Mielenkiintoinen todennäköisyystehtävä

Seuraa 
Viestejä51
Liittynyt6.2.2011

Tällainen tuli vastaan tyttären matikanläksyissä, emme vaan millään keksineet ratkaisua.

Koulun matematiikkakilpailun karsinnoissa viisi kilpailijaa sai täsmälleen saman pistemäärän, Tupu, Hupu ja Lupu olivat näiden viiden parhaan joukossa. Koulu saa lähettää loppukilpailuun kolme edustajaa, heidät valitaan arvalla. Millä todennäköisyydellä kaikki ankanpojat pääsevät loppukilpailuun?

Sivut

Kommentit (24)

PPo
Seuraa 
Viestejä11619
Liittynyt10.12.2008
anama
Tällainen tuli vastaan tyttären matikanläksyissä, emme vaan millään keksineet ratkaisua.

Koulun matematiikkakilpailun karsinnoissa viisi kilpailijaa sai täsmälleen saman pistemäärän, Tupu, Hupu ja Lupu olivat näiden viiden parhaan joukossa. Koulu saa lähettää loppukilpailuun kolme edustajaa, heidät valitaan arvalla. Millä todennäköisyydellä kaikki ankanpojat pääsevät loppukilpailuun?


5:stä voidaan valita 3 20:llä tavalla joten kysytty tn =1/20

xyzzy
Seuraa 
Viestejä72
Liittynyt1.11.2007
anama

Koulun matematiikkakilpailun karsinnoissa viisi kilpailijaa sai täsmälleen saman pistemäärän, Tupu, Hupu ja Lupu olivat näiden viiden parhaan joukossa. Koulu saa lähettää loppukilpailuun kolme edustajaa, heidät valitaan arvalla. Millä todennäköisyydellä kaikki ankanpojat pääsevät loppukilpailuun?

:




Ja ilman kombinatoriikkaakin ihan perus kaavoilla saa

P(Eka on T,H tai L) = 3/5
P(Toka on jompikumpi)= 2/4
P(vika pääsee kanssa) =1/3

P(kaikki) =3/5*2/4*1/3=1/10

Ja toisella tapaa kuinka monella tavalla kolme palloa voidaan nostaa viidesta = 5 yli 3 = 10

http://fi.wikipedia.org/wiki/Kombinaatio
5!/(3! 2!)=(5 4 3 2 1)/(3 2 1 2 1)=10
Eli kerran kymmenestä tälleinkin

mattile71
Seuraa 
Viestejä198
Liittynyt6.9.2006

Minäkin sain 1/10

Todennäköisyys että Tupu valitaan ekana, Hupu tokana ja Lupu kolmantena on
1/5 * 1/4 * 1/3 = 1/60
(koska valittavia on 5 on Tupun todennäköisyys 1/5 :stä,Hupun 1/4 jne...)

Tupu, Lupu ja Hupu voidaan laittaa jonoon kuudella eri tavalla.
saadaan 1/60 + 1/60 + 1/60 + 1/60 + 1/60 + 1/60 = 6/60

ELi 6/60 on sama kuin 1/10

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
PPo
anama
Tällainen tuli vastaan tyttären matikanläksyissä, emme vaan millään keksineet ratkaisua.

Koulun matematiikkakilpailun karsinnoissa viisi kilpailijaa sai täsmälleen saman pistemäärän, Tupu, Hupu ja Lupu olivat näiden viiden parhaan joukossa. Koulu saa lähettää loppukilpailuun kolme edustajaa, heidät valitaan arvalla. Millä todennäköisyydellä kaikki ankanpojat pääsevät loppukilpailuun?


5:stä voidaan valita 3 20:llä tavalla joten kysytty tn =1/20



Noinhan se menee, paitsi 5 yli 3:n on 10 eli oikea vastaus on 0,1.

Taisi jäädä anamalta ensimmäinen teoriaesimerkki oppikirjasta lukematta.
Voisi myös tyttärelle suositella opetettuun asiaan perehtymistä. Matikassa ei ihan aina pelkästään käsikopelolla pärjää. Toisaalta tämän perustehtävämpää ei kombinatoriikasta taida aikaiseksi saada, joten jos vähänkin osaa, niin osaa.

myl
Seuraa 
Viestejä224
Liittynyt18.11.2010

Kaikki edelleä esitetyt ratkaisut ovat tarpeettoman monimutkaisia.
Monimutkainen ratkaisu ei välttämättä ole huono (usein se onkin paras),
mutta opiskeluvaiheessa yksinkertainen ratkaisu on yleensä helpoin ymmärtää ja siten paras opetuksessa.

Tod. näk. että ensimmäinen valittu ei ole ankanpoika on 2/5.
Tod. näk. että toinen valittu ei ole ankanpoika on 1/4.

Näiden molempien tapahtumien on toteuduttava, jotta kaikki ankanpojat tulevat valituiksi, joten kokonaistodennäköisyys on 2/5 * 1/4 = 1/10

-myl

Vierailija

Tod. näk. yksikään ei pääse mihinkään loppukilpailuun koska ankat ei käy koulua

Ihme joulupukkihorinoita nää opiskelut ja läksyt nykyään.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
myl
Kaikki edelleä esitetyt ratkaisut ovat tarpeettoman monimutkaisia.
Monimutkainen ratkaisu ei välttämättä ole huono (usein se onkin paras),
mutta opiskeluvaiheessa yksinkertainen ratkaisu on yleensä helpoin ymmärtää ja siten paras opetuksessa.

Tod. näk. että ensimmäinen valittu ei ole ankanpoika on 2/5.
Tod. näk. että toinen valittu ei ole ankanpoika on 1/4.

Näiden molempien tapahtumien on toteuduttava, jotta kaikki ankanpojat tulevat valituiksi, joten kokonaistodennäköisyys on 2/5 * 1/4 = 1/10

-myl


Ikävä sanoa, mutta tätä ratkaisua en ymmärrä.
Tässä ilmeisesti valitaan kotiinjäävät, vaikka sitä ei sanota.

myl
Seuraa 
Viestejä224
Liittynyt18.11.2010

Jotta viidestä kandidaatista tietyt kolme valittaisiin jatkoon, niin kaksi muuta on hylättävä. On samantekevää arvotaanko lähtijät vai kotiinjäävät, koska mekanismi (esim. arpalippujen jako tai tikunveto) on sama kummassakin tapauksessa.

Todennäköisyys että tietty ehdokas hylätään on 1/5.
Tod. näk. että ensimmäisenä hylätty on joku muu kuin ankanpoika on 2/5.
Tämän jälkeen on neljä kandidaattia ja tietyn ehdokkaan hylkäyksen tod. näk. on 1/4.

Jotta vain ankanpojat jäävät jäljelle on näiden kahden valinnan osuttava muihin ja tämän tod. näk. on valintojen todennäköisyyksien tulo 2/5 * 1/4

-myl

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
myl
Jotta viidestä kandidaatista tietyt kolme valittaisiin jatkoon, niin kaksi muuta on hylättävä. On samantekevää arvotaanko lähtijät vai kotiinjäävät, koska mekanismi (esim. arpalippujen jako tai tikunveto) on sama kummassakin tapauksessa.

-myl




Koulu saa lähettää loppukilpailuun kolme edustajaa, heidät valitaan arvalla.
Jos ratkaisussa valitaan jotain muuta kuin tehtävässä valittavaksi mainittua, on siitä selvyyden vuoksi syytä mainita.
En tiedä näetkö sinä tämän ristiriitaisena.
"Tod. näk. että ensimmäinen valittu ei ole ankanpoika on 2/5.
Tod. näk. että toinen valittu ei ole ankanpoika on 1/4.
Näiden molempien tapahtumien on toteuduttava, jotta kaikki ankanpojat tulevat valituiksi"

Termiä valittu käytetään kahdessa päinvastaisessa merkityksessä.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
myl
Kaikki edelleä esitetyt ratkaisut ovat tarpeettoman monimutkaisia.
Monimutkainen ratkaisu ei välttämättä ole huono (usein se onkin paras),
mutta opiskeluvaiheessa yksinkertainen ratkaisu on yleensä helpoin ymmärtää ja siten paras opetuksessa.

Tod. näk. että ensimmäinen valittu ei ole ankanpoika on 2/5.
Tod. näk. että toinen valittu ei ole ankanpoika on 1/4.

Näiden molempien tapahtumien on toteuduttava, jotta kaikki ankanpojat tulevat valituiksi, joten kokonaistodennäköisyys on 2/5 * 1/4 = 1/10

-myl




Minä ainakin opetuksessa varoisin sellaisia ratkaisuja, joita kukaan ei ymmärrä, mutta ehkäpä sitten juuri sellaiset ovat niitä parhaita. Tosin todennäköisyyslaskenta on koulussa enimmäkseen mallien soveltamista eli tehtävien perusidea liittyy kulloinkin opetettuun asiaan. Silloin ei ole tarkoituskaan kikkailla joillain alkeista (tai vastauksesta) lähtevällä virityksellä. Tosin tuossa ei edes mistään alkeista ole kysymys, kun yritetään ehdollisia todennäköisyyksiäkin mukaan tunkea.

Vierailija
anama

Koulun matematiikkakilpailun karsinnoissa viisi kilpailijaa sai täsmälleen saman pistemäärän, Tupu, Hupu ja Lupu olivat näiden viiden parhaan joukossa. Koulu saa lähettää loppukilpailuun kolme edustajaa, heidät valitaan arvalla. Millä todennäköisyydellä kaikki ankanpojat pääsevät loppukilpailuun?



Tästä esittettiin jo negaatioon perustuva ratkaisu joka on lyhyt mutta ei kovinkaan selkeä.

Minusta olisi paras miettiä niin että ensimmäisessä arvonnonnassa on 3/5 todennäköisyys että valitaan ankanpoika. Toisessa arvonnassa on jäljellä 2 ankanpoikaa ja 4 kilpailijaa yhteensä joten todennäköisyys että valitaan ankanpoika on 2/4. Viimeisessä arvonnassa ankanpojan mahdollisuus on 1/3.

Eli kokonaistodennäköisyys että kaikki valitaan on 3/5 * 2/4 * 1/3 = 1/10

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
Lyde
anama

Koulun matematiikkakilpailun karsinnoissa viisi kilpailijaa sai täsmälleen saman pistemäärän, Tupu, Hupu ja Lupu olivat näiden viiden parhaan joukossa. Koulu saa lähettää loppukilpailuun kolme edustajaa, heidät valitaan arvalla. Millä todennäköisyydellä kaikki ankanpojat pääsevät loppukilpailuun?



Eli kokonaistodennäköisyys että kaikki valitaan on 3/5 * 2/4 * 1/3 = 1/10



Pieni nipotus: Kokonaistodennäköisyys on jotain ihan muuta. Tässä (sinänsä oikeassa ratkaisussa) on kyseessä (yleistetty)kertolaskusääntö, joka on jo korkeampaa matematiikkaa; se ei edes kuulu lukion lyhyen matikan oppimäärään. Pitkässä se sivulauseessa mainitaan.

Lukiotasolla - tästä ymmärtääkseni alkuperäisessä viestissä oli kyse - oikeaoppinen tapa laskea noin on käyttää tuloperiaatetta: Valitaan alkeistapauksiksi kolmen oppilaan järjesteyt joukot; näitä on 5*4*3. Suotuisia alkeistapauksia ovat ankanpoikien järjestetyt joukot, joita on 3*2*1 (= 3!, jos niin halutaan).
Todennäköisyys on (3*2*1)/(5*4*3), joka sitten on kyllä sama kuin 3/5 * 2/4 * 1/3.

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006
Liittynyt30.4.2005

Mua ei kyllä kiinnosta mikä on oikeaoppinen tapa laskea. Monimutkaisemmissa tehtävissä varmaan tuloperiaatteista ja alkeistapauksien ymmärtämisestä on hyötyä mutta mitä sitte? Jos mun tavalla oikea ei vastaus meinaa irrota niin sitten mä sanon että en osaa enkä jaksa miettiä. Mutta jos kysytään ankkojen jatkoonpääsemisestä niin kyllä kai oikea vastaus riittää vaikka sen laskisi peruskouluopeilla ja omalla päällä.

Vierailija
Pieni nipotus: Kokonaistodennäköisyys on jotain ihan muuta. Tässä (sinänsä oikeassa ratkaisussa) on kyseessä (yleistetty)kertolaskusääntö, joka on jo korkeampaa matematiikkaa; se ei edes kuulu lukion lyhyen matikan oppimäärään. Pitkässä se sivulauseessa mainitaan.

Lukiotasolla - tästä ymmärtääkseni alkuperäisessä viestissä oli kyse - oikeaoppinen tapa laskea noin on käyttää tuloperiaatetta: Valitaan alkeistapauksiksi kolmen oppilaan järjesteyt joukot; näitä on 5*4*3. Suotuisia alkeistapauksia ovat ankanpoikien järjestetyt joukot, joita on 3*2*1 (= 3!, jos niin halutaan).
Todennäköisyys on (3*2*1)/(5*4*3), joka sitten on kyllä sama kuin 3/5 * 2/4 * 1/3.




Puhuin eilen koulussa M6-kurssista (pitkä matematiikka), joka tulee minulle eteen vasta keväällä. Opettajani sanoi, ettei hän opetuksessaan juuri käytä todennäköisyyksien laskemiseen tarkoitettuja kaavoja, koska ensimmäisten opetusvuosiensa aikana hän huomasi, etteivät ne mene perille kuin osalle porukasta. Nyttemmin hän käyttää kuulemma juuri edellä esitettyä tapaa, eli lasketaan todennäköisyydet eri tapahtumille ja sitten niitä käyttäen mennään eteenpäin (eli 3/5 * 2/4 * 1/3). En tiedä, miten tuolla opettajani tavalla saisi pisteitä YO-kirjoituksissa, mutta onneksi todennäköisyystehtävän voi aina jättää väliin.

Tämä seuraava pitkään ihmettelemäni todennäköisyysprobleema sopinee tähän ketjuun:

Eräässä pasianssissa käytetään tavallista 52 kortin pakkaa, josta on poistettu jokerit. Kortit sekoitetaan ja sen jälkeen selataan yksitellen läpi. Ensimmäisen kortin kohdalla sanotaan/mutistaan/ajatellaan lukua 1. Jos kortti on ässä, peli on hävitty, mutta jos se on mikä tahansa muu, otetaan seuraava kortti (käytetyt kortit voi vaikka jättää pöydälle tai toiseen käteen, niitä ei tarvita enää). Sen kohdalla sanotaan luku 2. Jos kortti on kakkonen, peli on hävitty, mutta jos se on jokin muu, peli jatkuu. Tätä jatketaan 13 kortin verran (viimeisenä kuningas), jolloin päädytään taas ässään. Näitä 13 kortin sarjoja tulee luonnollisesti neljä kappaletta, ja peli on voitettu, jos pääsee loppuun asti ilman että minkään kortin kohdalla tulee sanoneeksi sitä itseään. Itse olen päässyt pakan läpi vain kerran, ja yrityksiä on kymmeniä, joten todennäköisyys ei liene järin suuri.

Koska todennäköisyyskurssi on vasta edessä, en ole keksinyt yhtään tapaa ratkaista tätä. Jokin järkevä tapa löytynee, mutta itse olen kompastunut siihen, että ensimmäinen kortti voi olla mikä tahansa, jolloin sen jälkeen (olettaen, että peli menee läpi) puuttuu jäljellä olevista korteista mikä tahansa kortti - paitsi ässä, joka olisi aiheuttanut pelin häviämisen.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat