Matemaattiset ongelmat ja päässä laskeminen

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Monet ovat kaivanneen esim. lukiotason matematiikkaan ja fysiikkaan avoimia ( eli vailla yhtä oikeaa ratkaisua olevia ) tehtäviä, ja jo alkuehtojen määrittelystä alkaen konstruoituja ongelmia, mutta en muista, että missään uutisessa tai artikkelissa olisi kiinnitetty laajempaa huomiota monia eri matemaattis-luonnontieteellisiä periaatteita, lakeja ja tieteitä yhdistelevien tehtävien ominaispiirteisiin sekä niiden levinneisyyteen.

Itselleni on syntynyt jostakin vaikutelma, että poikkitieteellisiä ja useita eri lakeja yhdisteleviä ongelmia on yleensä esim. lukiomaailmassa ja sen jälkeisissäkin matemaattisten alojen opinnoissa aika vähän. Osittain tämä voi johtua jo siitä, että niitä on vaikeampi luoda ja korjata, mutta epäilen kuitenkin, että juuri niitä tehtäviä ratkomalla voisi säästää paljon aikaa, koska niitä ei tarvitse ratkoa niin monia, ja koska niissä kiteytyvät monet opiskeltavat asiat.

Tekisi mieleni väittää, että myös opiskeltavia asioita voitaisiin nykyistä enemmän integroida toisiinsa, jolloin opiskeltavan aineksen sivumäärää saataisiin pienemmäksi tai ainakin enemmän toistaan tukevaksi. Toisto on opintojen äiti, joten ehkä asiat syväopittaisiin paremmin, jos fysiikan tunneilla ratkottaisiin matemaattis-fysikaaalis-kemiallisia ongelmia aivan kuten matematiikan ja kemian tunneillakin. Myös opintoihin palaaminen esim. armeijan jälkeen olisi ehkä vastaavia tehtäviä ratkomalla helpompaa.

Petri Sahervo

Sivut

Kommentit (56)

Vierailija

Jos todellakin on niin, että suurin osa lukijoista on sitä mieltä, että matematiikan kielentämisellä ei saavuteta mitään, niin onko mahdollista kuitenkin laventaa laskemisen määritelmää kattamaan esim. päässä laskeminen kynään välittömästi tarttumatta? Itse ainakin mieluiten lähestyn jotakin minulle vähän vaativampaa ongelmaa mieluiten siten, että pohdin sitä ensin mielessäni kaikilta mieleen tulevilta puolilta, ja jos en kykene sittenkään näkemään sen todennäköisintä ratkaisumallia, niin MIELUUMMIN ETSIN MUUALTA LISÄTIETOA ASIASTA ENNEN KUIN TARTUN KYNÄÄN! Onko tämä järkevä käyttäytymismalli, vai pitäisikö kuitenkin tarttua ensin kynään ja yrittää ratkaista se, vaikka hyvin arvaa, että on varsin epätodennäköistä että se ratkeaa kohtuullisen ajan kuluessa.

Itse asiassa minulla on aina ollut epäilys siitä, että jo tehtäviä lukemalla ja pohtimalla sekä ainakin niiden tyypin mieleenpainamalla voi kerätä jossakin määrin tietoa, johon hieman lisätietoa muualta löytämällä tehtävään alkaa usein nähdä useita mahdollisia ratkaisuvaihtoehtoja, joita yrittää sitten ratkaista laskemalla kynällä ja paperilla yms. EN OLE KOSKAAN PITÄNYT JONKIN TEHTÄVÄN KIMPUSSA TUNTIKAUSIA HÄÄRÄÄMISESTÄ, KOSKA SE MIELESTÄNI TUNTUU AJANHUKALTA, JOS TEHTÄVÄ EI KERTA KAIKKIAAN TUNNU RATKEAVAN!

Petri Sahervo

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Lopeta jo spämmääminen!

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija
Cargo
Lopeta jo spämmääminen!




--------------------------------------------

Kyllä tämä mielestäni tieteellisempi aihe on kuin Jeesuksen uuden tulemisen mahdollisuuden pohtiminen ( noin minuutti sitten vasemman laidan palstalla ) Ainakin keskustelun aihe on todennäköisemmin lukijan kokemusmaailmassa ja ratkaistavissa.

Petri Sahervo

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
kellot12
EN OLE KOSKAAN PITÄNYT JONKIN TEHTÄVÄN KIMPUSSA TUNTIKAUSIA HÄÄRÄÄMISESTÄ, KOSKA SE MIELESTÄNI TUNTUU AJANHUKALTA, JOS TEHTÄVÄ EI KERTA KAIKKIAAN TUNNU RATKEAVAN



Matemaattisten ongelmien ratkaisussa 5 tai 10 minuuttia on hyvin lyhyt aika. Jos käsillä olevaan ongelmaan ei ole valmista rutiinia tai ratkaisumallia, niin kovin kummoisia ongelmia siinä ajassa ei ehdi ratkoa. Ja tuolla menetelmällä matemaattiset taidotkaan ei kehity, jos aina on luovuttanut heti alkuun. Jos todella puhutaan tunneista, eikä edelleenkään ole hajua, niin voi olla että ratkaisua ei juuri siihen hätään samana iltana keksikään. Matemaatikot pohtivat ongelmia, joiden ratkaisuun voi mennä kuukausikaupalla, ja joskus vuosiakin, eikä se edes välttämättä ratkea... mutta ei sitä viidessä minuutissa vielä tiedä.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni
kellot12
EN OLE KOSKAAN PITÄNYT JONKIN TEHTÄVÄN KIMPUSSA TUNTIKAUSIA HÄÄRÄÄMISESTÄ, KOSKA SE MIELESTÄNI TUNTUU AJANHUKALTA, JOS TEHTÄVÄ EI KERTA KAIKKIAAN TUNNU RATKEAVAN



Matemaattisten ongelmien ratkaisussa 5 tai 10 minuuttia on hyvin lyhyt aika. Jos käsillä olevaan ongelmaan ei ole valmista rutiinia tai ratkaisumallia, niin kovin kummoisia ongelmia siinä ajassa ei ehdi ratkoa. Ja tuolla menetelmällä matemaattiset taidotkaan ei kehity, jos aina on luovuttanut heti alkuun. Jos todella puhutaan tunneista, eikä edelleenkään ole hajua, niin voi olla että ratkaisua ei juuri siihen hätään samana iltana keksikään. Matemaatikot pohtivat ongelmia, joiden ratkaisuun voi mennä kuukausikaupalla, ja joskus vuosiakin, eikä se edes välttämättä ratkea... mutta ei sitä viidessä minuutissa vielä tiedä.




--------------------------------------

Näillä ongelmilla en tietenkään tarkoittanut mitään Fermatin sanomisista perille pääsyä, vaan enintään korkeakoulujen perustutkintojen kursseissa ratkottavia ongelmia, joita tavalliset ihmiset tavallisin tiedoin saattavat kyetä suhteellisen nopeasti ratkomaan - tai sitten eivät.

Yleensäkin luulen, että oppimisen kannalta kannattaa siirtyä varsin nopeasti seuraavaan ongelmaan tai lukea lisää teoriaa, sillä harjoitustehtäväthän ovat nimensä mukaisesti tarkoitettu harjoituksiksi, eivätkä niinkään oman älykkyyden tai oppineisuuden todistajiksi. Vaikean tehtävän ratkaiseminen ei nimittäin välttämättä opeta sellaista moniin muihinkin tehtäviin sovellettavissa olevaa tietoa, vaan se aika, jonka sen ratkaiseminen on vaatinut, olisi usein käytetty hyödyllisemmin ratkomalla esim. kymmenen samaa kysymystä käsittelevää helpompaa tehtävää. Toisin sanoen tehtävän vaikeus ei todista sitä oppimisen kannalta erityisen hyödylliseksi tehtäväksi, vaikka joskus saattaa niin ollakin.

Petri Sahervo

Vierailija

Minulle jäi lähtemättömästi mieleen konkreettinen todiste alitajunnan tekemästä työstä matemaattisen tehtävän ratkaisemiseksi. Kyse oli ylioppilaskirjoitusten pitkän matikan tehtävästä jota pähkäilin aikani ja kun ratkaisua ei löytynyt siirryin seuraavan tehtävään. Lopuksi palasin kesken jääneeseen tehtävään ja ratkaisu putkahti mieleen kuin tyhjästä. Uskoisin että ongelma jäi jotenkin pyörimään alitajuntaan ja ratkaisu löytyi sitten heti tehtävää uudelleen pohtiessa.
Usein olen huomannut että sinnikkyys palkitaan. Ratkaisu löytyy usein tehtävään kuin tehtävään kun vaan jaksaa sinnikkästi yrittää. ja ratkaisu on sitten todella makoisa kokemus.

iMuke
Seuraa 
Viestejä1339
Liittynyt13.3.2008

Eikö sulla Sahervo ole mitään muuta tekemistä kun postailla näitä helkkarin äänestyksiä tänne? Yritätkö tehdä jotain ennätystä, vai mikä tämän floodailun tarkoitus oikein on?

Vierailija

Kuka oikeastaan enää laskee käsin mitään yhtään monimutkaisempaa? Kaikki oikeasti kiinnostavat laskut voidaan kuitenkin laskea numeerisesti, ja "tarkassakin" laskussa on jossain vaiheessa (yleensä oletuksissa) tehty niin monta approksimaatiota että numeerinen tarkkuus on varsin riittävä.

Jotkut perus integraalit (ja kaikki sitä helpommat) yms. nyt toki menee nopeammin käsin kuin että vaivautuisi koneelle laskemaan. Usein laskun vaikeus tulee siitä, että on pitkä mekaaninen tehtävä, jossa laskemisen haaste tulee kaikenlaisista turhista merkkivirheistä tai vastaavista. Ja nämä mekaanisetkin tehtävät ratkeavat tietokoneella murto-osasekunneissa.

Ts. jos lasku ei ratkea, siirry koneelle, avaa matlab/mathematica tai koodaa oma ohjelma pidempiin ja spesifimpiin ongelmiin -> ongelma on ratkaistu, ehkä.

Vierailija
iMuke
Eikö sulla Sahervo ole mitään muuta tekemistä kun postailla näitä helkkarin äänestyksiä tänne? Yritätkö tehdä jotain ennätystä, vai mikä tämän floodailun tarkoitus oikein on?




-------------------------------------------------------

Luethan itsekin tätä ketjua, joten otsikko on kiinnostanut sinua ainakin niin paljon, että olet
tullut lukemaan ketjua! Eikö matematiikka ole tieteiden aatelia ja ongelmanratkaisu matematiikan ydin? Äänestystä olisi myös mielestäni lähes rikollista olla käyttämättä, kun se kerran on mahdollista.

Petri Sahervo

Vierailija
korant
Minulle jäi lähtemättömästi mieleen konkreettinen todiste alitajunnan tekemästä työstä matemaattisen tehtävän ratkaisemiseksi. Kyse oli ylioppilaskirjoitusten pitkän matikan tehtävästä jota pähkäilin aikani ja kun ratkaisua ei löytynyt siirryin seuraavan tehtävään. Lopuksi palasin kesken jääneeseen tehtävään ja ratkaisu putkahti mieleen kuin tyhjästä. Uskoisin että ongelma jäi jotenkin pyörimään alitajuntaan ja ratkaisu löytyi sitten heti tehtävää uudelleen pohtiessa.
Usein olen huomannut että sinnikkyys palkitaan. Ratkaisu löytyy usein tehtävään kuin tehtävään kun vaan jaksaa sinnikkästi yrittää. ja ratkaisu on sitten todella makoisa kokemus.




-------------------------------------------

Mielestäni ratkaisun makoisuus on hyvä ja ymmärrettävä asia juuri kirjoituksissa, mutta oletko koskaan tullut ajatelleeksi sitä, että jokin tehtävä, jota et pysty ratkaisemaan edes puoliksi voi aivan hyvin opettaa enemmän kuin tehtävä, jonka pystyt ratkaisemaan kokonaan. Mielestäni myös se, että ei tiedä tai tietää jotakin jonkin tehtävän ratkaisemiseen tarvittavista lähtötiedoista, ei vielä kerro yleisestä ongelmanratkaisutaidosta paljoakaan.

Petri Sahervo

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
bosoni
Matemaatikot pohtivat ongelmia, joiden ratkaisuun voi mennä kuukausikaupalla, ja joskus vuosiakin, eikä se edes välttämättä ratkea... mutta ei sitä viidessä minuutissa vielä tiedä.



Jos lasku/ongelma ratkeaa alle viiden minutin, niin turhaan on sekin viisminuuttinen mennyt. Tämä ei tietenkään koske koe tehtäviä eikä muuta pakkopullaa.

L2K2
Seuraa 
Viestejä150
Liittynyt27.10.2006
Edup
Kuka oikeastaan enää laskee käsin mitään yhtään monimutkaisempaa? Kaikki oikeasti kiinnostavat laskut voidaan kuitenkin laskea numeerisesti, ja "tarkassakin" laskussa on jossain vaiheessa (yleensä oletuksissa) tehty niin monta approksimaatiota että numeerinen tarkkuus on varsin riittävä.

Jotkut perus integraalit (ja kaikki sitä helpommat) yms. nyt toki menee nopeammin käsin kuin että vaivautuisi koneelle laskemaan. Usein laskun vaikeus tulee siitä, että on pitkä mekaaninen tehtävä, jossa laskemisen haaste tulee kaikenlaisista turhista merkkivirheistä tai vastaavista. Ja nämä mekaanisetkin tehtävät ratkeavat tietokoneella murto-osasekunneissa.

Ts. jos lasku ei ratkea, siirry koneelle, avaa matlab/mathematica tai koodaa oma ohjelma pidempiin ja spesifimpiin ongelmiin -> ongelma on ratkaistu, ehkä.




Vaikka tietokoneet ovatkin nykyään eteviä integraalilaskennassa (ja erityisesti integraalien numeerisessa approksimoinnissa), niin se ei todellakaan tarkoita sitä, että niillä voitaisiin ratkoa kaikki tehtävät. Erityisesti kompleksitason määrätyt integraalit ovat vaikeita tietokoneille.

Pahimmillaan kyseiset ohjelmat saattavat antaa täysin väärän vastauksen tällaiseen tehtävään, esimerkiksi Mathematica antaa useille kompleksisille polkuintegraaleille tulokseksi "Does not converge", vaikka näin ei todellakaan ole.

Tietokoneella suoritettava symbolinen integrointi on valtavan ohjelmalle opetetun temppukokoelman käyttämistä, eikä tietokoneilla ole vielä kykyä hahmottaa itse tehtävää. Toki kyseistä integraalia voidaan arvioida numeerisesti tietokoneella (itse asiassa tässä tapauksessa onnistuneesti), mutta se ei vastaa suljetussa muodossa ilmaistavissa olevan ratkaisun löytämistä (koska numeerinen lasku pitää suorittaa uudelleen kaikille integroitavan funktion parametrien arvoille).

Kärjistettynä: kukin yksittäistapaus ratkeaa numeerisesti laskemalla, mutta suljetun muodon ratkaisu kertoo näiden välillä vallitsevan 'lain'.

Jorma
bosoni
Matemaatikot pohtivat ongelmia, joiden ratkaisuun voi mennä kuukausikaupalla, ja joskus vuosiakin, eikä se edes välttämättä ratkea... mutta ei sitä viidessä minuutissa vielä tiedä.



Jos lasku/ongelma ratkeaa alle viiden minutin, niin turhaan on sekin viisminuuttinen mennyt. Tämä ei tietenkään koske koe tehtäviä eikä muuta pakkopullaa.



Millä perusteella? Entä jos löydät alle viiden minuutin pohdinnalla ratkaisun ongelmaan, jota muut ovat pohtineet jo vuosia; onko tuo käyttämäsi aika nyt hukattu turhaan.

idiotus
Seuraa 
Viestejä1907
Liittynyt8.12.2007

Nämä ongelmat siis kuuluvat ilmeisesti kategoriaan kotitehtävät.
Olen hakannut päätä seinään harjoitustehtävän kimpussa välillä yön yli. Opettavaista.

Quidquid latine dictum sit, altum videtur.

In porto perse vitulus est.

Rousseau: "tämä keskustelufoorumi saattaa aiheuttaa itsetuhoisuutta, käytettävä vain hoitohenkilökunnan valvovan silmän alla ja/tai hyvin lääkittynä".

Varoitus! Saatan leikkiä välillä paholaisen asianajajaa jopa tiedostamatta sitä.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
L2K2

Jorma
bosoni
Matemaatikot pohtivat ongelmia, joiden ratkaisuun voi mennä kuukausikaupalla, ja joskus vuosiakin, eikä se edes välttämättä ratkea... mutta ei sitä viidessä minuutissa vielä tiedä.



Jos lasku/ongelma ratkeaa alle viiden minutin, niin turhaan on sekin viisminuuttinen mennyt. Tämä ei tietenkään koske koe tehtäviä eikä muuta pakkopullaa.



Millä perusteella? Entä jos löydät alle viiden minuutin pohdinnalla ratkaisun ongelmaan, jota muut ovat pohtineet jo vuosia; onko tuo käyttämäsi aika nyt hukattu turhaan.



Eiköhän Jorma tarkoittanut että tuollainen tilanne olisi jokseenkin epätodennäköinen. Tuollaisten ongelmien ratkaisujen käsin kopioiminenkin veisi runsaasti aikaa, ajattelusta puhumattakaan. Myöskin tyypillisten korkeakoulutehtävien ratkaisujen kopioiminen käsin veisi enemmän kuin se 5 min.

Onhan joskus niitäkin tehtäviä, joiden ratkaisu näyttää lyhyeltä, mutta se ei tarkoita etteikö sen ratkaisuun vaadittava ajatustyö uusien asioiden opettelun kera voisi viedä tuntejakin.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
kellot12
Jos todellakin on niin, että suurin osa lukijoista on sitä mieltä, että matematiikan kielentämisellä ei saavuteta mitään, niin onko mahdollista kuitenkin laventaa laskemisen määritelmää kattamaan esim. päässä laskeminen kynään välittömästi tarttumatta? Itse ainakin mieluiten lähestyn jotakin minulle vähän vaativampaa ongelmaa mieluiten siten, että pohdin sitä ensin mielessäni kaikilta mieleen tulevilta puolilta, ja jos en kykene sittenkään näkemään sen todennäköisintä ratkaisumallia, niin MIELUUMMIN ETSIN MUUALTA LISÄTIETOA ASIASTA ENNEN KUIN TARTUN KYNÄÄN! Onko tämä järkevä käyttäytymismalli, vai pitäisikö kuitenkin tarttua ensin kynään ja yrittää ratkaista se, vaikka hyvin arvaa, että on varsin epätodennäköistä että se ratkeaa kohtuullisen ajan kuluessa.

Itse asiassa minulla on aina ollut epäilys siitä, että jo tehtäviä lukemalla ja pohtimalla sekä ainakin niiden tyypin mieleenpainamalla voi kerätä jossakin määrin tietoa, johon hieman lisätietoa muualta löytämällä tehtävään alkaa usein nähdä useita mahdollisia ratkaisuvaihtoehtoja, joita yrittää sitten ratkaista laskemalla kynällä ja paperilla yms. EN OLE KOSKAAN PITÄNYT JONKIN TEHTÄVÄN KIMPUSSA TUNTIKAUSIA HÄÄRÄÄMISESTÄ, KOSKA SE MIELESTÄNI TUNTUU AJANHUKALTA, JOS TEHTÄVÄ EI KERTA KAIKKIAAN TUNNU RATKEAVAN!

Petri Sahervo




Kyllä sinä nyt vähän väärältä porukalta "myötätuntoa" haet. Tottakai meistä moni miettii visaista tehtävää väliin päiväkausia, koska niiden pähkäileminen on elinikäinen intohimo matemaattisluontoisista ongelmista kiinnostuneille. Jos huomaa lopulta ratkaisun, on ilo sitä isompi. Suloista harmittelua syntyy, kun ratkaisu on yksinkertainen, mutta ei vain ole itse hoksinut. Töhnäinen olo taas tulee, kun on hakenut liian läheltä ratkaisua ja se onkin pari kertaluokkaa hankalampi kuin osasi kuvitella.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat