Fyysikan tehtävä / lämpölaajeneminen

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tehtävä:
Pyöreän messinkintangon halkaisija on 30,02 mm ja teräsrenkaan sisähalkaisija 30,00 mm, kun lämpötila on 20,0 °C.
a) Mihin lämpötilaan rengas on kuumennettava, jotta messinkitanko mahtuisi sen sisään? (vast. 75,6 °C)
b) Missä lämpötilassa tankoa ympäröivä rengas irtautuu, jos jäähdytys tapahtuu siten, että renkaan lämpötila on sama kuin tangon? (vast. -75,1 °C)

Eli a) -kohdan sain ratkaistua ihan hyvin, mutta tuo b) -kohta tuottaa suuria vaikeuksia. Voisiko joku hieman avittaa?

Kiitos!

Sivut

Kommentit (18)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26898
Liittynyt16.3.2005

Rengas irtautuu, kun se tulee suuremmaksi kuin tanko. Kirjoita kummankin tangon halkaisija lämpötilan funktiona, merkkaa yhtäsuuriksi ja ratkaise lämpötila. Koulutehtävissä pitänee vielä perustella erikseen se, että laajenemiset menevät siihen suuntaan että irtoaminen tapahtuu nimenomaan jäähdytettäessä.

Vierailija

Ymmärsin toki, että tässä halutussa lämpötilassa rengas on kutistunut sen verran vähemmän kuin tanko, että irtoaa.
Mutta tangon halkaisija lämpötilan funktiona? Nyt pätkii...
Ja kun siis tossa a) -kohdassa oletettiin oikean vastauksen mukaan molempien halkaisijat samaksi (eli rengas laajenee 30,02 mm ja tanko 30,02 mm), että saadaan tuo lämpötila. Mikä mun mielestä oli hassua, koska kyllähän tangon halk pitäisi olla pienempi. Nojoo, menee saivarteluksi.

Mutta siis jos saisi hieman vielä vinkkiä miten pääsen eteenpäin.

Vierailija

Tehtävässä oletetaan tietenkin. että kappaleet ovat kimmoisia eikä pysyviä muodonmuutoksia tapahdu. Lähtötilanne on se 20°C jossa halkaisijat tunnetaan kun ovat erillään. Sitten vaan ratkaiset lämpötilan jossa halkaisijat ovat yhtäsuuret.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
o_O
Ymmärsin toki, että tässä halutussa lämpötilassa rengas on kutistunut sen verran vähemmän kuin tanko, että irtoaa.
Mutta tangon halkaisija lämpötilan funktiona? Nyt pätkii...
Ja kun siis tossa a) -kohdassa oletettiin oikean vastauksen mukaan molempien halkaisijat samaksi (eli rengas laajenee 30,02 mm ja tanko 30,02 mm), että saadaan tuo lämpötila. Mikä mun mielestä oli hassua, koska kyllähän tangon halk pitäisi olla pienempi. Nojoo, menee saivarteluksi.

Mutta siis jos saisi hieman vielä vinkkiä miten pääsen eteenpäin.




Jos "funktio" sanana jo pelottaa tai tuntuu vieraalta, niin ei se mitään.
Yritä näin: Messingin lämpölaajenemiskerroin on suurempi kuin teräksen.
Vähennä messingin kertoimesta teräksen kerroin ja laske tällä uudella erotuksella aivan vastaavasti kuin laskit ensimmäisen kohdan.

Vierailija

Tässä esimerkissä nähdään selkeästi kuinka tavanomaiset pyöristyssäännöt menevät päin helvettiä. Tässä ratkaisee halkaisijoiden erotuksen tarkkuus mikä tunnetaan vain yhden numeron tarkkuudella. Siispä vastauskin on annettava vain yhden numeron tarkkuudella vaikka lähtöarvot tunnetaan neljän numeron tarkkuudella.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26898
Liittynyt16.3.2005

Se tangon halkaisija lämpötilan funktiona tarkoittaa, että muotoilet sen yhtälämuotoon. Siitä pitäisi tulla jotain halkaisija =jotain * lämpötila + joku vakio.

PPo
Seuraa 
Viestejä11619
Liittynyt10.12.2008
o_O
Tehtävä:
Pyöreän messinkintangon halkaisija on 30,02 mm ja teräsrenkaan sisähalkaisija 30,00 mm, kun lämpötila on 20,0 °C.
a) Mihin lämpötilaan rengas on kuumennettava, jotta messinkitanko mahtuisi sen sisään? (vast. 75,6 °C)
b) Missä lämpötilassa tankoa ympäröivä rengas irtautuu, jos jäähdytys tapahtuu siten, että renkaan lämpötila on sama kuin tangon? (vast. -75,1 °C)

Eli a) -kohdan sain ratkaistua ihan hyvin, mutta tuo b) -kohta tuottaa suuria vaikeuksia. Voisiko joku hieman avittaa?

Kiitos!


Messingin pituuden lämpötilakerroin ( 0,000021/K ) on suurempi kuin teräksen
( 0,000012/K) joten lämmittämällä messinkitankoa ei saada mahtumaan teräsrenkaan sisään.
Viilentämällä se sensijaan onnistuu.
Kirjoita yhtälö teräksen ja messingin pituuden muutoksen erotus=0,02 ja ratkaise delta t. Lämpötilan muutokseksi sain -73,959..K.
Kun halkaisijoiden ero on 0,02 mm ( yhden numeron tarkkuudella) niin b-kohdan vastaukseksi tarjoan lämpötilaa - 50 celsius-astetta.

Korjaus yllä olevaan. Luin huolimattomasti, että molempia lämmitettiin myös a-kohdassa
a-kohdan vastaus oikein pyöristettynä on mielestani 80 celsius-astetta.

Vierailija

Mulla on messingin lämpötilakertoimena 19*10^-6 1/K.

a) -kohdassa käytin siis pituuden muutoksen kavaa, josta ratkaisin lämpötilanmuutoksen.
lo = 30,00 mm ; ∆l = 0,02 mm ; α(teräs) = 12*10-6 1/oC
∆T=(0,02 mm)/(12*〖10〗^(-6)*30,00 mm)=55,55 °C
T = T0+∆T = 75,6 oC

Mutta en VIELÄKÄÄN tajua mitä siinä b) -kohdassa pitää tehdä.

Hämää myös se, että lähdetäänkö siitä tilanteesta missä a) -kohdassa jäätiin vai alkutilanteesta (tosin silloin tanko ei mahdu renkaaseen). Ja se, kun ei ole tiedossa pituutta (=halkaisija) tai sen muutosta. Joko sen saa ratkaistua tai sitä tietoa tarvita.
Tämä on osoittautunut myös muille opiskelukavereille, että en onneksi ole ainoa "tyhmä", joka ei tajua...

Vierailija

Minä näitä reikiä lasken aina pinta-alan mukaan ja a kohdassa:

Messingin ala= pii*0,01501^2
Teräksen ala=pii*0,015^2

Teräksen uusi ala= At+(2*Beta(t)*dT) , Beta(t) on teräksen pinta-alan lämpölaajenemiskerroin, joka on likimäärin 2*teräksen pituuden lämpölaajenemiskerroin.

Terästä kun lämmitetään se laajenee, ja alat tulevat jollain kohtaa yhtäsuuriksi, jolloin messinkiakseli sopii teräsrenkaan sisään:

pii*0,01501^2=(pii*0,015^2)+(2*(12*10^-6)*0,015^2*dT)

Tuosta ratkaisemalla dT= noin 55,6 Celsius astetta , ja loppulämpötila 75,6 astetta

B-kohdassa ollaan siinä 20 asteen lämpötilassa, ja messinkiakseli on puristuneena teräsrenkaan sisään, eli kyseessä on puristusliitos, joka saadaan avattua jäähdyttämällä, koska messinki supistuu nopeammin kuin teräs.
Itse asiassa tämä liitos saadaan tehtyä a-kohdassa esitetyllä tavalla, ja nyt se liitos on vaan jähtynyt kahteenkymmeneen asteeseen.

Messingin uusi ala= Am-(pii*0,01501^2*dT*2*Alfa(messinki))
Teräksen uusi ala= At-(pii*0,015^2*dT*2*Alfa(teräs))

Nämä uudet alat on oltava yhtä suuria, silloin liitos irtoaa, eli:

dT((pii*0,015^2*2*Alfa(t)) -(pii*0,01501^2*2*Alfa(messinki)))=At-Am

Tuosta ainakin minä sain.dT=94,9 astetta, ja kun kahdestakymmenestä lähdettiin, niin irtoamislämpötila on –74,9 astetta
Ero johtunee siitä, että tehtävän tekijä on laskenut halkaisijoiden pituudenmuutoksien kautta.

PPo
Seuraa 
Viestejä11619
Liittynyt10.12.2008
mölkhö

B-kohdassa ollaan siinä 20 asteen lämpötilassa, ja messinkiakseli on puristuneena teräsrenkaan sisään, eli kyseessä on puristusliitos, joka saadaan avattua jäähdyttämällä, koska messinki supistuu nopeammin kuin teräs.
Itse asiassa tämä liitos saadaan tehtyä a-kohdassa esitetyllä tavalla, ja nyt se liitos on vaan jähtynyt kahteenkymmeneen asteeseen.

Messingin uusi ala= Am-(pii*0,01501^2*dT*2*Alfa(messinki))
Teräksen uusi ala= At-(pii*0,015^2*dT*2*Alfa(teräs))

Nämä uudet alat on oltava yhtä suuria, silloin liitos irtoaa, eli:

dT((pii*0,015^2*2*Alfa(t)) -(pii*0,01501^2*2*Alfa(messinki)))=At-Am

Tuosta ainakin minä sain.dT=94,9 astetta, ja kun kahdestakymmenestä lähdettiin, niin irtoamislämpötila on –74,9 astetta
Ero johtunee siitä, että tehtävän tekijä on laskenut halkaisijoiden pituudenmuutoksien kautta.


Teräsrengas irtoaa, kun teräsrenkaan halkaisija on pienentynyt 0,02 mm vähemmän kuin messinkiputken halkaisija eli yhtälönä
0,000012*30,00*dT-0,000021*30,02*dT = 0,02 , mistä saadaan
dT=0,02/(0,000012*30,00-0,000021*30,02) = -73,959...=-70 joten tämän mukaan loppulämpötila on -50. Missä vika ja kummalla

Vierailija
PPo
mölkhö

B-kohdassa ollaan siinä 20 asteen lämpötilassa, ja messinkiakseli on puristuneena teräsrenkaan sisään, eli kyseessä on puristusliitos, joka saadaan avattua jäähdyttämällä, koska messinki supistuu nopeammin kuin teräs.
Itse asiassa tämä liitos saadaan tehtyä a-kohdassa esitetyllä tavalla, ja nyt se liitos on vaan jähtynyt kahteenkymmeneen asteeseen.

Messingin uusi ala= Am-(pii*0,01501^2*dT*2*Alfa(messinki))
Teräksen uusi ala= At-(pii*0,015^2*dT*2*Alfa(teräs))

Nämä uudet alat on oltava yhtä suuria, silloin liitos irtoaa, eli:

dT((pii*0,015^2*2*Alfa(t)) -(pii*0,01501^2*2*Alfa(messinki)))=At-Am

Tuosta ainakin minä sain.dT=94,9 astetta, ja kun kahdestakymmenestä lähdettiin, niin irtoamislämpötila on –74,9 astetta
Ero johtunee siitä, että tehtävän tekijä on laskenut halkaisijoiden pituudenmuutoksien kautta.


Teräsrengas irtoaa, kun teräsrenkaan halkaisija on pienentynyt 0,02 mm vähemmän kuin messinkiputken halkaisija eli yhtälönä
0,000012*30,00*dT-0,000021*30,02*dT = 0,02 , mistä saadaan
dT=0,02/(0,000012*30,00-0,000021*30,02) = -73,959...=-70 joten tämän mukaan loppulämpötila on -50. Missä vika ja kummalla

PPo
mölkhö

B-kohdassa ollaan siinä 20 asteen lämpötilassa, ja messinkiakseli on puristuneena teräsrenkaan sisään, eli kyseessä on puristusliitos, joka saadaan avattua jäähdyttämällä, koska messinki supistuu nopeammin kuin teräs.
Itse asiassa tämä liitos saadaan tehtyä a-kohdassa esitetyllä tavalla, ja nyt se liitos on vaan jähtynyt kahteenkymmeneen asteeseen.

Messingin uusi ala= Am-(pii*0,01501^2*dT*2*Alfa(messinki))
Teräksen uusi ala= At-(pii*0,015^2*dT*2*Alfa(teräs))

Nämä uudet alat on oltava yhtä suuria, silloin liitos irtoaa, eli:

dT((pii*0,015^2*2*Alfa(t)) -(pii*0,01501^2*2*Alfa(messinki)))=At-Am

Tuosta ainakin minä sain.dT=94,9 astetta, ja kun kahdestakymmenestä lähdettiin, niin irtoamislämpötila on –74,9 astetta
Ero johtunee siitä, että tehtävän tekijä on laskenut halkaisijoiden pituudenmuutoksien kautta.


Teräsrengas irtoaa, kun teräsrenkaan halkaisija on pienentynyt 0,02 mm vähemmän kuin messinkiputken halkaisija eli yhtälönä
0,000012*30,00*dT-0,000021*30,02*dT = 0,02 , mistä saadaan
dT=0,02/(0,000012*30,00-0,000021*30,02) = -73,959...=-70 joten tämän mukaan loppulämpötila on -50. Missä vika ja kummalla



Minulla on väärä messingin lämpölaajenemiskerroin, olin käyttänyt 19, kun oikea on 21. Sitä käyttämällä tulee: dT=73.9, eli irtoamislämpötila on se -53.9 astetta

Taikka en minä tiedä mikä se oikea kerroin on kun jossakin esiintyy 18.5 ja jostakin minä tuon 19:kin sain. Se kuitenkin syynä näihin eri tuloksiin on.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
mölkhö

Minulla on väärä messingin lämpölaajenemiskerroin, olin käyttänyt 19, kun oikea on 21. Sitä käyttämällä tulee: dT=73.9, eli irtoamislämpötila on se -53.9 astetta

Taikka en minä tiedä mikä se oikea kerroin on kun jossakin esiintyy 18.5 ja jostakin minä tuon 19:kin sain. Se kuitenkin syynä näihin eri tuloksiin on.


Kysyjä ilmoitti arvoksi 19 sieltä sinä sen sait ja siksi se antaa tuloksen, joka ilmoitetaan myös hänen kirjassaan.
"Mulla on messingin lämpötilakertoimena 19*10^-6 1/K."

PPo
Seuraa 
Viestejä11619
Liittynyt10.12.2008
mölkhö
PPo

Teräsrengas irtoaa, kun teräsrenkaan halkaisija on pienentynyt 0,02 mm vähemmän kuin messinkiputken halkaisija eli yhtälönä
0,000012*30,00*dT-0,000021*30,02*dT = 0,02 , mistä saadaan
dT=0,02/(0,000012*30,00-0,000021*30,02) = -73,959...=-70 joten tämän mukaan loppulämpötila on -50. Missä vika ja kummalla




Minulla on väärä messingin lämpölaajenemiskerroin, olin käyttänyt 19, kun oikea on 21. Sitä käyttämällä tulee: dT=73.9, eli irtoamislämpötila on se -53.9 astetta

Taikka en minä tiedä mikä se oikea kerroin on kun jossakin esiintyy 18.5 ja jostakin minä tuon 19:kin sain. Se kuitenkin syynä näihin eri tuloksiin on.


Käytin MAOL:n taulukon arvoja, jotka uskoakseni ovat kohtuullisen luotettavia. .
Sitten tämä vastauksen tarkkuus. Muuttuva suure ( 0,02 mm) on annettu vain yhden numeron tarkkuudella. Täman vuoksi loppulämpötilaa voidaan arvioida vain samalla tarkkuudella eli se on -50 astetta.

PPo
Seuraa 
Viestejä11619
Liittynyt10.12.2008
Jorma
mölkhö

Minulla on väärä messingin lämpölaajenemiskerroin, olin käyttänyt 19, kun oikea on 21. Sitä käyttämällä tulee: dT=73.9, eli irtoamislämpötila on se -53.9 astetta

Taikka en minä tiedä mikä se oikea kerroin on kun jossakin esiintyy 18.5 ja jostakin minä tuon 19:kin sain. Se kuitenkin syynä näihin eri tuloksiin on.


Kysyjä ilmoitti arvoksi 19 sieltä sinä sen sait ja siksi se antaa tuloksen, joka ilmoitetaan myös hänen kirjassaan.
"Mulla on messingin lämpötilakertoimena 19*10^-6 1/K."

Ensimmäisessä viestissä tuota tietoa ei ollut.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
PPo

Ensimmäisessä viestissä tuota tietoa ei ollut.

Ei ollut ei.
Ensimmäiselle, joka kysyy jotain ja ilmoittaa kaiken tarvittavan oikein, niin ettei tartte jälkeenpäin mitään kysellä, lupaan vastata heti (jos osaan) ruikuttamatta kotitehtävistä. Tätä ei varmaan tule tapahtumaan koskaan.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat