Yksikkövektori ja nollavektori

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Elikkäs laskin tänään matematiikantehtäviä(amk) kunnes vastaan tuli tehtävä
yksikkövektorista. Tehtävässä pyydettiin määrittämään yksikkö vektori.
Siinä vaiheessa tuli semmon fiilis, että yksikkövektori? jaa mikähän se on.
Löysin kirjasta lyhyen selityksen ja yritin etsiä netistä jotakin minkä
ymmärätisin, mutta turhaan.
Osaisiko joku selittää mikä on yksikkövektori ja miten opin ymmärtämään
sen helpoiten, että osaisin laskea laskut.

Tehtävä oli: Määritä vektorin v = 3i - 4j suuntainen yksikkövektori.
Tehtävä kuulostaa jo yksinkertaiselta, mutta minulle se ei ole.

Toinen asia, jota en ymmärrä on nollavektori. Miten ymmärtäisin sen helpoiten?

Sivut

Kommentit (34)

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Sanon vaan että aika susipaska oppikirja sulla käytössä, jos ei noita käsitteitä ymmärrettävästi pysty selittämään...

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

jepajee
Seuraa 
Viestejä22001
Liittynyt29.12.2009
Cargo
Sanon vaan että aika susipaska oppikirja sulla käytössä, jos ei noita käsitteitä ymmärrettävästi pysty selittämään...



Tyhjentävä vastaus.

No avaas toi mulle: v = 3i - 4j

jos toi ois 3i + 4j, niin sitten mäkin olisin jo oppinut jotain googlettelustani.

Laitetaan vielä tänne.

http://lipas.uwasa.fi/~mla/opis0023/opi ... havaL6.pdf

Eli j on vasemmalle, eli peilikuva j:stä. Kertooko miinus vain suunnan ja kohtelen noita ilman sitä ja lisään sen vasta tulokseen?

Noistahan syntyy vitonen ja 1/5 on 0.6i ja 0.8j, kuten tuolla kerrotaan.

Nimittäin eihän vektorin pituus nyt alle nollaa voi olla?

Vierailija

Vektorin a yksikkövektori on samansuuntainen kuin a mutta pituudeltaan 1. Toisin sanoen lasket annetun vektorin pituuden ja jaat vektorin sillä. a^0 (yksikkövektoria merkitään ainakin jossain lähteissä noin) = a / |a|. Vektorin ai + bj pituus lasketaan √(a^2 + b^2). Tässä sinun tapauksessasi pitää määrittää yksikkövektori, joka on samansuuntainen vektorin 3i - 4j kanssa. Lasketaan pituus tuolle vektorille: √(3^2 + (-4)^2) = √25 = 5. Siis yksikkövektori on (3i - 4j) / 5 = 3/5 i - 4/5 j. Toimii samalla tavalla kolmiulotteisessa avaruudessakin, siellä otetaan vain k:n kerroin mukaan.

Nollavektori taas on yksinkertaisesti vektori, jonka pituus on nolla ja jolla ei siten ole suuntaakaan. Esimerkiksi levossa olevalla kappaleella vektorien summa on nollavektori. Nollavektoria merkitään 0 (käsipelillä boldausten sijasta viiva päälle).

Vierailija

Eiköhän nollavektori ole helpompi ymmärtää kun kutsuu sitä pisteeksi.
Typerää (vaikkakin käytössä..) kutsua pistettä vektoriksi...

deezee
Seuraa 
Viestejä1643
Liittynyt6.6.2011
KBolt
Eiköhän nollavektori ole helpompi ymmärtää kun kutsuu sitä pisteeksi.
Typerää (vaikkakin käytössä..) kutsua pistettä vektoriksi...

Sanoisit saman tien yleisemmin: "Eiköhän vektori ole helpompi ymmärtää kun kutsuu sitä pisteeksi. Typerää (vaikkakin käytössä..) kutsua pistettä vektoriksi..." Vektorin ja pisteen vastaavuus ei nimittäin päde ainoastaan nollavektorin tapauksessa.

Pisteillä ja vektoreilla on kummallakin paikkansa. Sanoisitko, että levossa olevan kappaleen nopeus on piste?

Vierailija
deezee
KBolt
Eiköhän nollavektori ole helpompi ymmärtää kun kutsuu sitä pisteeksi.
Typerää (vaikkakin käytössä..) kutsua pistettä vektoriksi...

Sanoisit saman tien yleisemmin: "Eiköhän vektori ole helpompi ymmärtää kun kutsuu sitä pisteeksi. Typerää (vaikkakin käytössä..) kutsua pistettä vektoriksi..." Vektorin ja pisteen vastaavuus ei nimittäin päde ainoastaan nollavektorin tapauksessa.

Pisteillä ja vektoreilla on kummallakin paikkansa. Sanoisitko, että levossa olevan kappaleen nopeus on piste?


En, mutta en sanoisi sitä myöskään vektoriksi koska sillä kappaleella ei ole suuntaa. Sanoisin että kappaleen nopeus on nolla..pisteessä x,y,z (tai x,y..).

Turha näistä asioista on liian vaikeita alkaa tekemään kun ymmärrys loppuu suurimmalta osalta joka tapauksessa heti kättelyssä

deezee
Seuraa 
Viestejä1643
Liittynyt6.6.2011
KBolt
deezee
Pisteillä ja vektoreilla on kummallakin paikkansa. Sanoisitko, että levossa olevan kappaleen nopeus on piste?

En, mutta en sanoisi sitä myöskään vektoriksi koska sillä kappaleella ei ole suuntaa. Sanoisin että kappaleen nopeus on nolla..pisteessä x,y,z (tai x,y..).

Nollavektori on vektoreiden "vastine" nolla-luvulle. Jos nollavektori ei ole vektori, niin kannattaako nollaakaan enää sanoa luvuksi: nollakin on varmaan piste, koska se ei ilmaise mitään lukumäärää?

Yritän tässä hienovaraisesti sanoa, että jos muunnat mielessäsi nollavektorin pisteeksi, niin se tekee asioista vaikeampia ja turhaan. Vektorilaskenta on tällä tasolla vielä todella yksinkertaista, kunhan sitä ei ala monimutkaistaa turhilla poikkeustapauksilla.

Vierailija
nollakin on varmaan piste, koska se ei ilmaise mitään lukumäärää?
Kyllä nolla ilmoittaa lukumäärän, Ei yhtään. Itse ainakin tiedän että jos minulla ei ole yhtään kolikkoa niin saldo on nolla. Enmie kahoppas rahapussista vektoreita etsi ollenkaan.

Nolla ilmaisee parhaiten kylläkin tilaa. Digitaalista tilaa....jonka voi myös siirtää analoogiseen maailmaan = ei päällä, ei mitään, ei yhtään.

Ensimmäisen postauksen kysymykseen

Toinen asia, jota en ymmärrä on nollavektori. Miten ymmärtäisin sen helpoiten?

paras vastaus on ehkä tämä : nollavektori = ORIGO (eli piste)

deezee
Seuraa 
Viestejä1643
Liittynyt6.6.2011
KBolt
nollakin on varmaan piste, koska se ei ilmaise mitään lukumäärää?
Kyllä nolla ilmoittaa lukumäärän, Ei yhtään. Itse ainakin tiedän että jos minulla ei ole yhtään kolikkoa niin saldo on nolla. Enmie kahoppas rahapussista vektoreita etsi ollenkaan.

Juuri näin. Nollakin ilmoittaa suuruuden, joka tässä tapauksessa on "ei mitään". Nolla on luku siinä missä muutkin luvut.

Vektorillakin on aina pituus. Vektorin pituus on sen alku- ja loppupisteen välinen etäisyys. Vektoria vastaa siis aina kaksi pistettä.

Nollavektorin alku- ja loppupiste ovat samat. Siten niiden välinen etäisyys on tasan 0, ja nollavektorin pituuskin on tasan 0. Yksikkövektorin alku- ja loppupisteen välinen etäisyys on tasan 1, ja yksikkövektorin pituuskin on tasan 1.

Pisteellä (ja siten origollakaan) ei ole pituutta. Jos kappale on paikallaan, silloin sen alku- ja loppusijainti on sama. Siispä sen nopeusvektorin pituus on nolla. Koska pisteellä ei ole pituutta, kyseessä ei voi olla piste, etkä voi sanoa, että nopeus on tuolloin piste tai että nopeus on origo.

Nollavektori voi "näyttää" yhdeltä pisteeltä, mutta se johtuu siitä, että samassa paikassa on kaksi pistettä. Siksi puhuminen nollavektorista yhtenä pisteenä vähintään monimutkaistaa ja pahimmillaan sekoittaa asioita.

(Edit: tässä tapauksessa kyseessä ovat euklidisen avaruuden vektorit, joilla voidaan ilmaista sijaintia, suuntaa tai nopeutta)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
KBolt
En, mutta en sanoisi sitä myöskään vektoriksi koska sillä kappaleella ei ole suuntaa.



Noita geometrisiä hahmotelmia ei pidä yleistää liian pitkälle. Yleisemmin vektorit ovat jonkin Vektoriavaruuden alkioita, ja yksi alkio on nollavektori.

Turha näistä asioista on liian vaikeita alkaa tekemään kun ymmärrys loppuu suurimmalta osalta joka tapauksessa heti kättelyssä



Vielä turhempaa on luoda harhakäsityksiä liiallisella yksinkertaistamisella tai huonoilla analogioilla.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
Neutroni
Noita geometrisiä hahmotelmia ei pidä yleistää liian pitkälle.



Kyllä kai tämä vielä amistasolla toimii ja itse asiassa taitavat geometriset ja fysikaaliset sovellukset olla ainoita järkeviä vektorien käyttökohteita. Vektoriavaruuskin on vain nimellisesti vektoreiden kanssa tekemisissä. Sielläkin vektorit ovat avaruuden pisteitä ja nimestäkin vektorit saadaan pois kutsumalla avaruuksia lineaariavaruuksiksi (kuten useimmin tehdään).

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
Opettaja
Neutroni
Noita geometrisiä hahmotelmia ei pidä yleistää liian pitkälle.



Kyllä kai tämä vielä amistasolla toimii ja itse asiassa taitavat geometriset ja fysikaaliset sovellukset olla ainoita järkeviä vektorien käyttökohteita.



Tiedä sitten mitä sinä pidät järkevänä, mutta kyllä vektoriavaruuksia käytetään muillakin matematiikan aloilla. Ja tuo fysikaaliset sovelluksetkin on aika laaja joukko.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Neutroni
KBolt
En, mutta en sanoisi sitä myöskään vektoriksi koska sillä kappaleella ei ole suuntaa.



Noita geometrisiä hahmotelmia ei pidä yleistää liian pitkälle. Yleisemmin vektorit ovat jonkin Vektoriavaruuden alkioita, ja yksi alkio on nollavektori.

Näinpä. Harmi että lukiossa sekoitettiin päätä kaiken maailman puolivillaisella matematiikkaa välttelevällä höpötyksellä tyyliin "vektorilla on suunta ja pituus".

We're all mad here.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat