Todennäköisyyslaskenta: jatkuva tasajakauma?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.

Sivut

Kommentit (19)

PPo
Seuraa 
Viestejä11618
Liittynyt10.12.2008
Arska_L
Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.


Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
PPo
Arska_L
Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.


Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99



Otetaan nyt yhden litran näyte, siis k = 1. Kaavasi mukaan tn, että jokainen sen (n+1):stä osasta on bakteeriton, on 1/(n+1)^k * (n+1) = 1/(n+1) * (n+1) = 1.

Litrassa on kuitenkin keskimäärin n bakteeria!

Miettisitkö asioita vähän huolellisemmin tai kirjoittaisit huolellisemmin kun vastaat kysyjille?

Ohman

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Arska_L
Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.


Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk). "Ainakin yksi" tarkoittaa, että "ei nolla", jolloin ratkaistavana on

1-Poisson(x=0|nk) >= 0.99

eli

1 - (nk)^0 exp(-nk) / 0! >= 0.99

josta saadaan

k >= -ln(0.01) / n

edit: merkkivirhe

PPo
Seuraa 
Viestejä11618
Liittynyt10.12.2008
Ohman
PPo
Arska_L
Terve

On tullut pohdittua tällaista tehtävää:

Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.


Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99



Otetaan nyt yhden litran näyte, siis k = 1. Kaavasi mukaan tn, että jokainen sen (n+1):stä osasta on bakteeriton, on 1/(n+1)^k * (n+1) = 1/(n+1) * (n+1) = 1.

Litrassa on kuitenkin keskimäärin n bakteeria!

Miettisitkö asioita vähän huolellisemmin tai kirjoittaisit huolellisemmin kun vastaat kysyjille?

Ohman


Anteeksi. Puuttui sulut. po 1-(1/(n+1))^k*(n+1)
Ehdoksi saadaan, että k >= -lg0,01/((n+1)*lg(n+1))

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
PPo
Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99

Mitähän mahtaa tarkoittaa, että "yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria"? Ei tämän ihan väärin ole, mutta tuskin kokeessa saisi kovin paljon pisteitä (sulkujen korjauksen jälkeenkään).

PPo
Seuraa 
Viestejä11618
Liittynyt10.12.2008
Stratonovich

Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk).

Johtopäätöksesi ei pitäne paikkaansa. Jos k= 0,1/n litraa , niin tarkastellaan tilavuutta, jossa bakterien lukumäärä on keskimäärin 0,1. Tähän Pissonin soveltaminen esittämälläsi tavalla johtanee harhateille.
Oma ratkaisuni lähti siitä, unohdetaan sana " keskimäärin" toviksi. Litrassa on n bakteeria tasaisesti jakaantuneena. Jos litra jaetaan (n+1):een yhtä suureen osaan, niin yhteen ei bakteereita riitä. . Kootaan k:n litran näyte toistokokeenna, jossa toistojen määrä on k*(n+1) ja tapauksen ( valittu tilavuus on bakteeriton) todennäköisyyten yksittäisessä kokeessa on 1/(n+1)
PS:
Uskoisin, että ratkaisuni kokeessa ( silloin olisin ollut tarkka ja sulkeet olisivat paikoillaan) olisi tuottanut enemmän pisteitä kuin sinun esittämäsi.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Stratonovich
Arska_L
Uima-altaaseen on sekoittunut täydellisesti suuri määrä bakteereja siten, että yhdessä litrassa vettä on keskimäärin n bakteeria. Altaan veden bakteeripitoisuuden selvittämiseksi siitä otetaan näyte, jonka suuruus on k litraa. Kuinka suuri näytteen on oltava, jotta todennäköisyys, että siihen osuu ainakin yksi bakteeri, on ainakin 0.99?

Osaisiko joku kertoa, että onko bakteerimäärälle kyseessä jatkuva tasajakauma? Jos on, niin miten tästä pitäisi alkaa rakentaa tiheysfunktiota? Vai meneekö tehtävä kenties ilman sitä?

Sen nyt olen tajunnut, että luultavasti normaalijakaumaa ei tämän tehtävän laskemiseen saa sotkea. Voin olla väärässäkin.


Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk). "Ainakin yksi" tarkoittaa, että "ei nolla", jolloin ratkaistavana on

1-Poisson(x=0|nk) >= 0.99

eli

1 - (nk)^0 exp(-nk) / 0! >= 0.99

josta saadaan

k >= -ln(0.01) / n

edit: merkkivirhe




Sait tuloksen, että k >= -ln(0.01) / n

Olkoon meillä uima-allas,jonka mitat ovat 25m x 20m x 2m, se sisältää siis 10^6 l vettä. Olkoon vesi niin puhdasta,että tässä määrässä on vain 1 bakteeri, eli n = 10^ (-6). Kun - ln(0,01) = 4.6, saadaan tästä, että on otettava näytettä vähintään 4.6 x 10^6 l. Tämä ylittää uima-altaan veden määrän lähes viisinkertaisesti! Kuitenkin on varmaa, tn = 1, että jo miljoonan litran otos eli koko uima-altaan vesimäärä, sisältää tuon yhden bakteerin.

Ratkaisusi on niin sanottua humpuukia.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Otetaan nyt yhden litran näyte, siis k = 1. Kaavasi mukaan tn, että jokainen sen (n+1):stä osasta on bakteeriton, on 1/(n+1)^k * (n+1) = 1/(n+1) * (n+1) = 1.

Litrassa on kuitenkin keskimäärin n bakteeria!

Miettisitkö asioita vähän huolellisemmin tai kirjoittaisit huolellisemmin kun vastaat kysyjille?

Ohman[/quote]
Anteeksi. Puuttui sulut. po 1-(1/(n+1))^k*(n+1)
Ehdoksi saadaan, että k >= -lg0,01/((n+1)*lg(n+1))[/quote]


Liekö sulkusi vieläkään kohdallaan? Entä ajatuksesi?

1 - (1/ (n+1))^k * (n+1) = 1 - (1/(n+1))^(k-1) eikä tästä seuraa antamasi uusi ehto.

Enpä taida viitsiä enää kommentoida seuraavaa kyhäystäsi!

Ohman

Vierailija

Eikös tuo Poisson-jakauma ole kuitenkin tehtävänannon kannalta paras lähestymistapa, kun tehtävässä oletetaan suuri määrä bakteereita, kuten jo Stratonovich esitti.

Vaihtoehtoisista lähestymistavoista tulee mieleen lähinnä binomijakauman käyttö. Yhdelle bakteerille todennäköisyys p päätyä näytteeseen on näytteen tilavuuden v suhde altaan tilavuuteen V, siis p = v/V. Jos tunnetaisiin bakteerien kokonaislukumäärä N altaassa ja altaan tilavuus V, saataisiin tulos jonka mukaan näytteen bakteerien lukumäärä X noudattaa binomijakaumaa X - Bin(N,p), kun näytteen koko v on annettu.

Kuitenkaan ei tunneta bakteerien lukumäärää N eikä altaan tilavuutta V, eikä siis myöskään todennäköisyyttä p. Tehtävänannon perusteella tunnetaan kuitenkin pN = n, kun näytteen koko on 1 litra Nyt voidaan käyttää binomijakauman approksimaatiota B(N,p) - > Poisson(Np), kun N - > oo, kun Np = vakio = n. Siis saatu jakauma litran näytteelle olisi Poisson(n), kuten jo Stratonovich kirjoitti. Jos näytteen koko on k litraa noudattaa bakteerien lkm jakaumaa Poisson(nk).

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
PPo
Stratonovich

Täydellisesti sekoittunut lukumäärä jotain ei tarkoita tasajakaumaa (koska n ei ole ääretön), vaan sitä, että määrä missä tahansa näytteessä on Poisson-jakautunut. Yhdessä litrassa lukumäärän jakauma on tällöin Poisson(x|n) = n^x exp(-n) / x! ja k litrassa niitä on Poisson(x|nk).

Johtopäätöksesi ei pitäne paikkaansa. Jos k= 0,1/n litraa , niin tarkastellaan tilavuutta, jossa bakterien lukumäärä on keskimäärin 0,1. Tähän Pissonin soveltaminen esittämälläsi tavalla johtanee harhateille.
Oma ratkaisuni lähti siitä, unohdetaan sana " keskimäärin" toviksi. Litrassa on n bakteeria tasaisesti jakaantuneena. Jos litra jaetaan (n+1):een yhtä suureen osaan, niin yhteen ei bakteereita riitä. . Kootaan k:n litran näyte toistokokeenna, jossa toistojen määrä on k*(n+1) ja tapauksen ( valittu tilavuus on bakteeriton) todennäköisyyten yksittäisessä kokeessa on 1/(n+1)
PS:
Uskoisin, että ratkaisuni kokeessa ( silloin olisin ollut tarkka ja sulkeet olisivat paikoillaan) olisi tuottanut enemmän pisteitä kuin sinun esittämäsi.

Niin mutta kun esimerkiksi Wikipedian mukaan bakteereja on vedessä tyypillisesti joku miljoona millilitrassa. On kyllä totta, että tuo Poisson n -> Poisson kn toimii vain suurella n:llä. Omakaan ratkaisusi ei ole tarkka, vaan toimii vain jos n on pieni - joka on vastoin tehtävänantoa.

edit: tarkennusta

Vierailija

Itse järkeilin seuraavasti. Olkoon tilavuudessa V tasaisesti jakautuneena N kpl bakteereja. Otetaan tästä tilavuudesta näyte, jonka tilavuus on V'. Tällöin yksittäinen bakteeri on näytteessä todennäköisyydellä V'/V. Joten yksikään bakteeri ei ole näytteessä todennäköisyydellä (1-V'/V)^N, kun taas ainakin yksi bakteeri on sen komplementtina todennäköisyydellä 1-(1-V'/V)^N. Ehdoksi saadaan 1-(1-V'/V)^N >= p (p = 0,99), josta ratkaisuksi V' >= V[1-(1-p)^(1/N)].

Vierailija

Hei,

CF84
Itse järkeilin seuraavasti. Olkoon tilavuudessa V tasaisesti jakautuneena N kpl bakteereja. Otetaan tästä tilavuudesta näyte, jonka tilavuus on V'. Tällöin yksittäinen bakteeri on näytteessä todennäköisyydellä V'/V. Joten yksikään bakteeri ei ole näytteessä todennäköisyydellä (1-V'/V)^N, kun taas ainakin yksi bakteeri on sen komplementtina todennäköisyydellä 1-(1-V'/V)^N. Ehdoksi saadaan 1-(1-V'/V)^N >= p (p = 0,99), josta ratkaisuksi V' >= V[1-(1-p)^(1/N)].



Tämä on ihan ok ja vastaa binomijakauman Bin(N,p) käyttöä. Ongelmana on kuitenkin se, että ei tunneta bakteerien lukumäärää N eikä altaan tilavuutta V. Voidaan kuitenkin muokata lauseketta

1-(1-V'/V)^N >= 0,99

käyttämällä V'/ V = kn/N, kun oletetaan että näytteen koko on k litraa. Silloin saadaan:

1-(1-kn/N)^N >= 0,99

Tässä on jäljellä enää yksi tuntematon, bakteerien lukumäärä N. Koska N on hyvin suuri, voidaan tutkia raja-rvoa N->oo, jolloin (1-kn/N)^N - > exp(-kn) ja siten ehdosta 1-(1-kn/N)^N >= 0,99 saadaan rajalla ehto 1-exp(-kn) > 0,99. Tämä tulos on Poisson-jakauman mukainen.

Approksimaatio vaikuttaa pätevältä, jos kn/N - > 0, kun N - > oo . Tämä sulkee pois tilanteet joissa oletetaan näytteen olevan kooltaan esimerkiksi kiinteä osuus altaasta, siis V'=RV, kun R vakio ja 0 < R < 1. Koska N->oo vastaa tilannetta, jossa altaan tilavuus V - > oo, eli siis altaan oletetaan olevan ääretömän suuri kun taasen näytteen tilavuus on äärellinen = nk, siis äärellinen näyte äärettömästä altaasta...

PPo
Seuraa 
Viestejä11618
Liittynyt10.12.2008
PPo
Ohman
PPo

Jaetaan jokainen vesilitra (n+1):een yhtä suureen osaan. Tällöin yhdessä osassa ei keskimäärin ole bakteeria. k:n litran näytteeseein tarvitaan tällaisia osia k*(n+1) kappaletta. Jokainen näistä osista on bakteeriton tn:llä 1/(n+1)^k*(n+1), joten k:n määrittämiseksi saadaan ehto 1-1/(n+1)^k*(n+1)>= 0,99



Otetaan nyt yhden litran näyte, siis k = 1. Kaavasi mukaan tn, että jokainen sen (n+1):stä osasta on bakteeriton, on 1/(n+1)^k * (n+1) = 1/(n+1) * (n+1) = 1.

Litrassa on kuitenkin keskimäärin n bakteeria!

Miettisitkö asioita vähän huolellisemmin tai kirjoittaisit huolellisemmin kun vastaat kysyjille?

Ohman


Anteeksi. Puuttui sulut. po 1-(1/(n+1))^k*(n+1)
Ehdoksi saadaan, että k >= -lg0,01/((n+1)*lg(n+1))

Hyi minua . Puuttuvat sulut tulin laittaneeksi väärään paikkaan. Piti olla
1-(1/(n+1))^(k*(n+1) ) ,jolloin ehdoksi tulee antamani lauseke.
Kyllähän Ohman, mikäli vähääkään tn:aa ymmärtää, tämän tajusi. Kunhan vittuili.
Antamani tuloksen aproksimaationa ei kuitenkaan saada Poissonin jakaumasta saatua arvoa , joten Poissonin soveltaminen tähän ongelmaan ei toimi, kuten epäilen, tai sitten oma ratkaisuni on yksinkertaisesti väärin. Selittäkää te viisaammat, mikä päättelyssäni mene pieleen.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Olkoon uima-altaan tilavuus V ja siitä otetaan näyte,jonka tilavuus on v <=V.
Bakteerien tiheys vedessä on n.

Tarkastellaan yhtä tiettyä bakteeria. Todennäköisyys, että se on näytteessä v on v/V ja tn, että se ei ole näytteessä on 1 - v/V. Kaikkiaan bakteereita on nV kappaletta, joten tn, että yksikään niistä ei ole näytteessä v , on (1 - v/V) ^(nV). Siis tn, että ainakin yksi bakteereista on näytteessä, on

(1)) 1 - (1 - v/V)^(nV)

Jotta (1) >= 0.99, on oltava 0.01 >= (1 - v/V) ^(nV), eli

ln 0.01 >= nV ln(1 - v/V) eli

(ln 0.01) / (nV) >= ln(1 - v/V) ja siis 0.01^(1/(nV)) >= 1 - v/V ja siis

(2) v >= (1 - 0.01^(1/(nV))) V

Koska bakteereita oikeasti on vedessä paljon, kaavan (2) mukaan riittää hyvin pieni v, mikä on intuitiivisestikin selvää. Mutta jos bakteereita olisi koko tilavuudessa V vain yksi, eli nV = 1, täytyy olla v >= 0.99 V, mikä tuntuu sekin intuitiivisesti järkevältä.

Jos V on hyvin suuri, on (1 - v/V)^(nV) = (( 1 - v/V)^V)^n lähellä lukua e ^(-nv) ja ehdoksi tulee

(3) 1 - e^(-nv) >= 0.99 ja tämähän on Poisson- jakauman mukainen parametrin arvolla nv. Ehdoksi tulee siis 0.01 >= e^(-nv), eli ln 0.01 >= -nv ja siis lopulta

(4) v >= -ln0.01 / n

Stratonovich päätyi kyllä tähän, mutta esitin nyt sekä eksaktin ratkaisun että johdin siitä tämän approksimaation.

Ohman

PPo
Seuraa 
Viestejä11618
Liittynyt10.12.2008
Spanish Inquisitor

Vaihtoehtoisista lähestymistavoista tulee mieleen lähinnä binomijakauman käyttö. Yhdelle bakteerille todennäköisyys p päätyä näytteeseen on näytteen tilavuuden v suhde altaan tilavuuteen V, siis p = v/V. Jos tunnetaisiin bakteerien kokonaislukumäärä N altaassa ja altaan tilavuus V, saataisiin tulos jonka mukaan näytteen bakteerien lukumäärä X noudattaa binomijakaumaa X - Bin(N,p), kun näytteen koko v on annettu.


Minua mietityttää yllä oleva p=v/V. Mielestäni tilannetta kannattaa lähestyä pohtimalla, millä todennäköisyydellä tietyn suuruisessa näytteessä ei ole bakteereja. Seuraava päättely on mielestäni pätevä (olen esittänyt sen aikaisemminkin.)
Litrassa vettä on n bakteeria tasan jakautuneena. Jos litra jaetaan (n+1):een yhtäsuureen osaan ( V=1/(n+1) litraa) , n:ssä osassa on yksi bakteeri ja yhdessä ei yhtään. Otetaan V:n suuruinen näyte. Todennäköisyys, että näytteessä ei ole bakteeria, on 1/(n+1). k:n litran suuruiseen näytteeseen tarvitaan k*(n+1) kappaletta V:n suuruisia näytteitä, joten todennäköisyys, että k:n litran näytteessä ei ole bakteereita on (1/(n+1))^(k*(n+1)), joten todennäköisyys, että näytteessä on ainakin yksi bakteeri , on
p=1- (1/(n+1))^(k*(n+1)).
Ratkaisemalla ehtoepäyhtälön p>=0,99 saadaan näytteen kooksi
k>= -lg0,01/((n+1)*lg(n+1))
Näin tehtävä voidaan ratkaista soveltamalla binomitodennäköisyyttä turvautumatta Poisson- aproksimatioon.
Vastaukseni on oleellisesti eri kuin Stratonovichilla joten ainakin toinen ratkaisuista on väärin. Kumpi vaiko molemmat?

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat