Lineaarisen algebran ja geometrian tehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

"Selvitä, millä vakion c arvoilla avaruuden R^3 vektori z = (1,2,c) on vektorien u = (1,0,2) v = (1,1,3) ja w = (1, -2, 0) lineaarikombinaatio"

Käsittääkseni tehtävässä on tarkoitus ratkaista vakio c kun z = au + bv + dw, missä a,b,d ovat reaalilukuja. Lähdin ratkaisemaan yleisessä muodossa ja otin kunkin vektorin komponentit (i,j,k) mutta sain yhtälöryhmän jossa on neljä muuttujaa ja kolme yhtälöä. Lineaarikombinaatioissahan riittää että reaalikertoimet (tässä tapauksessa a,b,d) ovat sellaisia että saamme kyseisen vektorin z.

Pientä vinkkiä kaivattaisiin, mutta ei valmista ratkaisua.

Kommentit (15)

Vierailija

Sain tuosta yhtälöryhmästä kuitenkin ratkaistua, että c olisi 4. Onko se oikea vastaus tai ainakin osa tuota vastausta?

Vierailija

Itse sain sellaisen yhtälöryhmän, jossa on 3 yhtälöä ja 4 muuttujaa. Olen ilmeisesti tehnyt jossain kohtaa virheen.

Vierailija

Tässä on rakki haudattuna:
Ensimmäinen koordinaatti on 1
ainoassa vasemman puolen
vektorissa ja kaikissa kolmessa
oikean puolen vektorissa, joten
(-1)+1+1 tai 1+(-1)+1 tai
1+1+(-1).

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Kippari
"Selvitä, millä vakion c arvoilla avaruuden R^3 vektori z = (1,2,c) on vektorien u = (1,0,2) v = (1,1,3) ja w = (1, -2, 0) lineaarikombinaatio"

Sijoitat vain vektorit lausekkeeseen z=au+bv+dw ja muodostat kolme yhtälöä yhden kullekin vektorikomponentille, joista sitten ratkaiset c:n.

Alla ratkaisuyritelmäni:
[size=20:2itrus2x]1=a+b+d <=> a=1-b-d
2=b-2d <=> b=2+2d
c=2a+3b <=> c=2-2b-2d+6+6d=8-4-4d-2d+6+6d=10[/size:2itrus2x]

Vierailija

^ Näin olen tehnytkin mutta saan kolme yhtälöä ja neljä muuttujaa (a,b,c,d). Vai onko se tässä tarkoituskin?

Vierailija

Vektorit u = (1,0,2), v = (1,1,3) ja w = (1, -2, 0) ovat lineaarisesti riippuvia. (Muuten tehtävä on melko triviaali.. )

(1,2,c) = a*(1,0,2) + b*(1,-2,0)

Kolme tuntemanto, kolme yhtälöä..

Vierailija
kuoris
Vektorit u = (1,0,2), v = (1,1,3) ja w = (1, -2, 0) ovat lineaarisesti riippuvia. (Muuten tehtävä on melko triviaali.. )

(1,2,c) = a*(1,0,2) + b*(1,-2,0)

Kolme tuntemanto, kolme yhtälöä..




Mihin jätit vektorin v yhtälöstä?

Vierailija
Kippari
kuoris
Vektorit u = (1,0,2), v = (1,1,3) ja w = (1, -2, 0) ovat lineaarisesti riippuvia. (Muuten tehtävä on melko triviaali.. )

(1,2,c) = a*(1,0,2) + b*(1,-2,0)

Kolme tuntemanto, kolme yhtälöä..




Mihin jätit vektorin v yhtälöstä?



Ymmärrätkä tarkalleen mitä tarkoittaa lineaarinen riippuvuus?

Jätin v:n pois, koska kahdessa muussa vektorissa on nolla yhdessä kohdassa helpottaen käsin ratkaisua. Voit tietenkin jonkun muun vektorin jättää pois, jos haluat. Vakio c saa saman arvon mutta a ja b eri arvot tietenkin.

Vierailija

Tuo lineaarinen riippuvuus ei ole tuttu. Voisitko valaista jollain toisellakin esimerkillä niin saattaisin hiffata.

Vierailija

Mitäs yrität tarkalleen ottaen ratkaista tässä..

Vektorit v1, v2... ovat lineaarisesti riippuvia mikäli on olemassa nollasta poikkevat x1, x2... siten että

x1*v1 + x2*v2 + ... = 0

Toisin sanoen voit muodostaa jonkun vektorin muiden vektoreiden lineaarikombinaationa.

Koska antamasi vektorit u, v ja w ovat lineaarisesti riippuvia, antaa a*u + b*v kaikki samat vektorit kuin a*u + b*v + c*w.

Vierailija
kuoris
Mitäs yrität tarkalleen ottaen ratkaista tässä..

Vektorit v1, v2... ovat lineaarisesti riippuvia mikäli on olemassa nollasta poikkevat x1, x2... siten että

x1*v1 + x2*v2 + ... = 0

Toisin sanoen voit muodostaa jonkun vektorin muiden vektoreiden lineaarikombinaationa.

Koska antamasi vektorit u, v ja w ovat lineaarisesti riippuvia, antaa a*u + b*v kaikki samat vektorit kuin a*u + b*v + c*w.




Vieläkään ei oikee sytytä.

Ymmärrän siis että lineaarikombinaatiossa on kyse siitä, että jos joku vektori voidaan esittää toisen/toisten vektorien avulla siten, että on olemassa reaaliluvut siten, että Z = au + bv + dw. Mutta edelleen tarvitsen tarkennusta tuon riippuvuuden suhteen, jotta voin ymmärtää asian.

Vierailija
Tuo lineaarinen riippuvuus ei ole tuttu. Voisitko valaista jollain toisellakin esimerkillä niin saattaisin hiffata.



Kyselin tästä juuri vähän aikaa sitten tällä foorumilla.

kemia-fysiikka-ja-matematiikka-f3/lineaarinen-riippuvuus-neliulotteisessa-avaruudessa-t52335.html

Tuota ei muuten ole pakko muuttaa kolmen muuttujan yhtälöryhmäksi, koska saman vastauksen (c=4) saa sekä neljän että kolmen muuttujan yhtälöryhmästä. Toki helpompaa on poistaa yksi noista vektoreista.

Jos poistetaan vektori v, niin yhtälöryhmä on

a + b = 1
-2b = 2
2a = c

mistä saadaan b = -1 => a - 1 = 1 => a = 2 => c = 2 * 2 => c = 4

Jos ei poisteta vektoria v, niin yhtälöryhmä on

a + b + d = 1
b - 2d = 2
2a + 3b = c

mistä saadaan

a + 3d = -1 => a = -3d -1
b = 2d +2
2a + 3b = c => 2 * (-3d -1) + 3 * (2d + 2) = c => -6d - 2 + 6d + 6 = c => c = 4

Vieläkään ei oikee sytytä.

Ymmärrän siis että lineaarikombinaatiossa on kyse siitä, että jos joku vektori voidaan esittää toisen/toisten vektorien avulla siten, että on olemassa reaaliluvut siten, että Z = au + bv + dw. Mutta edelleen tarvitsen tarkennusta tuon riippuvuuden suhteen, jotta voin ymmärtää asian.




Matematiikan taito 15 antaa tällaisen määritelmän: "Vektoriavaruuden V alkiot X1, ..., Xp ovat lineaarisesti riippuvia, jos jokin niistä voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa eli jos jokin vektori kuuluu muiden virittämään aliavaruuteen." Ja tämän saa siis helposti tarkistettua yllä olevan linkin kertomalla tavalla - laskimeen matriisimuodossa ja eteen determinantti (det). Jos tulos on nolla, vektorit ovat lineaarisesti riippuvia ja niistä voidaan poistaa yksi.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Kippari
Itse sain sellaisen yhtälöryhmän, jossa on 3 yhtälöä ja 4 muuttujaa. Olen ilmeisesti tehnyt jossain kohtaa virheen.

Et ole. Saat 2a+3b =4 ja 2a+3b=c, kun eliminoit d:n kahdesta ylimmästä, joten c=4.

Vierailija
visti
Kippari
Itse sain sellaisen yhtälöryhmän, jossa on 3 yhtälöä ja 4 muuttujaa. Olen ilmeisesti tehnyt jossain kohtaa virheen.

Et ole. Saat 2a+3b =4 ja 2a+3b=c, kun eliminoit d:n kahdesta ylimmästä, joten c=4.



Kyllä noinhan se menee. Olin siis lähtenyt tekemään tehtävää oikein, mutta luulin tehneeni väärin kun en saanut heti ratkaisua yhtälöryhmästä.

Kiitoksia avuista!

Vierailija
Kippari
kuoris
Mitäs yrität tarkalleen ottaen ratkaista tässä..

Vektorit v1, v2... ovat lineaarisesti riippuvia mikäli on olemassa nollasta poikkevat x1, x2... siten että

x1*v1 + x2*v2 + ... = 0

Toisin sanoen voit muodostaa jonkun vektorin muiden vektoreiden lineaarikombinaationa.

Koska antamasi vektorit u, v ja w ovat lineaarisesti riippuvia, antaa a*u + b*v kaikki samat vektorit kuin a*u + b*v + c*w.




Vieläkään ei oikee sytytä.

Ymmärrän siis että lineaarikombinaatiossa on kyse siitä, että jos joku vektori voidaan esittää toisen/toisten vektorien avulla siten, että on olemassa reaaliluvut siten, että Z = au + bv + dw. Mutta edelleen tarvitsen tarkennusta tuon riippuvuuden suhteen, jotta voin ymmärtää asian.




u = (1,0,2), v = (1,1,3) ja w = (1, -2, 0)
w = 3*u - 2*v

Kaikki u,v,w lineaarikombinaatiot:

a*u + b*v + c*w = a*u + b*v + c*(3*u - 2*v) = u*(a+3c)+v*(b-2c)

a+3c sekä b-2c saa kaikki arvot..

= u*d + v*e

Uusimmat

Suosituimmat