Matematiikka - analyyttista vai synteettistä?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

On tässä viime viikkoina tullut hieman tutustuttua Immanuel Kantin Prolegomenaan, joka on pohjustus yhteen Kantin pääteoksista, Puhtaan järjen kritiikkiin (enkä voi kyllä kehua tekstiä selkeäksi, vaikka suomentaja onkin tehnyt parhaansa).

Kantin filosofiassa keskeistä on analyyttinen-synteettinen-erottelu, ja hänen monen modernin filosofin mielestä kyseenalainen näkemyksensä on, että (puhdas) matematiikka on luonteeltaan synteettistä tietoa a priori.

Kant itse valaisee asiaa toteamalla kuinka esimerkiksi ilmaisu 7 + 5 = 12 ei ole analyyttinen, koska "seitsemän" ja "viiden" summan käsite ei sisällä muuta kuin näiden lukujen yhdistämisen, eikä itsessään viittaa mihinkään tiettyyn lopputulokseen, siis "kahteentoista". Kant jatkaa, että "kahteentoista" päädytään vain ns. havainnoinnin kautta, siis tavallaan on löydettävä näille käsitteille jotkin vastineet reaalimaailmasta (?).

Tämä ei ole vielä avautunut minulle täysin, mutta koska kyseessä on oleellinen osa Kantin filosofiaa, joka on monin osin hyvinkin loogista ja perusteltua, kiinnostaisi saada tähän asiaan joltakin viisaammalta selvennystä.

Laitoin vielä lisäksi äänestyksen pystyyn: mikä on kantanne matematiikan luonteesta?
(Synteettinen a posteriori vastaa pitkälti käsitystä, että matematiikka on empiirisesti "löydettävissä".)

Kommentit (5)

planetisti
Seuraa 
Viestejä463
Liittynyt22.9.2008

Itse erottelen vähän elitistisesti matematiikan ja "laskennon", jota vielä lukiossa opetellaan, joka heijastelee aistihavaintoja. Itse matematiikka on jotain abstraktimpaa ja ihmismielen tuote.

Näen matematiikan sosiaalisena konstruktiona, jonka ytimessä on "rationaalinen ajattelu". Tämä on se osa, joka on a priori. Mutta matematiikan ei tarvitse olla missään yhteydessä fyysiseen maailmaan. Siksi Kantin esimerkki on liian yksinkertainen.

Vierailija
Kantin filosofiassa keskeistä on analyyttinen-synteettinen-erottelu, ja hänen monen modernin filosofin mielestä kyseenalainen näkemyksensä on, että (puhdas) matematiikka on luonteeltaan synteettistä tietoa a priori.




Eli Kant siis ajattelee, että matemaattinen tieto a priori.

Kant itse valaisee asiaa toteamalla kuinka esimerkiksi ilmaisu 7 + 5 = 12 ei ole analyyttinen, koska "seitsemän" ja "viiden" summan käsite ei sisällä muuta kuin näiden lukujen yhdistämisen, eikä itsessään viittaa mihinkään tiettyyn lopputulokseen, siis "kahteentoista". Kant jatkaa, että "kahteentoista" päädytään vain ns. havainnoinnin kautta, siis tavallaan on löydettävä näille käsitteille jotkin vastineet reaalimaailmasta (?).



Eli Kant siis ajattelee, että matemaattinen tieto a posterori?! En ymmärrä

Aika hankala keksia todellisuudesta vastinetta vaikka niinkin yleiselle käsiteelle matematiikassa kuin ääretön. Äärettömyyteen liittyvät todet vaikuttavat selvästi olevan a priori. Ääretön löytyy vähintäänkin implisiittisenä matematiikassa jokapuolelta.

Kuiteskin ajattelisin että epätäydellisyyslauseet (Gödel) sotivat aika rankasti tätä a priori-ajattelua vastaan. Jokaisessa aksioomasysteemissä on todistumattomia TOSIA lauseita, joita ei siis logiikalla (a priori) voida "tavoittaa". En oikein tiedä miten näihin lauseisiin pitäisi suhtautua. Ilmeisesti ainakaan kaikki matemaattiset totuudet eivät voi olla a priori.

En ole koskaan jaksanut Kantiin kunnolla tutustunut, vaikuttaa niin hemmetin sekavalta. Saattaa olla että vika on suomennoksissa.

Vierailija

Kiitoksia vastauksista. Tuo "vastineet reaalimaailmasta" oli minulta vähän huonosti muotoiltu, koska Kant ei varsinaisesti viittaa tässä "havainnoinnilla" reaalimaailmaan sinänsä, vaan tapaan, jolla me jäsennämme sitä (vrt. Kantin määrittelemät ymmärryksen kategoriat), siis ensinnäkin ajassa ja avaruudessa. Nämä mieltämistavat ovat a priori siinä mielessä, että ne ovat edellytyksiä itse kokemuksen syntymiselle ylipäätään.

Tässä eräs näkemys asiaan (Toni Kannisto, http://www.filosofia.fi/node/2418):

"Kantin mukaan sekä puhdas luonnontiede että matematiikka ovat synteettisiä a priori tieteitä. Matematiikka on synteettistä a priori siksi, että se voidaan perustaa puhtaalle havainnoinnille. Toisin sanoen, matematiikan arvostelmat voidaan verifioida suoraan puhtaassa ajan ja avaruuden havainnoinnissa.

Aritmetiikka nojautuu viime kädessä puhtaalle ajan havainnoinnille. Ilmeisesti Kant ajattelee, että esimerkiksi yhteenlasku olisi mahdollista pelkästään ajassa perättäisten ajanhetkien suhteen: voisimme vaikkapa kuvitella päähämme sekunnin välein ”tik”-äänen ja laskea niillä.

Geometria taas nojautuu puhtaan avaruuden havainnoinnille, mikä onkin intuitiivisempaa: voimme piirrellä avaruuteen kuvitteellisia suoria ja kolmioita ja operoida niillä. Aritmetiikan ajallisuuden hylkääväkin voisi ajatella sen toimivan avaruudessa esimerkiksi kuviteltuja pisteitä laskemalla."

Vierailija
planetisti
Itse erottelen vähän elitistisesti matematiikan ja "laskennon", jota vielä lukiossa opetellaan, joka heijastelee aistihavaintoja. Itse matematiikka on jotain abstraktimpaa ja ihmismielen tuote.

Näen matematiikan sosiaalisena konstruktiona, jonka ytimessä on "rationaalinen ajattelu". Tämä on se osa, joka on a priori. Mutta matematiikan ei tarvitse olla missään yhteydessä fyysiseen maailmaan. Siksi Kantin esimerkki on liian yksinkertainen.


Ovatko aistihavainnot jotenkin erillään ihmismielestä? Eivätkö aistihavainnot pikemminkin ole nimenomaan ihmismielen aikaansaannoksia? Mielestäni on varsin absurdia väittää, että aistisimme maailman "objektiivisesti", siis täysin meistä riippumatta. Juuri tässä suhteessa Kantin filosofia on mielestäni loogista ja perusteltua.

On totta, että abstrakti matematiikka on simppeliä laskentoa vaikeammin (tai ei laisinkaan) sovellettavissa aistihavaintoihin, mutta mielestäni jyrkän rajan vetäminen näiden välille on kyseenalaista, koska korkeampi matematiikka kuitenkin viime kädessä käsittääkseni rakentuu "yksinkertaisille" joukko-opin yms. periaatteille.

planetisti
Seuraa 
Viestejä463
Liittynyt22.9.2008
duubiduu

Ovatko aistihavainnot jotenkin erillään ihmismielestä? Eivätkö aistihavainnot pikemminkin ole nimenomaan ihmismielen aikaansaannoksia? Mielestäni on varsin absurdia väittää, että aistisimme maailman "objektiivisesti", siis täysin meistä riippumatta. Juuri tässä suhteessa Kantin filosofia on mielestäni loogista ja perusteltua.



En täysin pääse käsiksi siihen , miten juuri nuo kysymykset nousivat mieleesi, mutta puolustan silti "rationaalisen ajattelun" objektiivisuutta. Matematiikka on "ymmärtämistä", ja koska kaikki ymmärtävät omalla tavallaan, on siinä subjektiivinen aspekti. Myös matematiikkaan liittyvä "rationaalinen ajattelu" opitaan... Mutta, mielestäni se opitaan siksi, että se on tehokkain tapa kommunikoida ristiriidattoman lopputuloksen luomiseksi yhdessä. Matematiikkaa opetellessa tulee tehneeksi ajatteluvirheitä, joita pikkuhiljaa korjataan, kunnes omat päätelmät ovat yleisesti hyväksyttyjä, ristiriidattomia "rationaalisen ajattelun" puitteissa. En osaa ajatella tuota lopputulosta, lopullista ajattelun kulkua, muuten, kuin että se on a priori. Lopulta kaikki tekevät sen ajattelun muokkaamisen itsenäisesti, ja kuitenkin meillä on toimiva konstruktio (matematiikka), joka on ollut olemassa vuosituhansia.

duubiduu

On totta, että abstrakti matematiikka on simppeliä laskentoa vaikeammin (tai ei laisinkaan) sovellettavissa aistihavaintoihin, mutta mielestäni jyrkän rajan vetäminen näiden välille on kyseenalaista, koska korkeampi matematiikka kuitenkin viime kädessä käsittääkseni rakentuu "yksinkertaisille" joukko-opin yms. periaatteille.



Toki matematiikka jakaantuu aina alkukantaisimpiin ajattelun osiin, kunnes tullaan ihan joukko-opin perusteisiin. Mutta maailmassa ei ole yhtäkään ihmistä, joka ymmärtäisi korkeamman asteen matematiikkaa tätä kautta. Ideana on kehittää teoreettista koneistoa, jota voidaan soveltaa luodessa aina yhä uusia tuloksia. Todistuksissa on pakko ottaa määritelmät ja abstraktit koneistot käyttöön. Ja niitä sovelletaan "rationaalisen ajattelun" voimalla. En lähtisi väittämään, että tässä on AINA taustalla joku geometrinen tai aritmeettinen havainto.

Uusimmat

Suosituimmat