Lineaarinen riippuvuus neliulotteisessa avaruudessa

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Lukion matematiikan 15. kurssilla tuli mieleen seuraavaa:

On tarkoitus laskea, ovatko vektorit a ja b lineaarisesti riippuvia. Silloin pitää olla a=rb, missä r on reaalinen nollasta poikkeava vakio. Toisaalta kun axb=0, a ja b ovat yhdensuuntaiset ja siten lineaarisesti riippuvia, vai kuinka? Samaten kun axb=/=0, ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Samalla |axb| tarkoittaa kyseisten vektorien rajoittaman suunnikkaan pinta-alaa. Siitä on helppo päätellä, miksi ristitulon ollessa nolla vektorit ovat yhdensuuntaiset.

Samaten jos on tarkoitus laskea, ovatko a, b ja c lineaarisesti riippuvia, voidaan logiikkani mukaan laskea, onko (axb)•c=0. Jos näin on, vektorit ovat samassa tasossa ja siten ne ovat lineaarisesti riippuvia. Jos (axb)•c=/=0, vektorit eivät ole samassa tasossa ja siten ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Tämä pystytään laskemaan myös determinantilla. Skalaarikolmitulo tarkoittaa samalla vektorien rajoittaman suuntaissärmiön tilavuutta, jolloin on ymmärrettävää, että samassa tasossa olevien vektorien rajoittaman suuntaissärmiön tilavuus on nolla.

Mutta miten homma toimii, jos on annettu neljän muuttujan vektoreita, jotka ovat siis vaakavektoreina ilmaistuna muotoa (x, y, z, u)? Toki sellaisten vektorien lineaarisen riippuvuuden voi ratkaista muilla työkaluilla, mutta itse olen tykästynyt risti- ja skalaarikolmitulon käyttöön. Yritin muodostaa näistä vektoreista 4x4-matriisia ja sitten laskea sen determinantin avulla, mutta kun kyseessä oli lineaarisesti riippuva joukko vektoreita, tulokseksi tuli 1 eikä 0. Siten homma ei voi mielestäni toimia samalla periaatteella kuin skalaarikolmitulo.

Asiaa hankaloittaa se, etten osaa hahmottaa neliulotteista vektoria mitenkään. Jos kaksi kolmiulotteista vektoria rajaa pinta-alan ja kolme tilavuuden, mitä rajaavatkaan neljä neliulotteista vektoria? Neliulotteisista vektoreista löytyi aika hintsusti asiaa pikaisella googlauksella, ja matematiikan opettajat olivat aika lailla mykkiä.

Eli kysymykseni ovat
- voiko neliulotteisten vektorien riippuvuuden laskea samalla tai samankaltaisella tavalla kuin skalaarikolmitulo ja ristitulo?
- jos ei, onko kuitenkin olemassa muita tapoja kuin rankin ja lineaarikombinaatioiden avulla laskeminen?

Sivut

Kommentit (36)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26835
Liittynyt16.3.2005
Raven
Eli kysymykseni ovat
- voiko neliulotteisten vektorien riippuvuuden laskea samalla tai samankaltaisella tavalla skalaarikolmitulo ja ristitulo?



Ristitulo ei sellaisenaan ole yleistettävissä 4-ulotteiseen avaruuteen, joten tuskin tuollainen kikkailu onnistuu.

Astronomy
Seuraa 
Viestejä3976
Liittynyt12.6.2007

Anteeksi mutta mitä lukiota sä käyt? Tuntuu nuo ongelmasi melkoisen haastavilta peruslukion oppikurssiin liittyen...

"The universe is a big place, perhaps the biggest".
"Those of you who believe in telekinetics, raise my hand".
Kurt Vonnegut
"Voihan fusk." Minä

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Tasaisen vauhdin taulukolla neljännessä ulottuvuudessa tarvittaisiin kolmas tulo, mutta sellaisia ei kai ole kehitelty, luultavasti siksi että mitään järkeviä ei ole olemassakaan. Sen sijaan tuon determinattijutun pitäisi toimia eli kun kertoimista muodostaa matriisin, niin matriisin determinantti on nolla täsmälleen silloin, kun vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. Eli lienet laskenut derminanttisi väärin tai sitten lineaarinen riippuvuus oli pielessä.Tämä determinattisääntö pätee kaikissa ulottuvuuksissa, joten alemmissakaan ulottuuvuuksisa ei mitään ristitulokikkailuja tarvita.

Vierailija
Anteeksi mutta mitä lukiota sä käyt? Tuntuu nuo ongelmasi melkoisen haastavilta peruslukion oppikurssiin liittyen...



Turun suomalaisen yhteiskoulun lukiota. Ei meillä tällaisia ongelmia ole koulussa (eivätkä opettajat osanneet vastata asiaa kysyessäni), satuin vain itse ihmettelemään asiaa. Risti- ja skalaarikolmitulo kyllä käytiin vektorikurssilla M5, vaikka ne eivät kuulu kurssin sisältöön. Ovat muuten todella hyödyllisiä lineaarialgebran kurssilla M15, varsinkin determinantin avulla laskettuina.

Tasaisen vauhdin taulukolla neljännessä ulottuvuudessa tarvittaisiin kolmas tulo, mutta sellaisia ei kai ole kehitelty, luultavasti siksi että mitään järkeviä ei ole olemassakaan. Sen sijaan tuon determinattijutun pitäisi toimia eli kun kertoimista muodostaa matriisin, niin matriisin determinantti on nolla täsmälleen silloin, kun vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. Eli lienet laskenut derminanttisi väärin tai sitten lineaarinen riippuvuus oli pielessä.



Hyvä kuulla, että tämä toimii näin. Ristitulonkin olen kyllä laskenut determinantin avulla (yläriville i j k, kahdelle alemmalle riville vektorien kertoimet), eli ei ole vaadittu mitään kikkailua sinin ja vektorien pituuksien kanssa. Huomasin virheeni mainitsemani tehtävän kanssa: lasku oli ihan oikein, mutta kysytty asia olikin, ovatko vektorit riippumattomia eivätkä riippuvia kuten olin epähuomiossa luullut - vastauksissa luki vain "ovat".

En oikein ymmärrä, miksi tätä ei opeteta kyseisessä kurssissa (siitä on vieläpä pudotettu determinantti aika lailla kokonaan pois), vaan tämänlaiset tehtävät ratkaistaan porrasmuodon kanssa äheltämällä.

Esim:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80 ... dt_process

Toimii yleisessä Hilbert avaruudessa.




Kiitos hyvästä linkistä, pitää tutustua tähän ajan kanssa.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Korkeammissa ulottuvuuksissa determinantin laskeminen käy nopeasti työlääksi. Kolmessa ulottuvuudessa se on vielä aika vaivatonta, mutta vaikkapa viidennestä ulottuvuudesta eteenpäin alkaa haukotuttamaan. (tietokoneella viitseliäisyys riittää vähän pidemmälle, jolloin determinantin käyttö voi olla kätevämpää)

joskus lineaarinen riippuvuus löytyy helpohkosti tästä yleisimmin näkemästäni määritelmästä:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Lineaarine ... umattomuus

Eli vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, joss. niiden summa on nolla joillakin nollasta poikkeavilla kertoimilla.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
Korkeammissa ulottuvuuksissa determinantin laskeminen käy nopeasti työlääksi. Kolmessa ulottuvuudessa se on vielä aika vaivatonta, mutta vaikkapa viidennestä ulottuvuudesta eteenpäin alkaa haukotuttamaan. (tietokoneella viitseliäisyys riittää vähän pidemmälle, jolloin determinantin käyttö voi olla kätevämpää)



Determinantin pystyy laskemaan helposti ihan graafisella laskimellakin; esim. Casion viime vuoden mallissa OPTN > MAT > Det, sitten EXIT > EXIT > MATH > MAT > 2x2, 3x3 tai mxn. Eihän noita yleensä jaksa käsin laskea kuin kokeissa.

Eli vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, joss. niiden summa on nolla joillakin nollasta poikkeavilla kertoimilla.



Juu, mutta kyllähän tuokin käy korkeammissa ulottuvuuksissa työlääksi yhtälöryhmän suuretessa. Koska yhtälöryhmän ratkaiseminen tai koneella ratkaiseminen on työläämpää kuin determinantin käyttö (ellei puhuta ihan helpoista, sopivasti sattuneista vektoreista), olen tykästynyt determinanttiin. Ennen siis kolmiulotteisessa, nyt sitten moniulotteisissakin. Valitettavasti ainakin oman Casioni maksimidimensiomäärä on kuusi.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26835
Liittynyt16.3.2005
Raven

Juu, mutta kyllähän tuokin käy korkeammissa ulottuvuuksissa työlääksi yhtälöryhmän suuretessa. Koska yhtälöryhmän ratkaiseminen tai koneella ratkaiseminen on työläämpää kuin determinantin käyttö (ellei puhuta ihan helpoista, sopivasti sattuneista vektoreista), olen tykästynyt determinanttiin. Ennen siis kolmiulotteisessa, nyt sitten moniulotteisissakin. Valitettavasti ainakin oman Casioni maksimidimensiomäärä on kuusi.



Eivätkö determinantin laskeminen ja yhtälöryhmän ratkaisu olleet yhtä paljon aikaa vieviä, ellen väärin muista. O(n^3) se taisi olla Gaussilla ja muilla "helpoilla" algoritmeilla.

Vierailija
Eivätkö determinantin laskeminen ja yhtälöryhmän ratkaisu olleet yhtä paljon aikaa vieviä, ellen väärin muista. O(n^3) se taisi olla Gaussilla ja muilla "helpoilla" algoritmeilla.



Varmaan riippuu metodeista, mutta kyllä itse syötän luvut suoraan laskimeen matriisina ja laitan determinantin eteen paljon nopeammin kuin että muodostan yhtälöryhmän ja syötän sen laskimeen. Varsinkin kun laskin ilmoittaa errorin, jos vastaus on esim. muotoa x=3z, y=2z, z kuuluu R. Käsin laskemalla kummassakin kestää, ja huolimattomuusvirheiden määrä on aika suuri. Tietokoneella laskemisesta en osaa sanoa yhtään mitään.

Vierailija
Raven

Asiaa hankaloittaa se, etten osaa hahmottaa neliulotteista vektoria mitenkään. Jos kaksi kolmiulotteista vektoria rajaa pinta-alan ja kolme tilavuuden, mitä rajaavatkaan neljä neliulotteista vektoria? Neliulotteisista vektoreista löytyi aika hintsusti asiaa pikaisella googlauksella, ja matematiikan opettajat olivat aika lailla mykkiä.



Neljä neliulotteista vektoria rajaavat 4-tilavuuden (siis tilavuuden neljäulotteisen analogian), mikäli ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Mikäli vektoreiden joukossa löytyy lineaarista riippuvuutta, niin sen määrästä riippuen ne voivat rajata "vain" tilavuuden, pinta-alan, pituuden, tai vain pisteen.


Eli kysymykseni ovat
- voiko neliulotteisten vektorien riippuvuuden laskea samalla tai samankaltaisella tavalla kuin skalaarikolmitulo ja ristitulo?
- jos ei, onko kuitenkin olemassa muita tapoja kuin rankin ja lineaarikombinaatioiden avulla laskeminen?



Kyllä, mutta tällöin mennään jo aikalailla lukion matematiikan ulkopuolelle. Pistetään linkki prujuun ja eteenkin sen erääseen kappaleeseen, mutta ei kannata säikähtää. Tuolla esitellään miten tilavuuksien moniuloitteisia analogioita lasketaan moniuloitteisissa avaruuksissa. Lopussa vedetään sitten pöytään ristitulon useampi ulotteinen analogia. Huomaa, että sivulla 14 ominaisuus 6 sanoo, että vektorit ovat lineaarisesti riippuvia jos ja vain jos niiden yleistetty ristitulo on 0 eli tuo sinun hakemasi ominaisuus. Ominaisuus 7 taas sanoo useampi ulotteisen särmiön tilavuus saadaan yleistetyn ristitulon normina.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

^
Noin pikaisesti selattuna tuo näyttää ihan suoralta kolmiulotteisen tapauksen yleistykseltä.
Ristitulo lasketaan samalla tavalla determinantilla. Kolmituloa vastaa sitten n-1 vektorin ristitulon ja yhden muun pistetulo ja sen arvo on vastaava derminantti? Vai olisiko ihan noin? Ei ainakaan juuri kummempaa.

Vierailija
Asiaa hankaloittaa se, etten osaa hahmottaa neliulotteista vektoria mitenkään.
Älä välitä..ei osaa kukaan muukaan tällä planeetalla...

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
KBolt
Asiaa hankaloittaa se, etten osaa hahmottaa neliulotteista vektoria mitenkään.
Älä välitä..ei osaa kukaan muukaan tällä planeetalla...

Monikin osaa, mutta ei vain tiedä sitä. Esimerkki neliulotteisesta vektorista on (x,y,z,T), jossa T on lämpötila pisteessä (x,y,z). Ihan helppo on kuvitella lämpötilat eri kohdissa kolmiulotteista huonetta (ja erilaisissa huoneissa ne ovat erilaisia). Ja nesteessä on joka pisteessä (x,y,z) kolmiulotteinen virtausnopeusvektori (vx,vy,vz), jolloin koko vektori on 6-ulotteinen (x,y,z,vx,vy,vz). Ihan intuitiivista kun siitä ei tee liian vaikeata.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Stratonovich
Esimerkki neliulotteisesta vektorista on (x,y,z,T), jossa T on lämpötila pisteessä (x,y,z). Ihan helppo on kuvitella lämpötilat eri kohdissa kolmiulotteista huonetta (ja erilaisissa huoneissa ne ovat erilaisia).

Ulotteisuuteen oleellisena osana liittyy se, että resultanttivektori voidaan (origon suhteen) jakaa eri ulottuvuuksiin yksikkövektorin monikertoina. Miten se tapahtuu tuon T:n suhteen pisteittäin, kun se noissa kolmessa ulottuvuudessa kasvaa yksiköittäin origosta lähtien. Tai tarkennettuna miten liität absoluuttisen lämpötila-asteikon (järkevällä tavalla) tuohon origoon.

Matemaattisesti se toki on mahdollista ja ehkä perusteltavissakin, mutta kun maailma kuitenkin hahmotetaan 3-ulotteisena, niin eikö olisi matemaattisestikin mielekkäämpää käsitellä noita asioita 3-ulotteiseen maailmaan sijoittuvina tietyllä hetkellä vaikuttavina / vallitsevina paikallisina suureina. Ei menisi niin helkutin abstraktiksi.

Lämpötilajakauma (paikoittain) on helppo ymmärtää, mutta esim. lämpötila-paikkavektori (lämpötilan ja xyz-vektorien resultanttivektori) vaikuttaa ulosteelta.

(Ironiaa) Eipä ihme, että sääennusteetkin ovat nykyisin päin prinkkalaa, kun ei osata enää hahmottaa mitä merkitsee tiettyjen olojen vallitseminen paikallisesti kullakin hetkellä suhteessa muihin paikkoihin. Koneet vain rouskuttavat jotain x,y,z,t,T,p,roo,RH,v,w,jne-"ulotteista" tilastodataa läpi ja heittää jotain pursketta ulos, riippuen siitä minkälainen algoritmi tilannetta käsittelee.

Tietokoneet tosin ovatkin niin tomppeleita, etteivät osaa hahmottaa suhteellista paikkaa suoraan kolmessa ulottuvuudessa. Keinoälyä peliin.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat