Mikä on pseudopallo?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Lueskelen matematiikan historiaa, kirja on Tieteitten kuningatar. Siellä 1800-luvun käsitteistöön tuotiin termi pseudopallo, joka liittyy geometrisiin tasoihin.

Euklidinen taso on erikoistapaus, joka syntyy siitä kun pallopinta kääntyy ympäri. Hetkeksi se muodostaa tasopinnan ja muuttuu sen jälkeen pseudopalloksi. Kolmion kulmien summa on pallon pinnalla yli 180 astetta. Tasopinnalla tasan 180 astetta. Pseudopallon pinnalla alle 180 astetta?

Itse en voi kuvitella pseudopalloa muuksi kuin pallon sisäpinnaksi ja jotenkin tuntuu kummalta, että jos ilmapallon pinnalle piirretty kolmio muutuisi joksikin muuksi kun sitä katsotaan pallon sisäpuolelta. Missä mulla nyrjähtää?

Sivut

Kommentit (16)

Astronomy
Seuraa 
Viestejä3976
Liittynyt12.6.2007
Phony
Lueskelen matematiikan historiaa, kirja on Tieteitten kuningatar. Siellä 1800-luvun käsitteistöön tuotiin termi pseudopallo, joka liittyy geometrisiin tasoihin.

Euklidinen taso on erikoistapaus, joka syntyy siitä kun pallopinta kääntyy ympäri. Hetkeksi se muodostaa tasopinnan ja muuttuu sen jälkeen pseudopalloksi. Kolmion kulmien summa on pallon pinnalla yli 180 astetta. Tasopinnalla tasan 180 astetta. Pseudopallon pinnalla alle 180 astetta?

Itse en voi kuvitella pseudopalloa muuksi kuin pallon sisäpinnaksi ja jotenkin tuntuu kummalta, että jos ilmapallon pinnalle piirretty kolmio muutuisi joksikin muuksi kun sitä katsotaan pallon sisäpuolelta. Missä mulla nyrjähtää?


Nykyisin käytössä oleva termi lienee "satulapinta", siinä kolmion kulmien summa on alle 180 astetta.

"The universe is a big place, perhaps the biggest".
"Those of you who believe in telekinetics, raise my hand".
Kurt Vonnegut
"Voihan fusk." Minä

---
Seuraa 
Viestejä3395
Liittynyt6.9.2006

Tähänkö nyt on tultu? Viittaan nyt tietenkin siihen kesäleskenä olemiseen. "Lueskelen matematiikan historiaa.." loppuivatko viinat vai kunto?

Vierailija
Astronomy
Nykyisin käytössä oleva termi lienee "satulapinta", siinä kolmion kulmien summa on alle 180 astetta.



Mutta eikö tuollainen satulapinta liity kuitenkin Riemannin epäeuklidiseen geometriaan yleisesti. Satulapinnankin kuvitteleminen saa aivoissa aikaan nyrjähdyksen. Se on helppoa siihen asti, kun satula on hevosen selässä ja itse istut satulassa, mutta miten se jatkuu siitä eteenpäin? Kääntyykö se sisään vai jatkuuko se äärettömyyteen? Jos se jatkuu äärettömyyteen, niin miten? Tuossa kohdassa tulee se nyrjähdys minun aivoissani!

Ja Jäärälle! Kyllä tähän on tultu. Ei loppunut viina eikä kunto! Jotain järkiperäistä tekemistä oli kuitenkin keksittävä. Matematiikan historia oli ensimmäinen teos hyllyssä, joka oli riittävän paksu ja haasteellinen. Seuraavaksi voisin ottaa kirjan Rikos ja rangaistus, jota en ole koskaan aiemmin kyennyt lukemaan. Toivottavasti vaimoni ei lue tätä palstaa, koska sitten en kykenisi vastaamaan kysymykseen: Mikä rikos ja mikä rangaistus?

Vierailija

Hei,

Phony

Itse en voi kuvitella pseudopalloa muuksi kuin pallon sisäpinnaksi ja jotenkin tuntuu kummalta, että jos ilmapallon pinnalle piirretty kolmio muutuisi joksikin muuksi kun sitä katsotaan pallon sisäpuolelta. Missä mulla nyrjähtää?



pseudopallo on kaksiulotteinen pinta kolmiulotteisessa avaruudessa, joka saadaan esimerkiksi seuraavasti: piiretään xy-tasoon käyrä nimeltään tractrix ja sitten pyöräytetään saatu käyrä x-akselin ympäri. Tällöin syntyy pinta, joka sisältää pseudopallon. Wikipediasta saadaan seuraava kuva:

Kuvassa on kuin kaksi torvea olisi liimattu yhteen ja pseudopalloksi yleensä määritellään tämä torven muotoinen pinta, jolloin kuvassa on kaksi pseudopalloa liimattu yhteen reunaansa pitkin.

Pseudopallolla on tärkeä merkitys matematiikan historiassa, siksi että se on ensimmäinen konkreettinen malli hyperboliselle geometrialle, joskin epätäydellinen koska kaksiulotteisen hyperbolisen geometrisen avaruuden aksioomat toteuttava avaruus voi olla pinta-alaltaan ääretön, jota pseudopallo taasen ei ole. Lisäksi pseudopallolla on reuna, jota hyperbolisella geometrialla ei voi olla. Tavallaan pseudopallo on kokonaisesta hyperbolisesta tasosta leikattu palanen samalla tavalla kuin esimerkiksi normaalista euklidisesta tasosta leikattu ympyrä sisuksineen. Ympyrälevyllä on koko tasosta peritty laakea geometria samalla tavalla kuin pseudopallolla on hyberbolisesta tasosta peritty hyperbolinen geometria.

Edit: Lisättäköön, se että tarkalleen ottaen pseudopallo saadaan leikkaamalla hyberbolisesta tasosta tietty kolmiota muistuttava kaistale, jossa kolmion sivut ovat hyberbolisessa geometriassa määriteltyjä, tietyn tyyppisiä käyriä. Lisäksi annetaan yhden kolmion kärjen P etääntyä äärettömyyteen. Sen jälkeen liimataan äärettömyyteen ulottuvat sivut yhteen, jolloin saadaan äärettömän torven kaltainen tötterö, joka on pseudopallo.

Pseudopallolle piirretyt, kahden pisteen etäisyyden minimoivat käyrät ovat tässä mallissa tasogeometrian janojen vastineita ja kolmea pseudopallon pistettä yhdistävät lyhimmän etäisyyden käyrät muodostavat kolmion tässä geometriassa.

Nimitys pseudopallo tulee siitä, että pseudopallolla on samankaltaisia ominaisuuksia kuin tavallisella R-säteisellä pallolla. Esimerkiksi pallon pinnalla määritellyssä geometriassa, pallokolmion pinta-ala saadaan kaavasta:

A = R^2 (a + b + c - π),

missä a, b ja c ovat pallokolmion kulmia ja R on pallon säde.

Sveitsiläinen matemaatikko J.Lambert johti 1700-luvun puolivälissä vastaavan tuloksen hyperboliselle geometrialle:

A = -R^2 (π - (a + b + c)).

Kaava on hyvin samanlainen kuin pallon vastaava kaava ja jo tuolloin huomattiin että jos tarkastellaan ylläolevaa pallogeometrian kaavaa ja sijoitetaan siihen pallon säteeksi imaginaariluku iR, saadaan (merkkiä vaille) Lambertin johtama tulos. Huomattavaa on se että Lambert johti kaavansa puhtaasti Euklideen postulaateista, joissa vain viides postulaatti oli korvattu hyperbolisella vastineellaan eli hän ei käyttänyt minkäänlaista pseudopallon kaltaista konkreettista mallia hyperboliselle geometrialle.

Toinen pseudopallon ja tavallisen pallon samankaltaisuus on niiden kaarevuuden lausekkeiden samankaltaisuus. Mille tahnsa kaksiulotteiselle pinnalle voidaan määritellä pinnan kaarevuutta kuvaava suure, joka on nimeltään Gaussin kaarevuus K. Yleensä Gaussin kaarevuus muuttuu pinnan pisteestä toiseen siirryttäessä, mutta voidaan kysyä mitkä ovat ne pinnat, joilla Gaussin kaarevuus on vakio. Yksinkertaisimmat mallit ovat:
R- säteinen pallo, K = 1/R^2.
euklidinen taso, K = 0.
hyperbolinen taso, K = -1/R^2 .

Monia muitakin löytyy, mutta ne ovat geometrialtaan monimutkaisempia.

Pseudopallo on saksilla leikattu pala hyberbolisesta tasosta, jolloin sen kaarevuus on myös K = - 1/R^2.

Astronomy

Nykyisin käytössä oleva termi lienee "satulapinta", siinä kolmion kulmien summa on alle 180 astetta.

Ei aivan, koska hyperbolisen geometrian mallina käytetty satulapinta ei ole kaarevuudeltaan vakio, vaan se muuttuu kun siirrytään pois satulan "keskeltä". Geometria on hyperbolinen vain tässä satulan keskipisteen pienessä ympäristössä, jossa yllämainittu kaarevuus K on likimain vakio.
Phony

Mutta eikö tuollainen satulapinta liity kuitenkin Riemannin epäeuklidiseen geometriaan yleisesti.

Tuota satulapintamallia käytetään usein havainnolistavaan kaksiulotteista epäeuklidista vakiokaarevuista geometriaa hyperbolisessa tapauksessa, jolloin siis Gaussin kaarevuus K on negatiivinen vakio, mutta unohdetaan mainita se että sellaisenaan havainnollistus on voimassa vain satulan keskipisteen välittömässä läheisyydessä.

Vierailija

Tuota voi havainnollistaa tasosta leikatulla ympyrällä. Kun sitä hieman venytellään keskeltä saadaan pallopinta ja kun taas venytellään hieman reunoilta saadaan pseudopallopinta.

Vierailija
korant
Tuota voi havainnollistaa tasosta leikatulla ympyrällä. Kun sitä hieman venytellään keskeltä saadaan pallopinta ja kun taas venytellään hieman reunoilta saadaan pseudopallopinta.

Juuri tuossa lisäsin viestiini täydentävän kohdan, joka liittyy tähän mainitsemaasi ominaisuuteen. Pallopinta saadaan venyttämällä, mutta pseudopalloa ei. Syynä on se, että pseudopallo on ominaisuuksiltaan kuten lieriö, joka ulottuu äärettömyyteen, lieriö vain kapenee kun etäännytään origosta. Lieriötä ja ympyrälevyä ei voi muuttaa toisikseen pelkästään venyttämällä, ne ovat geometrisesti erilaisia kappaleita.

edit: pallo korvattu sanalla ympyrälevy.
edit 2: virheellinen editointi korjattu, nyt alleviivattu sana pallopinta on oikein.

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005

Tuollainen torvi muuten on kummallinen. Tietyllä geometrialla sen pinta-ala on ääretön, mutta tilavuus varsin äärellinen. Torven voi siis täyttää maalilla mutta mikään määrä maalia ei riitä sen pinnan maalaamiseen. En tiedä tuosta pseudopallosta onko se tuollainen torvi, mutta luonnollinen luku e potenssiin 1/x tuottaa sellaisen - aika paljon saman näköisen kuin kuvassa.

Jäärä
Tähänkö nyt on tultu? Viittaan nyt tietenkin siihen kesäleskenä olemiseen. "Lueskelen matematiikan historiaa.." loppuivatko viinat vai kunto?



Voisiko muuten olla sairaampaa puuhaa kuin lukea matematiikan historiaa lomalla? Ehkä jotain juna-aikataulua vuosilta 1960-1980 paperiversiona.

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Vierailija

Auttaisiko yhtään, jos valotan oman maalaisjärkeni toimintaa? Vaikka pallon kääntäisi miten ympäri, kuvatunlaista geometrista ilmiötä ei oikeasti synny, mutta käsite on matemaattisesti hyödyllinen. Sama on imaginäärilukujen kanssa, eihän oikeasti ole olemassa sqr(-1). Mutta matemaattisesti perusjärjen vastainen käsite on hyödyllinen.

Sillä voidaan toimittaa laskutoimituksia, mutta kyseessä on silti täysin abstrakti apuväline.

En minä osaa noita epä- ja näennäis- ja mileikuvitusjuttuja matemaattisesti selittää. Sen jätän suosiolla muille.

Vierailija
Spanish Inquisitor
korant
Tuota voi havainnollistaa tasosta leikatulla ympyrällä. Kun sitä hieman venytellään keskeltä saadaan pallopinta ja kun taas venytellään hieman reunoilta saadaan pseudopallopinta.

Juuri tuossa lisäsin viestiini täydentävän kohdan, joka liittyy tähän mainitsemaasi ominaisuuteen. Pallopinta saadaan venyttämällä, mutta pseudopalloa ei. Syynä on se, että pseudopallo on ominaisuuksiltaan kuten lieriö, joka ulottuu äärettömyyteen, lieriö vain kapenee kun etäännytään origosta..
Juu, tarkoitin siis osaa tuosta pseudopallopinnasta tai yhtä hyvin satulapinnasta.

Mouho
Seuraa 
Viestejä2673
Liittynyt29.4.2011
Paul M
Tuollainen torvi muuten on kummallinen. Tietyllä geometrialla sen pinta-ala on ääretön, mutta tilavuus varsin äärellinen. Torven voi siis täyttää maalilla mutta mikään määrä maalia ei riitä sen pinnan maalaamiseen. En tiedä tuosta pseudopallosta onko se tuollainen torvi, mutta luonnollinen luku e potenssiin 1/x tuottaa sellaisen - aika paljon saman näköisen kuin kuvassa.




No nyt ainakin nyrjähtää. Ja tulee päänsärky. Onko tuollainen tarkoitus järjellä käsittää? Matikka ei oo mun laji...

*Enää et ole Se, mikä alkoi lukea tätä virkettä.
.....................enkä minäkään ole oikeasti Mouho.

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005

Torven alkaessa esimerkiksi halkaisijalla 10 senttiä ja jatkuessa äärettömyyteen sille voidaan laskea äärellinen tilavuus. Se on jotain 1 litran luokkaa. Kun sen pinta-alaa lasketaan, saadaan ääretön pinta-ala. Kannattaa siis maalarin olla selvillä matematiikasta kun laskee tarjousta torven maalaamiseen.

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Vierailija
Paul M
Torven alkaessa esimerkiksi halkaisijalla 10 senttiä ja jatkuessa äärettömyyteen sille voidaan laskea äärellinen tilavuus. Se on jotain 1 litran luokkaa. Kun sen pinta-alaa lasketaan, saadaan ääretön pinta-ala. Kannattaa siis maalarin olla selvillä matematiikasta kun laskee tarjousta torven maalaamiseen.

Fiksu maalari antaa sen tarjouksen sisäpuolen maalaamisesta eikä ulkopuolen.
Sitten vain täyttää sen maalilla ja maalattuhan se sisäpinta silloin on. Maalin paksuus vain vaihtelee ja lähestyy toiseen suuntaan asymptoottisesti nollaa. Paksuun päähän voi jopa jättää tyhjää tilaa, niin säästyy hieman maalia. Eihän sen maalin paksuus sielläkään tarvitse 5 cm olla.

Näin siis teoriassa, todellisuudessahan sitä äärettömyyteen jatkuvaa pseudopalloa ei edes ole, mitä voisi maalata.

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005

Tuo luonnollisen luvun kanssa tunattu torvi on todellinen. Tilavuus varsin pieni, mutta sekä sisä- että ulkopinta ääretön. En muuten muista oliko eksponentti jotenkin e:n kanssa tekemisissä vai miten se oli siinä mukana. Alustukseni oli väärin luultavasti. Joka tapauksessa tuomiopäivän pasuunaa se muistuttaa. Luultavasti on useita eri torven malleja, joissa tilavuus on äärellinen, mutta pinta-ala ääretön.

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Guarani River Oil
Seuraa 
Viestejä467
Liittynyt19.8.2010

Kyseinen torvi on hyperbolisen funktion(vaikkapa 1/x) pyörähdyskappale mistä leikataan alkupääty irti. Lukiomatematiikalla on helppo integroida tilavuus, mikä tosiaan on äärellinen kun x lähestyy ääretöntä. Itse en näe ylitsepääsemättömää ongelmaa tässä, sillä kysessä on tavallaan suppeneva sarja.
Maalari on muuten huijari väittäessään maalaavansa torven sisäpinnan kaatamalla purkillisen maalia sisään . Atomin kokohan rajoittaa maalin valumista tiettyä pistettä pidemmälle jolloin iso osa torvesta jää maalaamatta.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat