Apua matemaattiseen todistamiseen.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Olen aina ollut huono matemaattisessa todistamisessa, kun en ole oikein vielä sisäistänyt menetelmiä ja tyylejä. Eli jos olisi neuvoja, vinkkejä tai ohjeita tarjolla, tarvitsisin apua seuraavaan tehtävään.

Todista, että lausekkeen (a+c)/(b+c) arvo on lukujen 1 ja a/b välillä, jos a, b ja c ovat positiivisia lukuja.

Kommentit (9)

Vierailija

Tutki, miten suhde muuttuu kun c muuttuu nollasta äärettömään. Koska c on positiivinen luku, se on tuolla välillä.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
santaus93
Olen aina ollut huono matemaattisessa todistamisessa, kun en ole oikein vielä sisäistänyt menetelmiä ja tyylejä. Eli jos olisi neuvoja, vinkkejä tai ohjeita tarjolla, tarvitsisin apua seuraavaan tehtävään.

Todista, että lausekkeen (a+c)/(b+c) arvo on lukujen 1 ja a/b välillä, jos a, b ja c ovat positiivisia lukuja.


1) Tarkastele tapausta a=b. Mitä huomaat osamäärästä?
2) Ota tapaus aa/b Se on yhtäpitävä epäyhtälön a+c > a+ac/b kanssa ja tämä epäyhtälön c>c(a/b) Tämähän on varmasti totta, koska a
Opettajasi ei tykkää tällaisesta todistamisesta, joten toimi näin
a c>ca/b=> a+c >a+ca/b => a+c > (b+c)a/b => (a+c)/(b+c)>a/b.
Toisaalta kun a
Siis, kun a
3) a>b Lähde nyt epäyhtälöstä (a+c)/(b+c) < a/b ja toimi kuten äsken.

Mennee muillakin tavoilla ja kenties helpomminkin.

PPo
Seuraa 
Viestejä11622
Liittynyt10.12.2008
santaus93
Olen aina ollut huono matemaattisessa todistamisessa, kun en ole oikein vielä sisäistänyt menetelmiä ja tyylejä. Eli jos olisi neuvoja, vinkkejä tai ohjeita tarjolla, tarvitsisin apua seuraavaan tehtävään.

Todista, että lausekkeen (a+c)/(b+c) arvo on lukujen 1 ja a/b välillä, jos a, b ja c ovat positiivisia lukuja.


Epäilen, että tämän tyyppinen todistustehtävä on derivaatan sovellusten joukosta.
Jos näin on, niin ratkaisu menee suunnilleen seuraavasti:
Tutkitaan funktiota f(x) = (a+x)/(b+x) ,x>0.
f(0)=a/b ja f(x)-->1, kun x-->oo.
f'(x)=(b-a)/(b+x)^2
kun a=b, f'(x)=0, joten f(x) on vakiofunktio ja f(x) = a/b=1
kun a>b, f'(x)<0, joten f on aidosti vähenevä joten a/b > f(x) > 1
kun a0, joten f on aidosti kasvava joten a/b < f(x) < 1 kun x>0

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
santaus93
Olen aina ollut huono matemaattisessa todistamisessa, kun en ole oikein vielä sisäistänyt menetelmiä ja tyylejä. Eli jos olisi neuvoja, vinkkejä tai ohjeita tarjolla, tarvitsisin apua seuraavaan tehtävään.

Todista, että lausekkeen (a+c)/(b+c) arvo on lukujen 1 ja a/b välillä, jos a, b ja c ovat positiivisia lukuja.

author="" kirjoitti:



Luvut a,b ja c ovat positiivisia.

Jos a <= b, niin a + c <= b + c ja siis (a + c) / (b + c) <= 1

Ja ac <= bc, joten ac + ab <= bc + ab eli a(b + c) <= b(a + c) joten

a/b <= (a+ c)/(b + c)

Jos a > b, niin a + c > b + c ja siis (a + c)/(b + c) > 1

Ja ac > bc, joten ac + ab > bc + ab eli a(b+c) > b(a + c) joten

a/b > (a +c )/(b + c)

mot

Ohman

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Jos tarkkoja ollaan, niin tuossa Ohmanin todistuksessa pitäisisi vielä perustella miksi, tai ainakin mainita, että tuo"ristiinjakaminen" säilyttää tässä tapauksessa järjestyksen so.
a(b+c) > b(a + c) -> a/b > (a +c )/(b + c),
mutta muuten ihan tyylikäs muunnos Vistin todistuksesta.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

[quote author="visti"] 2) Ota tapaus aa/b Se on yhtäpitävä epäyhtälön a+c > a+ac/b kanssa ja tämä epäyhtälön c>c(a/b) Tämähän on varmasti totta, koska a
Tuo on kyllä jännää ja varmaan tosi juttu tuo tykkäämättömyys vaikka todistuksessa ei mitään vikaa ole. Syy varmaan on alunperin siinä, että näitä ekvivalenssitodistuksia on käytetty yhtä lailla väärin kuin konsanaan ekvivalenssinuolia ja luovuttu turvallisuussyistä kokonaan niiden käytöstä.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Opettaja
Jos tarkkoja ollaan, niin tuossa Ohmanin todistuksessa pitäisisi vielä perustella miksi, tai ainakin mainita, että tuo"ristiinjakaminen" säilyttää tässä tapauksessa järjestyksen so.
a(b+c) > b(a + c) -> a/b > (a +c )/(b + c),
mutta muuten ihan tyylikäs muunnos Vistin todistuksesta.



Enpä nyt tiedä, tarvitseeko se perusteluja, että epäyhtälön voi puolittain kertoa positiivisella luvulla. Ensin kerrotaan luvulla 1/ (b+c) ja sitten luvulla 1/b.

Todistus on kyllä ihan omani eikä muunnos mistään, yksinkertainen, elegantti ja eksakti,lyhyesti sanottuna matemaattinen.Ilmeisesti Opettajan tarkoitus on jostain minulle tuntemattomasta syystä yrittää nälviä, mutta eivätköhän useimmat lukijat sentään tunnista kunnon todistuksen kun sellaisen näkevät.

Itse en arvostellut mitenkään muiden todistuksia, halusin vain esittää mielestäni "oikeanlaisen" todistuksen.

Näin näitä epäyhtälöitä käsitellään vaikka se olisikin tietyille opettajille vierasta.

Ohman

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
Ohman
Opettaja
Jos tarkkoja ollaan, niin tuossa Ohmanin todistuksessa pitäisisi vielä perustella miksi, tai ainakin mainita, että tuo"ristiinjakaminen" säilyttää tässä tapauksessa järjestyksen so.
a(b+c) > b(a + c) -> a/b > (a +c )/(b + c),
mutta muuten ihan tyylikäs muunnos Vistin todistuksesta.



Enpä nyt tiedä, tarvitseeko se perusteluja, että epäyhtälön voi puolittain kertoa positiivisella luvulla. Ensin kerrotaan luvulla 1/ (b+c) ja sitten luvulla 1/b.

Todistus on kyllä ihan omani eikä muunnos mistään, yksinkertainen, elegantti ja eksakti,lyhyesti sanottuna matemaattinen.Ilmeisesti Opettajan tarkoitus on jostain minulle tuntemattomasta syystä yrittää nälviä, mutta eivätköhän useimmat lukijat sentään tunnista kunnon todistuksen kun sellaisen näkevät.

Itse en arvostellut mitenkään muiden todistuksia, halusin vain esittää mielestäni "oikeanlaisen" todistuksen.

Näin näitä epäyhtälöitä käsitellään vaikka se olisikin tietyille opettajille vierasta.

Ohman




En nyt tarkoittanut mitään prioritettisotaa synnyttää. Tarkoitukseni oli vain sanoa, että todistukset ovat periaatteessa samanlaiset. Ja mitä tulee tulee tuohon järjestyksen säilymiseen ristiinkertomisessa, niin ei se ihan selvä asia ole, vaatihan sen perusteleminen sinultakin kaksi riviä, kun varsinainen todistus vaati kolme.
Ja vaikka ei nyt saisikaan jumalista ilmoitusta sorkkia, niin tuossa Ohmanin todistuksessa jälkimmäisen puoliskon voi todistaa edellisen avulla vaihtamalla a:n ja b:n keskenään.
(Ja vastalauseiden välttämiseksi: ei tämä näppärämpi tapa ole, ompahan vain erilainen; yllättäen tämänkin väitteen voi todistaa eri tavoilla (kuten yllä funktion kululla). On katsojan korvassa, mikä näistä on se Oikea todistus.)

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Opettaja
Ohman
Opettaja
Jos tarkkoja ollaan, niin tuossa Ohmanin todistuksessa pitäisisi vielä perustella miksi, tai ainakin mainita, että tuo"ristiinjakaminen" säilyttää tässä tapauksessa järjestyksen so.
a(b+c) > b(a + c) -> a/b > (a +c )/(b + c),
mutta muuten ihan tyylikäs muunnos Vistin todistuksesta.



Enpä nyt tiedä, tarvitseeko se perusteluja, että epäyhtälön voi puolittain kertoa positiivisella luvulla. Ensin kerrotaan luvulla 1/ (b+c) ja sitten luvulla 1/b.

Todistus on kyllä ihan omani eikä muunnos mistään, yksinkertainen, elegantti ja eksakti,lyhyesti sanottuna matemaattinen.Ilmeisesti Opettajan tarkoitus on jostain minulle tuntemattomasta syystä yrittää nälviä, mutta eivätköhän useimmat lukijat sentään tunnista kunnon todistuksen kun sellaisen näkevät.

Itse en arvostellut mitenkään muiden todistuksia, halusin vain esittää mielestäni "oikeanlaisen" todistuksen.

Näin näitä epäyhtälöitä käsitellään vaikka se olisikin tietyille opettajille vierasta.

Ohman




En nyt tarkoittanut mitään prioritettisotaa synnyttää. Tarkoitukseni oli vain sanoa, että todistukset ovat periaatteessa samanlaiset. Ja mitä tulee tulee tuohon järjestyksen säilymiseen ristiinkertomisessa, niin ei se ihan selvä asia ole, vaatihan sen perusteleminen sinultakin kaksi riviä, kun varsinainen todistus vaati kolme.
Ja vaikka ei nyt saisikaan jumalista ilmoitusta sorkkia, niin tuossa Ohmanin todistuksessa jälkimmäisen puoliskon voi todistaa edellisen avulla vaihtamalla a:n ja b:n keskenään.
(Ja vastalauseiden välttämiseksi: ei tämä näppärämpi tapa ole, ompahan vain erilainen; yllättäen tämänkin väitteen voi todistaa eri tavoilla (kuten yllä funktion kululla). On katsojan korvassa, mikä näistä on se Oikea todistus.)
author="" kirjoitti:



Hölö,hölö!

Ohman

Uusimmat

Suosituimmat