Toisen asteen yhtälöön liittyvä tehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Määrää sellainen polynomi p(x), jolle pätee p(x) + p´(x) = x^2. (p´(x) on funktion derivaatta)

Lähdin ratkaisemaan siten, että merkitsin kysyttyä polynomia muodossa ax^2 + bx + c. Muodostin derivaatan yksinkertaisesti derivoimalla ja muodostin annetun ehdon mukaisen lausekkeen. Viimeisin muoto minulla on X^2(a-1) + x(2a+b) + b + c = 0.

Miten pitäisi jatkaa vai kannattaisiko tehdä jotain toisin? Tehtävässä oli mainittu myös että lisäksi pätee ehto:

Integral x^2e^2 = p(x)e^2 + c.

Tuostahan saisi osittaisintegroinnilla ratkaisun, mutta mitä olemme nyt luennoilla käyneet, niin en usko että päätarkoitus olisi integroimalla hakea ratkaisu.

Kommentit (5)

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
Kippari
Määrää sellainen polynomi p(x), jolle pätee p(x) + p´(x) = x^2. (p´(x) on funktion derivaatta)

Lähdin ratkaisemaan siten, että merkitsin kysyttyä polynomia muodossa ax^2 + bx + c. Muodostin derivaatan yksinkertaisesti derivoimalla ja muodostin annetun ehdon mukaisen lausekkeen. Viimeisin muoto minulla on X^2(a-1) + x(2a+b) + b + c = 0.


Eikös se ole siinä valmiina? Vaikka ei sitä tarttis noinkaan pitkälle kehitellä.
Toisen asteen termi nolla kun a=1
ja ensimmäisen asteen termi nolla kun b = -2a = -2
Vakiotermit nolla kun c = -b = 2
x^2 - 2x + 2

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
Kippari
Määrää sellainen polynomi p(x), jolle pätee p(x) + p´(x) = x^2. (p´(x) on funktion derivaatta)

Lähdin ratkaisemaan siten, että merkitsin kysyttyä polynomia muodossa ax^2 + bx + c. Muodostin derivaatan yksinkertaisesti derivoimalla ja muodostin annetun ehdon mukaisen lausekkeen. Viimeisin muoto minulla on X^2(a-1) + x(2a+b) + b + c = 0.

Miten pitäisi jatkaa vai kannattaisiko tehdä jotain toisin? Tehtävässä oli mainittu myös että lisäksi pätee ehto:

Integral x^2e^2 = p(x)e^2 + c.

Tuostahan saisi osittaisintegroinnilla ratkaisun, mutta mitä olemme nyt luennoilla käyneet, niin en usko että päätarkoitus olisi integroimalla hakea ratkaisu.




Jotakin hämyä tuossa integraaliehdossa on. Jos tuo on noin, niin derivoimalla tuosta saa, että p'(x) = x^2, mikä on toisen asteen polynomille aika erikoista. Mutta:

Eihän tuossa tehtävässä toisen asteen polynomista mitään sanottukaan!

Hyvä harhautus!

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
Opettaja
Kippari
Määrää sellainen polynomi p(x), jolle pätee p(x) + p´(x) = x^2. (p´(x) on funktion derivaatta)

Lähdin ratkaisemaan siten, että merkitsin kysyttyä polynomia muodossa ax^2 + bx + c. Muodostin derivaatan yksinkertaisesti derivoimalla ja muodostin annetun ehdon mukaisen lausekkeen. Viimeisin muoto minulla on X^2(a-1) + x(2a+b) + b + c = 0.

Miten pitäisi jatkaa vai kannattaisiko tehdä jotain toisin? Tehtävässä oli mainittu myös että lisäksi pätee ehto:

Integral x^2e^2 = p(x)e^2 + c.

Tuostahan saisi osittaisintegroinnilla ratkaisun, mutta mitä olemme nyt luennoilla käyneet, niin en usko että päätarkoitus olisi integroimalla hakea ratkaisu.




Jotakin hämyä tuossa integraaliehdossa on. Jos tuo on noin, niin derivoimalla tuosta saa, että p'(x) = x^2, mikä on toisen asteen polynomille aika erikoista. Mutta:

Eihän tuossa tehtävässä toisen asteen polynomista mitään sanottukaan!

Hyvä harhautus!




Edit: Paitsi että ehdosta p(x) + p´(x) = x^2 kyllä seuraa tuo toinen aste.
Siis ylläolevassa muodossa tehtävä ei ole järkevä. Pitäisikö siinä olla e^x?
En nyt jaksa kynää kaivella, mutta onko tuo integraaliehto tosiaan tarpeeton?
Ellei ole, niin ei sitä kannata integroida, vaan derivoida.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

+ vakio.

Veikkaisin kuitenkin, että alkuperäinen tehtävä on jotain muuta. Tuo p+p' =x^2 on differentiaaliyhtälö, jonka homogeenisen osan ratkaisu on vakio*exp(-x) ja yksityisratkaisu tuo toisen asteen polynomi. Tehtävässä varmaankin jotenkin yritetään tätä ympätä mukaan?

Uusimmat

Suosituimmat