = 0

Ja viidennen asteen yhtälö muotoon:

(x + k) * (x + p)^2 * (x + q)^2 = 0

jne.

Sivut

Kommentit (72)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
Läskiperse
Mietin tässä eilen, yöllä ja aamulla ratkaisumetodia polynomiyhtälöille. En jaksanut laskematta uskoa, että yli viidennen asteen (täydellisille) yhtälöille ei olisi algebrallista ratkaisua.



No onhan se jo laskettu (Abel). Lähde vaikka virheen osoittamisesta tuossa todistuksessa.


Ja viidennen asteen yhtälö muotoon:

(x + k) * (x + p)^2 * (x + q)^2 = 0

jne.




Ja mitä sitten tehdään? Mikä on se ratkaisukaava?

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Läskiperse
Mietin tässä eilen, yöllä ja aamulla ratkaisumetodia polynomiyhtälöille. En jaksanut laskematta uskoa, että yli viidennen asteen (täydellisille) yhtälöille ei olisi algebrallista ratkaisua.

No, yhtälö kuin yhtälö voidaan saattaa aina muotoon, jossa korkeimman potenssin kerroin on 1.

Olkoon esimerkiksi kolmannen asteen yhtälö:

[code:33b1qjny]| x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0
|
| Saatetaan yhtälö muotoon:
|
| (x + k) * (x + p)^2 = 0
|
| [/code:33b1qjny]


Ja tästähän näkee suoraan, että yhtälön juuri on -k ja sitten -p on "kaksinkertainen" juuri eikä 3:n asteen yhtälöllä enempiä juuria olekaan!

Olet todistanut,että jokaisella 3:n asteen yhtälöllä on tällaiset juuret!

Mitenkähän sitten esim. polynomiyhtälöllä (x-1)*(x-2)*(x-3) = 0 voi olla 3 eri juurta,nim. 1,2 ja 3?

Joten:höpö höpö, L-p !

Ohman

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
Ohman
Olet todistanut,että jokaisella 3:n asteen yhtälöllä on tällaiset juuret!



Ei, vaan että tuolla oletuksella voidaan päätyä yhtälöryhmään, jossa on kolme yhtälöä ja kaksi tuntematonta. Sen ratkaisujen olemassaolosta ei mainittu halaistua sanaa - ymmärrettävistä syistä.

Mitenkähän sitten esim. polynomiyhtälöllä (x-1)*(x-2)*(x-3) = 0 voi olla 3 eri juurta,nim. 1,2 ja 3?



Vallan hyvin. Mutta tuo esitetty "ratkaisukaava" alkaa tökkiä. Niin kuin yritettäessä laajentaa sitä viidennen asteen yhtälöihinkin.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Neutroni
Ohman
Olet todistanut,että jokaisella 3:n asteen yhtälöllä on tällaiset juuret!



Ei, vaan että tuolla oletuksella voidaan päätyä yhtälöryhmään, jossa on kolme yhtälöä ja kaksi tuntematonta. Sen ratkaisujen olemassaolosta ei mainittu halaistua sanaa - ymmärrettävistä syistä.

Mitenkähän sitten esim. polynomiyhtälöllä (x-1)*(x-2)*(x-3) = 0 voi olla 3 eri juurta,nim. 1,2 ja 3?



Vallan hyvin. Mutta tuo esitetty "ratkaisukaava" alkaa tökkiä. Niin kuin yritettäessä laajentaa sitä viidennen asteen yhtälöihinkin.



En nyt tiedä pilailetko,vai etkö tosiaan käsittänyt sanomaani. Tarkoitin tietenkin, että L-p:n esitys on virheellinen osoittaessaan, että kolmannen asteen yhtälöllä voi olla vain nuo juuret - k ja - p. Näytin myös esimerkin, missä näin ei ole laita, vaan juuria on kolme erilaista.

Jos et vieläkään tajua sanomaani,ei mahda mitään.

Mutta taisi Galois kääntyä hausdassaan.

Ohman

Läskiperse
Seuraa 
Viestejä950
Liittynyt11.12.2010

No tuossa ratkaisumetodissa pointti on se, että tuntemattomia saadaan aina yksi vähemmän, kun vakion suhteen on olemassa riippuvuus:

Kun p ja k ratkaistaan, myös p^2k = D

Onhan tuo neljännen ja viidennen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat samanlaista rutiinipyörittelyä.

Kenties algebran historiassa tuollaista riippuvuutta vakion suhteen ei ole vain havaittu. Vähän sama asia kuin että:

a^n + b^n = c^n

Jossa n:lle ei löydy ratkaisua, kun se suurempi kuin 2.

Luulin, että jokainen osaa laskea, kun yleinen ja yksinkertaistettu metodi (algoritmi) on annettu. Mutta pitää kaiketi sitten ruveta vääntämään rautalangasta.

Ja ei sillä ole mitään väliä, että juuret sattuvat olemaan:

(x-x1) * (x-x2) * (x-x3) = 0

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
Läskiperse
No tuossa ratkaisumetodissa pointti on se, että tuntemattomia saadaan aina yksi vähemmän, kun vakion suhteen on olemassa riippuvuus:

Kun p ja k ratkaistaan, myös p^2k = D




Tuo pätee (jos se on oikein laskettu, en tarkasta) vain siinä tapauksessa kuin kahden ylimmän yhtälön parista lasketut p ja k toteuttavat myös kolmannen yhtälön. Eli toisin sanoen vain niissä tapauksissa, kun alkuperäinen yhtälö voidaan esittää mainitsemassasi muodossa p:n ja k:n avulla. Yleistä 3. asteen yhtälöä ei voida, vastaesimerkkinä toimii tuo Ohmanin mainitsema.

Luulin, että jokainen osaa laskea, kun yleinen ja yksinkertaistettu metodi (algoritmi) on annettu. Mutta pitää kaiketi sitten ruveta vääntämään rautalangasta.



Ehkä Fieldsin mitalin kera myönnettävä kymppitonnin rahapalkinto korvaa muutaman tunnin rautalangan vääntämisen vaivan.

Ja ei sillä ole mitään väliä, että juuret sattuvat olemaan:

(x-x1) * (x-x2) * (x-x3) = 0




No ratkaise nyt malliksi tuo mainitsemasi yhtälö. Sen jälkeen teet saman 5. asteen yhtälölle, julkaiset sen tieteellisessä paperissa ja jäät odottamaan kunnianosoituksia. Se on matematiikassa aivan samanmoinen temppu kuin osoittaisit, että toisin kuin tähän asti on luultu, 1+1=3 (standardiaritmetiikalla & luonnollisilla luvuilla, on toki olemassa erilaisia matemaattisia viritelmiä, joissa noin on).

Läskiperse
Seuraa 
Viestejä950
Liittynyt11.12.2010
Neutroni
Tuo pätee (jos se on oikein laskettu, en tarkasta) vain siinä tapauksessa kuin kahden ylimmän yhtälön parista lasketut p ja k toteuttavat myös kolmannen yhtälön. Eli toisin sanoen vain niissä tapauksissa, kun alkuperäinen yhtälö voidaan esittää mainitsemassasi muodossa p:n ja k:n avulla.

Jep, laskemani yksi esimerkki näemmä toteutui (kaksoisjuuri), ja yleistin sen heti. Mutta täytyy ruveta tutkimaan yhtälömuunnosta:

(x - k) * (x^2 + bx + c) = 0

Jahka saan mössön laskettua, palaan astialle.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
Läskiperse
Neutroni
Tuo pätee (jos se on oikein laskettu, en tarkasta) vain siinä tapauksessa kuin kahden ylimmän yhtälön parista lasketut p ja k toteuttavat myös kolmannen yhtälön. Eli toisin sanoen vain niissä tapauksissa, kun alkuperäinen yhtälö voidaan esittää mainitsemassasi muodossa p:n ja k:n avulla.

Jep, laskemani yksi esimerkki näemmä toteutui (kaksoisjuuri), ja yleistin sen heti. Mutta täytyy ruveta tutkimaan yhtälömuunnosta:

(x - k) * (x^2 + bx + c) = 0

Jahka saan mössön laskettua, palaan astialle.





Kolmannen asteen yhtälölle se voi onnistua. Ainakin se onnistuu, jos muunnat sen muotoon z^3+pz+q=0 (z-akselin siirrolla), merkkaat z=x+y ja puljaat siitä yhtälöparin.

Mutta jos nyt aiot taistella tuulimyllyjä vastaan, kohdista hyökkäyksesi Abelin ja Ruffinin teoreemaan. Tuolla siitä näkyi olevan joku todistus, joka aukeni ryhmäteoriaa tuntemattomalle osapuilleen samassa mittakaavassa kuin satelliittitekniikka lihotussialle. Jos sinulle käy samoin, huomaa että "en ymmärrä teoriaa, sen on siis pakko olla väärin" ei ole matematiikassa pätevä tapa kumota annettu väite.

Läskiperse
Seuraa 
Viestejä950
Liittynyt11.12.2010

Tuohon ratkaisuun resolventtiyhtälön kautta olen tutustunut jossain R. Nevalinnan kirjassa Johdatus vähän korkeampaan analyysiin.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Kolmannen_ ... kaisukaava

Mutta itse olen sitä mieltä, että on olemassa alempi analyysi, jonka perustalta polynomiyhtälöiden ratkaisualgoritmi pitäisi olla olemassa.

Tässäkin asiassa pitää siis ensin kyseenalaistaa, että Abelilta jäi jotain huomaamatta. Pitää perehtyä ja fundeerata.

Eusa
Seuraa 
Viestejä13406
Liittynyt16.2.2011
Läskiperse
Tässäkin asiassa pitää siis ensin kyseenalaistaa, että Abelilta jäi jotain huomaamatta. Pitää perehtyä ja fundeerata.

Suosittelen kehittämään weaseeliluvut, joihin lukeutuu esim. w1, jonka ominaisuuksia on, että w1^2 = 1 ja w1^4 = -1 tai w2, jonka ominaisuuksia on, että w2^2 = -1 ja w2^4 = 1...

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

myl
Seuraa 
Viestejä224
Liittynyt18.11.2010
Läskiperse
Mutta itse olen sitä mieltä, että on olemassa alempi analyysi, jonka perustalta polynomiyhtälöiden ratkaisualgoritmi pitäisi olla olemassa.

Tässäkin asiassa pitää siis ensin kyseenalaistaa, että Abelilta jäi jotain huomaamatta.




Tämähän on yhtä mielenkiintoista kuin Kreikan konkurssipäivän arvuuttelu.

Tuskin maltan odottaa, että Abelin todistus havaitaan vääräksi ja Suomeen tulee toinen Fieldsin mitali (nimimerkin perusteella oletan että LP on suomalainen).

-myl

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Läskiperse
Tuohon ratkaisuun resolventtiyhtälön kautta olen tutustunut jossain R. Nevalinnan kirjassa Johdatus vähän korkeampaan analyysiin.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Kolmannen_ ... kaisukaava

Mutta itse olen sitä mieltä, että on olemassa alempi analyysi, jonka perustalta polynomiyhtälöiden ratkaisualgoritmi pitäisi olla olemassa.

Tässäkin asiassa pitää siis ensin kyseenalaistaa, että Abelilta jäi jotain huomaamatta. Pitää perehtyä ja fundeerata.




Nimenomaan kyseenalaistaa, perehtyä ja fundeerata. Miksi pohjoismaiden huomattavimman matemaatikon pitää olla tanskalainen Abel, miksi ei yhtä hyvin suomalainen Läskiperse! Panit jo komeasti Einsteinin roskatynnyriin ja nyt teet saman Abelille. Sinun pitää tosiaan vain perehtyä ja fundeerata.

PPo
Seuraa 
Viestejä11618
Liittynyt10.12.2008
visti
Läskiperse
Tuohon ratkaisuun resolventtiyhtälön kautta olen tutustunut jossain R. Nevalinnan kirjassa Johdatus vähän korkeampaan analyysiin.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Kolmannen_ ... kaisukaava

Mutta itse olen sitä mieltä, että on olemassa alempi analyysi, jonka perustalta polynomiyhtälöiden ratkaisualgoritmi pitäisi olla olemassa.

Tässäkin asiassa pitää siis ensin kyseenalaistaa, että Abelilta jäi jotain huomaamatta. Pitää perehtyä ja fundeerata.




Nimenomaan kyseenalaistaa, perehtyä ja fundeerata. Miksi pohjoismaiden huomattavimman matemaatikon pitää olla tanskalainen Abel, miksi ei yhtä hyvin suomalainen Läskiperse! Panit jo komeasti Einsteinin roskatynnyriin ja nyt teet saman Abelille. Sinun pitää tosiaan vain perehtyä ja fundeerata.

Pieni tarkennus. Nils Abel oli norjalainen. Tosin Abelin syntymän aikaan Norja kuului Tanskaan mutta silloin kun Abel loi matematiikkaa, Norja oli jo liitetty Ruotsiin.

Läskiperse
Seuraa 
Viestejä950
Liittynyt11.12.2010

Eikun se olikin Ernst Lindelöf, jonka tekemä mainittu kirja oli - amatööri tosin hänkin - samoin kuin esimerkiksi esille nostettu Einstein.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Ernst_Lindel%C3%B6f

"Ernst Leonard Lindelöf (7. maaliskuuta 1870 – 4. kesäkuuta 1946) oli suomalainen matemaatikko ja Helsingin yliopiston matematiikan professori vuosina 1903–1938. Hän oli funktioteorian ja differentiaaliyhtälöiden tutkija, joka perusti kansainvälisesti merkittävän suomalaisen funktioteorian koulukunnan. Ernst Lindelöf väitteli tohtoriksi Helsingin yliopistossa matematiikasta 1893 ja hänen väitöskirjansa nimi oli Sur les systèmes complets et le calcul des invariants différentiels des groupes continus finis. Hänen oppikirjansa (Johdatus korkeampaan analyysiin 1912, Johdatus funktioteoriaan 1917 ja Differentiali- ja integraalilasku ja sen sovellukset 1918–1946) ovat edelleen käytössä."

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Ettei olis vaan _jone_ tuo Läskiperse...

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat