Pakonopeus, kuinka korkealle ja kauanko kestää?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

moro,

Minun intgraalitaidot loppuivat kesken.
Töissä iltapäivä kahvilla mietittiin seuraavaa:

Ilmakehättömän maapallon pinnalta ammutaan kohtisuoraan ylös päin objekti nopeudella 11199 m/s.
Kuinka kaukana tuo objekti käy ja kuinka pitkän ajan päästä objekti lässähtää takaisin maan pinnalle?

Pakonopeus on 11200 m/s

Kiitos ja kumarrus.

Ps: jos täällä on jo ollut keskustelua aiheesta, pahoittelen uudellen kysymistä. Haulla en äkkiä löytänyt.

Sivut

Kommentit (60)

Vierailija

Oletatko kuitenkin että Maa kiertää Aurinkoa jolloin raketti ei kovin kauas Auringosta pääse ja riippuu täysin siitä mihin suuntaan Aurinkoon ja Maan kiertoliikkeeseen nähden raketti ammutaan. Myös aurinkokunnan planeetat vaikuttavat mutta ilmeisesti näitä eikä aurinkoa huomioida.

Vierailija
korant
Oletatko kuitenkin että Maa kiertää Aurinkoa jolloin raketti ei kovin kauas Auringosta pääse ja riippuu täysin siitä mihin suuntaan Aurinkoon ja Maan kiertoliikkeeseen nähden raketti ammutaan. Myös aurinkokunnan planeetat vaikuttavat mutta ilmeisesti näitä eikä aurinkoa huomioida.



Juu, toki malli on täysin teoreettinen. Kaikkeudessa kelluu maapallo jossa joku päättä testa mokoman asian.

Vierailija

Jos en aivan erehdy niin pakonopeudella tarkoitetaan sitä nopeutta jolla kappale pystyy kokonaan irtautumaan toisen kappaleen vetovoimasta. Nopeus kiertoradalle pääsemiseen on pienenmpi, joten voi olla että tuo objekti ei koskaan, tai ainakaan kovin nopeasti maan pinnalle palaa. Voi toki olla että olen erehtynytkin, valistuneemmat korjatkoon käsitystä.

Tosin jos pallo ei tuossa mallissa pyöri niin se muuttanee asetelmia.

Vierailija
sattanen

Ilmakehättömän maapallon pinnalta ammutaan kohtisuoraan ylös päin objekti nopeudella 11199 m/s.
Kuinka kaukana tuo objekti käy ja kuinka pitkän ajan päästä objekti lässähtää takaisin maan pinnalle?

Tarvitaanko tuossa integraalilaskentaa ainakaan etäisyyden laskemisessa?

Potentiaalienergia lakipisteessä on sama kuin liike-energia alussa. Eli:

Potentiaalienergia lopussa=mgh, missä g=G*m*M/r^2
liike-energia alussa=1/2 * m * v^2

1/2 * m * v^2 = m * (G* m*M/r^2) r
josta r=GmM/(1/2 * v^2)
G=gravitaatiovakio
M=maapallon massa
m=kappaleen massa
v=nopeus alussa
Eli pitäisi tietää kappaleen massa, jotta voitaisiin laskea tuo r (etäisyys maapallon keskipisteestä)

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Keckman
Tarvitaanko tuossa integraalilaskentaa ainakaan etäisyyden laskemisessa?

Potentiaalienergia lakipisteessä on sama kuin liike-energia alussa. Eli:

Potentiaalienergia lopussa=mgh, missä g=G*m*M/r^2
liike-energia alussa=1/2 * m * v^2

1/2 * m * v^2 = m * (G* m*M/r^2) r
josta r=GmM/(1/2 * v^2)
G=gravitaatiovakio
M=maapallon massa
m=kappaleen massa
v=nopeus alussa
Eli pitäisi tietää kappaleen massa, jotta voitaisiin laskea tuo r (etäisyys maapallon keskipisteestä)


Tarvitaan integraalilaskentaa, koska putoamiskiihtyvyys ei ole vakio matkan varrella. Kappaleen massaa ei tarvitse tietää, koska a=F/m <=> g=G*m*M/m/r^2.
Kirjoitin java-ohjelman tuota huippukorkeutta ratkomaan, kun en differentiaaliyhtälöä
r'' = -G*M/r^2
osaa ratkaista.
Melkoinen haarukointi löytää riittävän tarkka aika-askeleen arvo lähtönopeudelle, joka on tietyn verran pakonopeutta pienempi, koska numeerinen virhe saa kappaleen helposti "tunneloitumaan".
[code:1qmtu76v]package loikka;

public class Loikka {

private double h = 0.0001; // Aika-askel
private double G = 6.67385*Math.pow(10, -11); // Newtonin gravitaatiovakio
private double M = 5.9736*Math.pow(10, 24); // Maan massa
private double R = 6371000; // Maapallon säde
private double[] x = new double[2]; // Tilavektori (sijainti&nopeus)
private double[][] k = new double[4][2]; // RK4-vakiot
private double max = 6371000; // Suurin saavutettu korkeus

public Loikka() {
this.x[0] = this.R; // Kappaleen sijainti(, Maapallon säde alkuarvona)
this.x[1] = Math.sqrt(2*this.G*this.M/this.R)-100; // Kappaleen (alku)nopeus(,
// 100m/s käyttämilläni arvoilla
// johtamaani pakonopeutta pienempi)
}

/*
* Päivittää hiukkasen tilan ja RK4-vakiot.
*/
public void update() {
this.k[0][0] = this.h*this.x[1];
this.k[0][1] = this.h*(-this.G*this.M/this.x[0]/this.x[0]);
this.k[1][0] = this.h*(this.x[1]+0.5*this.k[0][0]);
this.k[1][1] = this.h*(-this.G*this.M/((this.x[0]+0.5*this.k[0][1])*(this.x[0]+0.5*this.k[0][1])));
this.k[2][0] = this.h*(this.x[1]+0.5*this.k[1][0]);
this.k[2][1] = this.h*(-this.G*this.M/((this.x[0]+0.5*this.k[1][1])*(this.x[0]+0.5*this.k[1][1])));
this.k[3][0] = this.h*(this.x[1]+this.k[2][0]);
this.k[3][1] = this.h*(-this.G*this.M/((this.x[0]+this.k[2][1])*(this.x[0]+this.k[2][1])));
this.x[0] += (this.k[0][0]+this.k[3][0]+2*(this.k[1][0]+this.k[2][0]))/6;
this.x[1] += (this.k[0][1]+this.k[3][1]+2*(this.k[1][1]+this.k[2][1]))/6;
if (this.max < this.x[0]) {
this.max = this.x[0];
}
}

/*
* Ajo, jossa tutkitaan hiukkasen korkeutta.
*/
public static void main(String[] args) {
Loikka loikka = new Loikka();
System.out.println(loikka.x[0]);
for (int i = 0; i <= 10*Math.pow(10, 12); i++) {
loikka.update();
if (i%10000000 == 0) {
System.out.println(loikka.max);
}
}
}
}
[/code:1qmtu76v]

Vierailija
petsku

Tarvitaan integraalilaskentaa, koska putoamiskiihtyvyys ei ole vakio matkan varrella.

Ei ole ei. Mutta potentiaalienergia lakipisteessä on se minkä kaavan ilmoitin. Ja energian säilymislain perusteella voidaan päätellä, että liike-energian alussa täytyy olla sama kuin potentiaalienergian lopussa. Ei tässä mielestäni mitään integraalilaskentaa tarvita.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Keckman
petsku

Tarvitaan integraalilaskentaa, koska putoamiskiihtyvyys ei ole vakio matkan varrella.

Ei ole ei. Mutta potentiaalienergia lakipisteessä on se minkä kaavan ilmoitin. Ja energian säilymislain perusteella voidaan päätellä, että liike-energian alussa täytyy olla sama kuin potentiaalienergian lopussa. Ei tässä mielestäni mitään integraalilaskentaa tarvita.

Mutta kun tuo ei ole potentiaalienergia lopussa. Tuttu "mgh" saadaan, kun g on vakio, mutta nyt "mgh" ei päde, koska g ei ole vakio.
Potentiaalienergia on yhtä suuri kuin työ, joka tehdään gravitaatiokenttää vastaan
W = int F(r) dr, r=r1..r2

Vierailija
petsku

Mutta kun tuo ei ole potentiaalienergia lopussa. Tuttu "mgh" saadaan, kun g on vakio, mutta nyt "mgh" ei päde, koska g ei ole vakio.

Ok. Olin väärässä.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
Keckman
petsku

Tarvitaan integraalilaskentaa, koska putoamiskiihtyvyys ei ole vakio matkan varrella.

Ei ole ei. Mutta potentiaalienergia lakipisteessä on se minkä kaavan ilmoitin. Ja energian säilymislain perusteella voidaan päätellä, että liike-energian alussa täytyy olla sama kuin potentiaalienergian lopussa. Ei tässä mielestäni mitään integraalilaskentaa tarvita.

Suurimman etäisyyden laskemiseen ei tarvita integraalia. Sinun menetelmälläsi tosin tarvitaan.
Voidaan vaikka ensin laskea mikä on pakonopeus kauimpana maasta olevassa pisteessä. Pythagoraksella saadaan 154,9161 m/s.
Siitä voi edelleen vääntää joko pakonopeuden kaavaa käyttäen, tai muistin varassa pakonopeus on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöjuureen.
saadaan verranto 12000/154.9 = x^.5/6378.14^.5
Mistä taas x = 3.828*10^7 km
Aikaa en käy edes yrittämään ennenkuin näen, menikö tämäkään oikein.

Vierailija

Potentiaalienergian kaava on U = -GmM/r ja on äärettömyydessä nolla. Pakonopeudella potentiaalienergian maan pinnalla ja liike-energian summa on nolla joten annetulla lähtönopeudella voidaan laskea yksinkertaisesti ilman mitään integraaleja etäisyys kaavasta:

½m(vpako² - vo²) = GmM/r

r = 2GM/(vpako² - vo²)

vo = lähtönopeus

Sain 35,6 Tm eli 35,6 E+9 m

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
korant
Potentiaalienergian kaava on U = -GmM/r.

Mutta integroimalla se on luultavasti tuokin saatu.
Ja minähän en sitten ole kieltänyt, etteikö tämä integroimatta ratkeasi, mutta minun ja Keckmanin lähestymistavassa se on välttämätöntä. Ei ole luovuutta, niin pitää raa'alla voimalla ratkaista.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
korant
Potentiaalienergian kaava on U = -GmM/r ja on äärettömyydessä nolla. Pakonopeudella potentiaalienergian maan pinnalla ja liike-energian summa on nolla joten annetulla lähtönopeudella voidaan laskea yksinkertaisesti ilman mitään integraaleja etäisyys kaavasta:

½m(vpako² - vo²) = GmM/r

r = 2GM/(vpako² - vo²)

vo = lähtönopeus

Tai GmM/r=mgR^2/r. R maan säde.

Vierailija

Totta, se saadaan integroimalla mutta on melko yleisesti tunnettu kaava. Se on analoginen varauksen potentiaalille. Minä nyt vaan olin laiska ja hain tuon kaavan netistä.

Vierailija
Keckman

Potentiaalienergia lakipisteessä on sama kuin liike-energia alussa. Eli:

Potentiaalienergia lopussa=mgh, missä g=G*m*M/r^2




Eikös m*g = G*m*M/r²
Silloin massat supistuisi pois, mutta kuten sanottiin, tässä tavassa on ongelmana se, että g ei ole vakio.

Vierailija

Hei,

sattanen
Kuinka kaukana tuo objekti käy ja kuinka pitkän ajan päästä objekti lässähtää takaisin maan pinnalle?

mielenkiintoinen tehtävä. Laskeskelin myös tuota etäisyyttä ja sain suurinpiirtein saman arvon kuin Korant:

R = 3.572 10^ 10 m

Putoamisaika voidaan laskea numeerisesti integroimalla ja näin teinkin, jolloin sain tulokseksi:

T = 7.497656799 10^ 8 s

Tulos näytti ns. epäilyttävältä, joten tarkistin tuloksen Keplerin III laista johdetulla kaavalla, jossa asetettu hyvin kapean ja piitkän ellipsin isoakselin puolikaaksi = R/2, ja kysytty aika on tämän ellipsin kiertoajan puolikas:

T = 2 pi sqrt(( R/2)^3/ GM)

Tästä tuli T = 7.4976707 10^ 8 s. Tämä sama kuin numeerisella integroinnilla laskettu, joten tulokset lienee oikein.

Lopuksi muutin yksiköitä jolloin:

R = 0.238762 AU (astronominen yksikkö)
T = 8677.86 päivää

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat