Seuraa 
Viestejä45973

Elikkä, on olemassa tämä kaava laskea käyrän kaaren pituus, joka perustuu jotenkin määrättyyn integraaliin tietyllä välillä, niin mikä tässä kaavassa on tuo dx? Ja miten ihmeessä käyrän lausekkeen (jos siis on tuo kaava siinä käytössä) voi ratkaista Simpsonin säännöllä?

Sivut

Kommentit (32)

Lukiolainen
Elikkä, on olemassa tämä kaava laskea käyrän kaaren pituus, joka perustuu jotenkin määrättyyn integraaliin tietyllä välillä, niin mikä tässä kaavassa on tuo dx?
dx on x:n differentiaali, ihan niinkuin muuallakin.
Lukiolainen
Ja miten ihmeessä käyrän lausekkeen (jos siis on tuo kaava siinä käytössä) voi ratkaista Simpsonin säännöllä?

Ota jokin esimerkki, mikä pitäisi ratkaista numeerisesti Simpsonin säännöllä.
Vaikea käsittää, miten käyrän lauseketta simpsonilla ratkaistaisiin, yleensähän se on tiedossa, ja miten tämä liittyy siihen kaarenpituuteen ?
Oliko kenties tarkoitus ratkaista käyrän kaarenpituus simpsonilla ?

Mikä on x:n differentaali? En ole käynyt vielä integraalilaskennan kurssia, joten en oikein tiedä tuotakaan.
Tehtävänä siis on määrittää paraabelin y=x^2 kaaren pituus välillä 0-2 kolmen desimaalin tarkkuudella. Ja vastauksissa on käytetty tuota kaaren pituuden kaavaa ja saan kyllä sen muodon siitä, mutta en sitten tiedä että mikä tuo x on tai mikä on d... Ja kaikissa kirjan esimerkeissä lukee, että arvot on laskettu Simpsonin säännöllä, joten oletan että pitäisi tähänkin käyttää...?

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Lukiolainen
Mikä on x:n differentaali? En ole käynyt vielä integraalilaskennan kurssia, joten en oikein tiedä tuotakaan.
Tehtävänä siis on määrittää paraabelin y=x^2 kaaren pituus välillä 0-2 kolmen desimaalin tarkkuudella. Ja vastauksissa on käytetty tuota kaaren pituuden kaavaa ja saan kyllä sen muodon siitä, mutta en sitten tiedä että mikä tuo x on tai mikä on d... Ja kaikissa kirjan esimerkeissä lukee, että arvot on laskettu Simpsonin säännöllä, joten oletan että pitäisi tähänkin käyttää...?
Nyt siis et ole vielä käynyt integraalilaskennasta yhtään kurssia, mutta simpsonin sääntöä pitäisi osata soveltaa ?

No siis Simpsonin säännöllä yleisesti tarkoitetaan numeerista menetelmää määrätyn integraalin likiarvon laskemiseksi.
Lasketaan siis peräkkäisiä funktion arvoja jotka kerrotaan vakioilla:
1, 4, 2, 4, 2, 4, ... 2, 4, 1, ja lasketaan sitten yhteen ja tulos jaetaan kertoimien summalla.
Onkos siellä kirjassa mitään tämän tapaista, vai ovatko keksineet jollekin muulle käsitteelle saman nimen asioiden sekaannuttamiseksi ?
Tuossa vaan on ensin laskettava se integroitava funktio, eli kaarenpituus x:n funktiona.
ds = neliöjuuri ( dx^2 + dy^2 ), minkä integroimalla saa sen kaarenpituuden kysytyllä välillä.
Mutta sitähän et tietenkään voi tehdä mikäli sitä ei ole vielä opetettu.

Onko derivaatta sentään jo tuttu, vain onko sekin täysin tuntematonta tässä vaiheessa ?
Jos on, niin sittenhän dy / dx on jo tuttu, ja siinähän on jo kaksikin diferentiaalia.
Jos ei, niin en kyllä tiedä miten asiaa voi edes kommentoida opettamatta ensin derivaattaa koskevaa kurssia, eikä se näin etänä foorumilla tehtynä oikein tule onnistumaan.

Joten mitäs jos nyt kirjoittaisit sen tehtävän ihan kokonaan tänne, mukaanlukien sen kaarenpituuden kaavan ja sen "muodon" jonka olet siitä saanut.

Olen käynyt derivaatan kurssin ja kyllä kirjassa puhutaan Simpsonin säännöstä, jossa arvoilla on juuri nuo samat kertoimet ja ne summataan ja sitten kerrotaan jakovälin pituudella, joka on jaettu kolmella. (olen nyt siis kurssilla, jolla opetellaan numeerisia ja algebraallisia menetelmiä)
Tehvässä lukee: Määritä paraabelin y=x^2 kaaren pituus välillä 0-2 (siis 0 ja 2 kuuluvat myös välille) kolmen desimaalin tarkkuudella.
Olen saanut kaavan avulla saman muodon kuin kirjan takana, eli s= se ässän näköinen kikkura, jonka yläpuolella on 2 ja alapuolella 0 neliöjuuri (1+4x^2) *dx
Toivottavasti selitys on edes jotenkin ymmärrettävä.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
Lukiolainen
Elikkä, on olemassa tämä kaava laskea käyrän kaaren pituus, joka perustuu jotenkin määrättyyn integraaliin tietyllä välillä, niin mikä tässä kaavassa on tuo dx? Ja miten ihmeessä käyrän lausekkeen (jos siis on tuo kaava siinä käytössä) voi ratkaista Simpsonin säännöllä?

Käyrän pituushan menee näin. Tuossa on vielä samalla ohje käyrän pituuden monikulmioapproksimaatiolle.

Numeerisessa integroinnissa, ainakin kehittyneimmissä menetelmissä, integroitava funktio korvataan jonkinasteisella polynomilla. Sikäli kun taas muistan, vain korkeintaan paraabelin käyränpituudelle saadaan suljettumuotoinen integraalifunktio, muulloin joudutaan turvautumaan numeeriseen ratkaisuun.

Vanha jäärä

Okei (just tota kaavaa tarkotin), mut jos mulla on nyt toi lauseke jossa sen s:n näkösen kikkuran jälkeen on neliöjuuri (1+4^2)*dx, nii siinähän on x:ää ja d, nii miten saan sen ratkastuu? Mitä sijotan x:n paikalle ja mitä d:n paikalle? Mä en oikeesti tajuu, vaikka oon lukenu ton sivun, jonka laitoit.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
Lukiolainen
Okei (just tota kaavaa tarkotin), mut jos mulla on nyt toi lauseke jossa sen s:n näkösen kikkuran jälkeen on neliöjuuri (1+4^2)*dx, nii siinähän on x:ää ja d, nii miten saan sen ratkastuu? Mitä sijotan x:n paikalle ja mitä d:n paikalle? Mä en oikeesti tajuu, vaikka oon lukenu ton sivun, jonka laitoit.

Tässä on vain sellainen hassu juttu, että käyrän pituuden laskennassa täytyy ensin ymmärtää integraalifunktio ja integrointi. Lisäksi ihmettelen, että lukiossa pitäisi osata yksi integraalin vaikeimmin ymmärrettävistä sovellutuksista ja vielä sen numeerinen ratkaisu, ennen kuin koko integraalia on opetettu.

Vanha jäärä

Lukiolainen
Okei (just tota kaavaa tarkotin), mut jos mulla on nyt toi lauseke jossa sen s:n näkösen kikkuran jälkeen on neliöjuuri (1+4x^2)*dx, nii siinähän on x:ää ja d, nii miten saan sen ratkastuu?

http://fi.wikipedia.org/wiki/Simpsonin_ ... A4nt%C3%B6

Kun sijoitat tuon kuvan kaavan vasemmalle puolelle f(x) = 1 + 4*x^2 , niin mitä saat oikealle puolelle ?
Paljonko on a ?
Paljonko on b ?
Paljonko on f(a) ?
Paljonko on 4 * f{ (a+b) / 2 } ?
Paljonko on f(b) ?

Lukiolainen
Mitä sijotan x:n paikalle ja mitä d:n paikalle? Mä en oikeesti tajuu, vaikka oon lukenu ton sivun, jonka laitoit.

Et mitään, vaan sijoitat sen laskemasi 1 + 4 * x^2 sen kaavan vasemmalle puolelle, ja lasket mitä oikealle puolelle tulee. Oikealla puolella ei edes ole dx:ää , joten kysymyksessäsi ei ole pointtia !!!

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
kuukle

http://fi.wikipedia.org/wiki/Simpsonin_ ... A4nt%C3%B6

Kun sijoitat tuon kuvan kaavan vasemmalle puolelle f(x) = 1 + 4*x^2 , niin mitä saat oikealle puolelle ?
Paljonko on a ?
Paljonko on b ?
Paljonko on f(a) ?
Paljonko on 4 * f{ (a+b) / 2 } ?
Paljonko on f(b) ?

Lukiolainen
Mitä sijotan x:n paikalle ja mitä d:n paikalle? Mä en oikeesti tajuu, vaikka oon lukenu ton sivun, jonka laitoit.

Et mitään, vaan sijoitat sen laskemasi 1 + 4 * x^2 sen kaavan vasemmalle puolelle, ja lasket mitä oikealle puolelle tulee. Oikealla puolella ei edes ole dx:ää , joten kysymyksessäsi ei ole pointtia !!!

Meneehän ratkaisu tietysti tällaisella kaavaan sijoituksella, mutta kyllä minusta opiskelussa tulee ensin ymmärtää, miksi juuri siihen kaavaan pitää juuri tällaista sijoittaa.

Vanha jäärä

Vanha jäärä
Tässä on vain sellainen hassu juttu, että käyrän pituuden laskennassa täytyy ensin ymmärtää integraalifunktio ja integrointi. Lisäksi ihmettelen, että lukiossa pitäisi osata yksi integraalin vaikeimmin ymmärrettävistä sovellutuksista ja vielä sen numeerinen ratkaisu, ennen kuin koko integraalia on opetettu.

No niin ihmettelen minäkin, vaikken olekaan sitä mieltä, että kysytty sovellus on alkuunkaan vaikein integraalin sovellutuksista.
Varsinkin kun vielä edellytetään osattavan määrittää tuolle virhearviokin, että voi olla varma saavansa vastauksen 3:n numeron tarkkuudella. Se nyt tosin sattuu olemaan triviaali, kun kyse on paraabelista, mutta miten ihmeessä voidaan edellyttää tuota osattavan jo ennen kuin integraalia on edes opetettu ?!?

Aika järjettömässä järjestyksessä lukioissa nykyään asioita opetetaan, jos se noin menee yleisemminkin. Vai onko siellä tarkoitettu, että asiat opiskellaan omatoimisesti wikistä, ja näiltä foorumeilta apuva kysellen ? Aika huono idea mielestäni.

a=0
b=2
f(a)=1
4 * f{ (a+b) / 2 = 4* neliöjuuri 5 (jos neliöjuuri piti ottaa funkioon f(x) mukaan, muuten 4*5
f(b)=neliöjuuri 17, ilman neliöjuurta 17

Mut en edelleenkää saa milläkään noilla variaatioilla oikeeta vastausta, joka on 4,647

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
Lukiolainen
a=0
b=2
f(a)=1
4 * f{ (a+b) / 2 = 4* neliöjuuri 5 (jos neliöjuuri piti ottaa funkioon f(x) mukaan, muuten 4*5
f(b)=neliöjuuri 17, ilman neliöjuurta 17

Mut en edelleenkää saa milläkään noilla variaatioilla oikeeta vastausta, joka on 4,647


En minäkään. Sitä vastoin saan

(2-0)/6* (sqrt(1+4*0^2) +4*sqrt(1+4*1^2) +sqrt(1+4*2^2) ) = 4.689.

Pitäisi varmaan jakaa integroimisväli useampaan askeleeseen, eli soveltaa yleistettyä Simpsonin sääntöä.

Vanha jäärä

Paitsi, että jos integroitava funktio on polynomifunktio, jonka asteluku on enintään 3, Simpsonin säännöllä saadaan jakovälien määrästä riippumatta määrätyn integraalin tarkka arvo.... Eikös toi kaava sitte pitäis antaa tohonki tilanteeseen ihan oikeen tuloksen jakoväleistä riippumatta?

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
kuukle

No niin ihmettelen minäkin, vaikken olekaan sitä mieltä, että kysytty sovellus on alkuunkaan vaikein integraalin sovellutuksista..

On se minusta lukiolaiselle kohtuullisen vaikea ymmärtää, ja lisäksi käyrän pituuden integraalit ovat jo tässä tapauksessa sellaisia, että harva niitä ilman mitään apuvälineitä (nettiä, symbolilaskinta, taulukkokirjaa) osaa laskea. Tiukkaa se tekisi minullekin, vaikka olen saanut oppini "vanhan matematiikan" aikaan, jolloin taulukkokirjoja ei saanut käyttää.

Vanha jäärä

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
Lukiolainen
Paitsi, että jos integroitava funktio on polynomifunktio, jonka asteluku on enintään 3, Simpsonin säännöllä saadaan jakovälien määrästä riippumatta määrätyn integraalin tarkka arvo.... Eikös toi kaava sitte pitäis antaa tohonki tilanteeseen ihan oikeen tuloksen jakoväleistä riippumatta?

Tuota tuota, onko neliöjuurifunktio sinusta polynomifunktio? Minusta se ei ole.

Vanha jäärä

No ei se kyllä kieltämättä ole, varmaan kannattaisi katsoa koko yhtälöä ennen kuin alkaa tekemään johtopäätöksiä... No, mutta sain kuitenkin tehtävän nyt vihdoinkin oikein. Kiitos kaikille, jotka jaksoivat neuvoa vaikka en mitään ensin meinannutkaan tajuta.

kuukle
Aika järjettömässä järjestyksessä lukioissa nykyään asioita opetetaan, jos se noin menee yleisemminkin. Vai onko siellä tarkoitettu, että asiat opiskellaan omatoimisesti wikistä, ja näiltä foorumeilta apuva kysellen ?



Tässä on nyt varmaan sellainen tilanne, että ko. lukiossa järjestetään syventävä (eli ei-pakollinen) numeeristen ja algebrallisten menetelmien kurssi MAA12 ennen integraalilaskennan kurssia MAA10. Näin voi tehdä, jos käsittelee kurssilla MAA12 numeerista integrointia ainoastaan pinta-alan (ja ehkä tilavuuden) arvioimiskeinona. Koko integraalimerkkiä tai integrointia ei siis tarvitsisi kurssilla edes esitellä.

Kaikkien oppikirjojen tekijät eivät varmaankaan ole osanneet ennakoida tätä kurssien MAA12 ja MAA10 epästandardia järjestystä, mistä varmaankin johtuu ketjun aloittajan ongelma.

Käsittääkseni kukaan ei ole vielä selittänyt differentiaalia, joten yritän itse.

d-kirjain tällaisessa laskennassa osoittaa äärettömän (oikeammin: infinitesimaalisen) pientä muutosta ja on ikään kuin kehittyneempi versio fysiikassa kohtaamastasi delta-merkistä, joka tarkoittaa muutosta ylipäänsä. Kulmakerroin määritellään delta-y per delta-x, eikö? Ja derivaatta käyrällä määritellään sen raja-arvona, kun deltat pienenevät pienenemistään.

Siis otat miljoonasosan ja siitä miljardisosan ja siitä vielä kymmenestuhannesosan ja pistät neljään osaan ja pilkot sen puoliksi ja jaat vielä triljoonasosaan ja biljoonasosaan, niin sitten aletaan jo olla pienissä pituuksissa!

Olet varmaan kurssillasi laskenut integraalia pilkkomalla käyrän palasiksi ja summaamalla osien pinta-alat (leveys delta-x, korkeus funktion arvosta). Katsellaan integraalimerkkiä tässä valossa:

S f(x) dx

Tuohan on hieman muunnettu suorakaiteen pinta-alan kaava, jossa vaakasuora muutos on infinitesimaalisen pieni, jolloin integraalimerkki tarkoittaa kaikkien äärettömän monen osasen yhdistämistä kokonaispinta-alaksi!

(Olen itse samaa ikäluokkaa kuin ketjun aloittaja. Olenko ymmärtänyt käsitteet oikein?)

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat