Seuraa 
Viestejä1124

Kokonaislukuja pidetään "tarkkoina" mutta onko kokonaisluvuilla mitään (todellista tarkkaa ) vastetta muuten kuin arkielämässä, luvun todellisuudessa ollessa pyöristetty arvo? Esim. yksi sormi- mistä kohtaa mitattuna ja missä tilassa samoin mikä muu kappale tms. 1kg , 1m , 1s .. kaikki ovat pyöristettyjä arvoja. Pelkästään paperillekin kirjoitettu numero saattaa olla niin epämääräinen että se voidaan tulkita usealla tavalla

Sivut

Kommentit (33)

Pelkästään paperillekin kirjoitettu numero saattaa olla niin epämääräinen että se voidaan tulkita usealla tavalla
Niin, jotkut ovat olevinaan niin taitavia että jopa kirjoitettua tekstiä "tulkitaan" oman mielen mukaan sopivasti ja luullaan että asia on näin.

Kirjoitettua numeroa ei todellakaan mennä "tulkitsemaan" vaan se on se mitä paperissa lukee.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
jeremia2
K1kg , 1m , 1s .. kaikki ovat pyöristettyjä arvoja

Kilogramma määritellään kansainvälisen prototyypin avulla, jota säilytetään Sèvresissä, Ranskassa. Se ei siis ole likiarvo vaan ainoa tarkka arvo. Metri on tarkasti ottaen määritelmänsä mukaan pituus, jonka valo kulkee tyhjiössä 1⁄299 792 458 sekunnissa ja sekunti taas Nykyisen määritelmän mukaan sekunti on tasan 9 192 631 770 kertaa sellaisen värähtelyn jaksonaika, joka vastaa cesium-133-atomin siirtymää perustilan ylihienorakenteen energiatasojen välillä. Ne ovat siis ainoat tarkat, määritelmän mukaiset arvot noille mitoille, muut ovat tosiaan mitattavia likiarvoja.

Hetkinen...lasketaanpas: 919261770 / 299792458 = 8,2619254 * 10^26 eli metrin määritelmä on myös likiarvo, koska sekunnin määritelmä jaettuna metrin määritelmässä olevalla ajalla (1/299792458 sekuntia) ei ole kokonaisluku. Kai?

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Keckman
Hetkinen...lasketaanpas: 919261770 / 299792458 = 8,2619254 * 10^26 eli metrin määritelmä on myös likiarvo, koska sekunnin määritelmä jaettuna metrin määritelmässä olevalla ajalla (1/299792458 sekuntia) ei ole kokonaisluku. Kai?

Miksi tuloksena pitäisi olla kokonaisluku?

We're all mad here.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä33557
jeremia2
Kokonaislukuja pidetään "tarkkoina" mutta onko kokonaisluvuilla mitään (todellista tarkkaa ) vastetta muuten kuin arkielämässä, luvun todellisuudessa ollessa pyöristetty arvo?



Kappaletavaroiden lukumääriä kokonaisluvut kuvaavat aivan loistavasti. Jos ostat vaikka sähkömoottoreita johonkin laitteeseen, puolikkaalla moottorilla ei ole mielekästä merkitystä. Kyllä jokainen yksittäinen moottori joko on (täyttää vaaditut standardit ja toleranssit) tai ei ole (puuttuu tai on viallinen, esimerkiksi halki rälläköity moottorinpuolikas).

abskissa

Miksi tuloksena pitäisi olla kokonaisluku?

Sekunti on tarkka arvo: voidaan laskea koska värähtelyjä on tapahtunut tasan määrätty kokonaislukuarvo. Mutta jos pitäisi mitata se aika, jolla metri määritellään (eli matka, jonka valo kulkee 1⁄299 792 458 sekunnissa, niin ei voida laskea tiettyä kokonaislukuarvoa vastaavaa värähtelyjen määrää ja mitata matka, jonka valo on kulkenut siinä ajassa, vaan jouduttaisiin mittaamaan matkaa, jonka valoon kulkenut jonain vain likiarvoisesti mitattavissa olevassa ajassa (koska se ei ole värähtelyjen kokonaisluku määrä). Se tuo mittaukseen epätarkkuutta ja siis metri ei ole tarkasti määritelty.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Keckman
Se tuo mittaukseen epätarkkuutta ja siis metri ei ole tarkasti määritelty.

En edelleenkään ymmärrä. Onko 299 792 458 metriä mielestäsi tarkasti määritelty?

We're all mad here.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
jeremia2
Kokonaislukuja pidetään "tarkkoina" mutta onko kokonaisluvuilla mitään (todellista tarkkaa ) vastetta muuten kuin arkielämässä, luvun todellisuudessa ollessa pyöristetty arvo? Esim. yksi sormi- mistä kohtaa mitattuna ja missä tilassa samoin mikä muu kappale tms. 1kg , 1m , 1s .. kaikki ovat pyöristettyjä arvoja. Pelkästään paperillekin kirjoitettu numero saattaa olla niin epämääräinen että se
voidaan tulkita usealla tavalla

Riippuu tilanteesta: Kivi 7 veljestä (tarkka), Spede: Noin 7 veljestä (likiarvo).

abskissa
Onko 299 792 458 metriä mielestäsi tarkasti määritelty?

Jos tarkoitat kysymykselläsi, että onko tarkasti määritelty se matka, jonka valo kulkee sekunnissa, niin kyllä, koska sekunti on tarkasti määritelty. Jos tarkoitat kysymykselläsi sitä mitä kysyit, eli onko 299792458 metriä tarkasti määritelty, niin mielestäni ei ole, koska metri ei ole tarkasti kokonaislukuarvoilla määritelty,koska on hankala - ellei mahdotonta - mitata tarkasti koska jokin värähtelijä on värähtänyt muun kuin kokonaisluvun verran.

Sinänsä, koska metri siis määritellään pituudeksi, jonka valo kulkee tyhjiössä 1⁄299 792 458 sekunnissa, kulkee valo automaattisesti 299 792 458 metriä sekunnissa ilman sen nopeuden mittaamistakin.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Keckman
Jos tarkoitat kysymykselläsi sitä mitä kysyit, eli onko 299792458 metriä tarkasti määritelty, niin mielestäni ei ole, koska metri ei ole tarkasti kokonaislukuarvoilla määritelty,koska on hankala - ellei mahdotonta - mitata tarkasti koska jokin värähtelijä on värähtänyt muun kuin kokonaisluvun verran.

En edelleenkään ymmärrä, miksi rationaaliluku olisi jotenkin epätarkempi kuin kokonaisluku. Metrin määritelmää soveltaen 299 792 458 metriä on täsmälleen se matka, jonka valo matkaa tyhjiössä ajassa joka vastaa 9 192 631 770 määrätynlaista värähtelyjaksoa. Yksi metri on tuon etäisyyden 299 792 458:s osa. Ei siihen mitään epätarkkuutta liity.

We're all mad here.

abskissa
Yksi metri on tuon etäisyyden 299 792 458:s osa. Ei siihen mitään epätarkkuutta liity.

Joo ei liity, jos se noin määritellään eli että metri olisi jonkin etäisyyden kokonaisosa. Mutta kun sitä ei noin määritellä, vaan sen määritelmässä on ajan yksikkö mukana eli matka, jonka valo kulkee 1⁄299 792 458 sekunnissa. Ensin määritellään aika eli sekunti ja jaetaan se 299792458:lla ja mitataan matka, jonka valo kulkee siinä ajassa.

Minusta jokin värähtelijä värähtelee vain jonkin kokonaislukumäärän. Se ei värähtele esim. 123,5345433... kertaa - tai ainakin sitä aikaa on pirun hankalaa mitata silloin. No, ehkä turhaa pilkun viilausta.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Keckman
Joo ei liity, jos se noin määritellään eli että metri olisi jonkin etäisyyden kokonaisosa. Mutta kun sitä ei noin määritellä, vaan sen määritelmässä on ajan yksikkö mukana eli matka, jonka valo kulkee 1⁄299 792 458 sekunnissa.

Sehän on ekvivalentti määritelmä, jos ajatellaan valon taittavan matkaa suoraviivaisesti ja tasaista vauhtia.

We're all mad here.

No joo joo. Sinänsä, koska avaruus on kaikkialta ainakin vähän kaareutunut, ei se ole ihan tarkasti mitattavissa (vaikka se on tarkasti määritelty).

jeremia2
Kokonaislukuja pidetään "tarkkoina" mutta onko kokonaisluvuilla mitään (todellista tarkkaa ) vastetta muuten kuin arkielämässä, luvun todellisuudessa ollessa pyöristetty arvo? Esim. yksi sormi- mistä kohtaa mitattuna ja missä tilassa samoin mikä muu kappale tms. 1kg , 1m , 1s .. kaikki ovat pyöristettyjä arvoja. Pelkästään paperillekin kirjoitettu numero saattaa olla niin epämääräinen että se voidaan tulkita usealla tavalla

Ihan asiallinen kysymys. Katsotaanpa, millainen on luvun käsite ja mikä on sen materiaalinen synty- ja kehityshistoria:

Luku on tärkein matemaattinen käsite. Luvun käsite syntyi yksinkertaisimpaan muotoonsa primitiivisessä yhteiskunnassa, ja aikojen kuluessa se on kokenut muutoksia, kasvaen jatkuvasti rikkaammaksi sisällöltään ihmisen aktiviteettien määrän sekä kvantitatiivista kuvailua ja tutkimista vaativien ongelmien kirjon kasvaessa. Kehityksen alkuvaiheissa luvun käsite määräytyi ihmisten päivittäisiin aktiviteetteihin liittyvistä lasku- ja mittaustarpeista. Tämän seurauksena luvusta tuli matematiikan peruskäsite, ja sen jatkokehityksen ovat määränneet matemaattisten tieteiden tarpeet.

Luonnollisten lukujen (positiivisten kokonaislukujen) käsite syntyi esihistoriallisina aikoina yhdeydessä tarpeeseen laskea objekteja. Yleisesti ottaen sen muodostuminen ja kehittyminen tapahtui seuraavasti. Primitiivisen yhteiskunnan alkuvaiheissa abstraktin luvun käsitettä ei ollut olemassa. Tämä ei kuitenkaan tarkoittanut, että primitiivinen ihminen olisi ollut kykenemätön saamaan selville annetun joukon objektien lukumäärää, kuten montako ihmistä on metsästämässä tai montako sellaista järveä on lähistöllä, josta kalaa kannattaa pyytää. Kuitenkaan primitiivisen ihmisen tietoisuus ei ollut tarpeeksi kehittynyt, jotta hän olisi ymmärtänyt mitä yhteistä erilaisilla objektiryhmillä, kuten "kolmella ihmisellä" tai "kolmella järvellä", on. Primitiivisten kansojen kieltä analysoimalla on voitu osoittaa, että eri objektien laskemiseen käytettiin eri fraaseja. Esimerkiksi "kolmen ihmisen" lukumäärästä ja "kolmen kalan" lukumäärästä käytettin eri sanoja.

Abstraktin luvun käsite syntyi primitiivisestä tavasta laskea objekteja, vertailemalla annetun joukon objekteja jonkin sellaisen joukon suhteen, joka on asetettu standardiksi. Useimpien kansojen keskuudessa sormet toimivat ensimmäisenä tällaisena standardina ("sormilla laskeminen"), mikä on vahvistettu ensimmäisten lukuja tarkoittavien sanojen kielitieteellisillä analyyseilla. Tässä vaiheessa luvusta tuli abstrakti, laskettavien objektien (fysikaalisesta) luonteesta riippumaton, käsite, samaan aikaan toimien kuitenkin täysin konkreettisena vertailujoukon luonnollisten ominaisuuksien ilmentymänä. Entistä suurempi tarve laskemiseen pakotti ihmisen käyttämään myös muita laskentastandardeja, kuten koloja tikuissa. Kun laskemisessa tarvittavat luvut alkoivat kasvaa suhteellisen suuriksi, kehittyi uudenlainen idea, jossa tiettyä lukua (useimpien kansojen keskuudessa kymmentä) merkittiin uudenlaisella symbolilla, esimerkiksi tekemällä lovi eri tikkuun.

Kirjoitustaidon kehittymisen myötä mahdollisuus laajentaa (tai tuottaa uusia) lukuja kasvoi merkittävästi. Aluksi lukuja merkittiin viivoilla kirjoitusmateriaalissa, kuten papyruksessa tai savitaulussa. Myöhemmin muita symboleja otettiin käyttöön tarkoittamaan suuria lukuja. Babylonialaiset nuolenpääkirjoitusnotaatiot luvuille, kuten myös roomalaiset numeraalit, jotka ovat säilyneet nykypäivään asti, osoittavat selvästi että luvun notaatioiden kehitys on tapahtunut täsmälleen tällä tavalla. Suuri kehitysaskel eteenpäin oli hindujen positionaalinen numeraatiosysteemi, mikä teki mahdolliseksi minkä tahansa luonnollisen luvun esittämisen kymmenen symbolin, eli numeron, avulla. Siis kirjoituskielen kehittyessä luonnollisen luvun käsite sai yhä abstraktimman muodon. Vastaavasti abstraktin luvun käsite, joka ilmaistaan puhekielessä erityisinä sanoina ja merkitään erityisinä symboleina kirjoituksessa, vakiintui yhä enemmän ja enemmän.

Tärkeä luonnollisten lukujen kehitysaskel oli äärettömyyden tunnistaminen/tunnustaminen jossain luonnollisten lukujen jonossa, eli mahdollisuus jonon rajoittamattomalle jatkumiselle. Selvä ymmärtämys luonnollisten lukujen jonon äärettömyydelle heijastuu antiikin kreikkalaisten (3. vuosisata ennen ajanlaskun alkua) matemaatikkojen, erityisesti Eukleideen ja Arkhimedeen töistä. Alkulukujen muodostaman jonon rajoittamaton jatkuvuus selvitettiin jo Eukleideen kirjassa Alkeet, ja periaatteet nimien ja symbolien antamiseksi mille tahansa suurille luvuille, erityisesti luvuille jotka ovat suurempia kuin "maailmassa olevien hiekanjyvien määrä", on esitetty Arkhimedeen kirjassa "Sand reckoner".

Lukujen operaatiot (laskutoimitukset) tulivat käyttöön luonnollisten lukujen käsitteen kehittyessä yhdeydessä objektien laskemisen kanssa. Yhteen- ja vähennyslaskuoperaatiot syntyivät alunperin objektijoukkojen itsensä operaatioina, yhdistäen kaksi objektijoukkoa toisiinsa tai erottaen osa objekteista jostakin objektijoukosta erilleen. Kertolasku ilmeisesti syntyi sen seurauksena, että objekteja haluttiin laskea keskenään yhtä suurissa osissa (esimerkiksi pareja tai kolmen objektin joukkoja, jolloin pitikin pitää kirjaa myös näiden "osajoukkojen" lukumäärästä), jakolasku vastaavasti taas syntyi objektijoukon jakamisesta yhtä suuriin osiin. Näiden operaatioiden abstrakti luonne tuli selkeästi esille vuosisatojen kokemuksen jälkeen, kuten myös kvantitatiivisen tuloksen riippumattomuus sen (laskenta)joukon muodostavien objektien luonnollisista (fysikaalisista) ominaisuuksista, jossa operaatiot suoritetaan. Esimerkiksi kahden objektin joukko ja kolmen objektin joukko summautuvat viiden objektin joukoksi riippumatta ko. objektien (fysikaalisesta) luonteesta. Vasta tämän ymmärrettyään matemaatikot alkoivat kehittää laskutoimitusten sääntöjä, tutkia niitä ja kehittää niiden avulla ongelmienratkaisumetodeja; toisin sanoen vasta silloin lukujen tieteen, aritmetiikan, kehitys alkoi. Aritmetiikka kehittyi kaiken aiemman laskennan "yläpuolelle" tiedon systeemiksi, joka oli avoimesti suuntautunut käytännöllisyyteen. Kuitenkin, tämän prosessin kehityksen aikana tuli ilmeiseksi, että lukujen ominaisuuksien tutkimiselle oli tarvetta sellaisenaankin, samoin kuin jatkuvasti monimutkistuneiden säännöllisyyksien selvittämiselle niiden keskinäisessä suhteessa, jonka aikaansaa laskutoimitusten (itsensä) olemassaolo. Luonnollisten lukujen "jalostaminen" alkoi, ja moninaiset luokat, kuten parittomat ja parilliset luvut samoin kuin alkuluvut ja yhdistetyt luvut, tulivat erotetuksi. Luonnollisten lukujen syvälle juurtuneiden säännöllisyyksien tutkimus jatkuu ja muodostaa perustan matematiikan haaralle nimeltään lukuteoria.

Luonnollisilla luvuilla on niiden alkuperäisen (ensisijaisen) tehtävän, eli objektien lukumäärän luonnehtimisen, lisäksi myös toinen tehtävä, joka on jonossa olevien objektien järjestyksen luonnehtiminen. Järjestysluvun (ensimmäinen, toinen, jne.) käsite, joka syntyy yhteydessä tähän tehtävään, liittyy läheisesti kardinaaliluvun (yksi, kaksi, jne.) käsitteeseen. Erityisesti kaikista tärkein menetelmä objektien lukumäärän laskemiseksi ammoisista ajoista alkaen on niiden sijoittaminen jonoon, ja sitten laskea ne käyttäen järjestyslukuja (esim. jos viimeinen objekti on seitsemäs, niin objekteja on yhteensä seitsemän).

Luonnollisten lukujen käsitettä pidettiin pitkään niin tuttuna ja yksinkertainena, ettei muunlaisille kuin edellä esitetyille määritelmille ollut tarvetta pitkään aikaan. Vasta 1800-luvun puolivälissä, toisaalta matematiikan aksiomaattisten menetelmien kehityksen yhteydessä, ja toisaalta matemaattisen analyysin perusteiden kriittisen uudelleenarvioinnin yhteydessä, nähtiin tarpeelliseksi määritellä luonnolliset kardinaaliluvut uudella tavalla. Selkeän määritelmän luonnollisten lukujen käsitteelle joukon (joukko="objektien kokouma") käsitteiden avulla antoi 1870-luvulla G. Cantor. Aluksi Cantor määritteli joukkojen ekvivalenssin. Erityisesti kahta joukkoa sanotaan ekvivalenteiksi, jos niiden (alkioiden) välillä on yksi yhteen -vastaavuus. Annetun joukon objektien (alkioiden) lukumäärä on edelleen määritelty niiden objektien (alkioiden) avulla, jotka tarkasteltavalla joukolla ja millä tahansa muulla ekvivalentilla joukolla, ovat yhteisiä. Tämä määritelmä heijastaa luonnollisten lukujen perusolemusta, annetun joukon objektien määrän laskemista. Tosiaan, kaikilla historiallisilla tasoilla, laskeminen on koostunut vertailemalla laskettavia objekteja sellaisiin objekteihin, jotka muodostavat "referenssijoukon" (muinaisina aikoina sormet ja lovet tikuissa; tänä päivänä sanat ja symbolit jotka edustavat lukuja). Cantorin määritelmä loi alun kardinaalilukujen laajennuksille äärellisistä joukoista äärettömiin joukkoihin.

jeremia2
Seuraa 
Viestejä1124
Neutroni

Kappaletavaroiden lukumääriä kokonaisluvut kuvaavat aivan loistavasti. Jos ostat vaikka sähkömoottoreita johonkin laitteeseen, puolikkaalla moottorilla ei ole mielekästä merkitystä. Kyllä jokainen yksittäinen moottori joko on (täyttää vaaditut standardit ja toleranssit) tai ei ole (puuttuu tai on viallinen, esimerkiksi halki rälläköity moottorinpuolikas).




En kieltänytkään sitä etteikö arkielämässä kokonaisluvut toimi, toimii pyöristetyillä noin arvoilla.
Ajatus oli jos sanon jotain tarkasti kokonaisluvulla esim. 5 kpl, niiden pitää olla absoluuttisesti samanlaisia (tulee epätarkkuuksia) ja jotta niiden energiatilatkin olisivat samoja niiden pitäisi olla samassa paikassa mikä tekee siitä lisä ongelman, lisäksi pitäisi ilmoittaa tarkka alku- ja loppuaika (lisää vielä vaikeusastetta, epätarkkuutta) tuolle viiden kappaleen määritykselle.
Siis kokonaisluvut ovat aina pyöristettyjä arvoja
On olemassa yksi kokonainen tarkka=maailmankaikkeus, ja sekin ääretön

jeremia2
Ajatus oli jos sanon jotain tarkasti kokonaisluvulla esim. 5 kpl, niiden pitää olla absoluuttisesti samanlaisia
Miksi pitäisi olla. Jos voidaan sanoa, että nuo kappaletavarat ovat omenia ja niitä on 5 kpl. niin se on tasan 5 kpl vaikka osa omenista olisi mätiä. Vai voitko jotenkin määritellä tarkemman arvon omienien lukumäärälle. Sinun pitäisi sitten löytää se tarkempi arvo ennenkuin esität moista.

jeremia2
Seuraa 
Viestejä1124
korant
jeremia2
Ajatus oli jos sanon jotain tarkasti kokonaisluvulla esim. 5 kpl, niiden pitää olla absoluuttisesti samanlaisia
Miksi pitäisi olla. Jos voidaan sanoa, että nuo kappaletavarat ovat omenia ja niitä on 5 kpl. niin se on tasan 5 kpl vaikka osa omenista olisi mätiä. Vai voitko jotenkin määritellä tarkemman arvon omienien lukumäärälle. Sinun pitäisi sitten löytää se tarkempi arvo ennenkuin esität moista.



Oletko torikauppias ?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä33557
jeremia2

En kieltänytkään sitä etteikö arkielämässä kokonaisluvut toimi, toimii pyöristetyillä noin arvoilla.
Ajatus oli jos sanon jotain tarkasti kokonaisluvulla esim. 5 kpl, niiden pitää olla absoluuttisesti samanlaisia (tulee epätarkkuuksia)



Ei tuollaisessa rajoituksessa ole mitään mieltä.

Siis kokonaisluvut ovat aina pyöristettyjä arvoja



Mitä tarkoitat? Esimerkiksi meidän perheessä on kaksi aikuista ja kolme lasta, yhteensä viisi ihmistä. Mistä tuo lukema on pyöristetty? Mikä on mielestäsi todellinen ihmisten määrä tuollaisessa tapauksessa ja miten kokonaisluvut ovat riittämättömiä ihmisten määrän kuvaamiseen?

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat