Voiko matemaatiikka-järjestelmä sortua?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Voiko mitenkään olla mahdollista, että järjestelmä sisältää jonkin todistamattoman lausekkeen, jota ei koskaan ole huomattu, tai sitten todistus ei ole ollut täysin virheetön?
Jos niin olisi niin virhe voisi jossakin äärimmäisen harvinaisessa tilanteessa kaataa suuria järjestelmiä, tai koko helahoito menisi joltakin osin uusiksi.

Tietotekniikka on täynnä tällaisia bugeja ja samoin fysiikassa on paljon todistamatonta, mutta niihin kuitenkin nojaudutaan. Mutta voiskohan tällaista sentään matematiikan maailmassa tapahtua?

Kommentit (14)

Vierailija

Matemaatinen logiikka, jolla matematiikka makaa,
on jo sorrettu. 1930-luvulla Kurt Gödel laati
lauseen, joka on tosi ja sanoo itsestään, että
lause on epätosi. Palkakseen Kurt-boy suljettiín
mentaalihospitaaliin. Tarkemmin Robbins:
Mathematical Logic, a first course.
Tällaisista paradokseista ei selvitä kuin
sumealla logiikalla. Tarkemmin Kasko: Fuzzy
Logic.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
jkiukko
Matemaatinen logiikka, jolla matematiikka makaa,
on jo sorrettu. 1930-luvulla Kurt Gödel laati
lauseen, joka on tosi ja sanoo itsestään, että
lause on epätosi. Palkakseen Kurt-boy suljettiín
mentaalihospitaaliin. Tarkemmin Robbins:
Mathematical Logic, a first course.
Tällaisista paradokseista ei selvitä kuin
sumealla logiikalla. Tarkemmin Kasko: Fuzzy
Logic.

Sumea logiikka on kyllä niin sumeaa, että ei sillä mitään pelasteta.
Ainakaan sillä ei ole mitään tekemistä matematiikan perusteiden kanssa,
lähinnä sitä voisi verrata savolaiseen todennäköisyyslaskentaan.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Opettaja
Sumea logiikka on kyllä niin sumeaa, että ei sillä mitään pelasteta.
Ainakaan sillä ei ole mitään tekemistä matematiikan perusteiden kanssa,
lähinnä sitä voisi verrata savolaiseen todennäköisyyslaskentaan.

Tästä olen samaa mieltä, joskaan en pilkkaisi savolaisia noin. Toisin sanoen sumea logiikka on uudelleen, eri terminologialla keksittyä probabilistista päättelyä ja lopputulos on huonompi kuin se alkuperäinen. Probabilistinen päättelykin on matematiikan sovellus eikä niinkään matematiikkaa itsessään.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
sepik
Voiko mitenkään olla mahdollista, että järjestelmä sisältää jonkin todistamattoman lausekkeen, jota ei koskaan ole huomattu, tai sitten todistus ei ole ollut täysin virheetön?

Ihmisiä matemaatikotkin ovat, joten välillä artikkeleihin voi jäädä virheitä. Yleensä ne kuitenkin oikoluetaan huolella. Toisaalta on mahdolllista, että joku löytää joskus ZFC:stä ristiriidan, jolloin koko matematiikan perusta sortuu. Enpä usko, että tällaista ristiriitaa löytyy koskaan.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Koska väärästä tuloksesta seuraa mitä tahansa, virheellinen matematiikan lause johtaa äkkiä ristiriitaan ja virhe paljastuu heti. En tosin muista koskaan edes kuulleeni mitään tällaista tapahtuneen. Nuo gödelit yms. eivät ole ymmärtääkseni mitenkään kohtalokkaita eivätkä varsinaiset matemaatikot liene noista ongelmista mitenkään huolissaan. Tässähän on vain kyse siitä, että on esimerkiksi kokonaislukuja koskevia väitteitä, joita ei voi todistaa sen kummemmin oikeiksi kuin vääriksikään. Mutta yhtä hyvin ko. väite voi vain olla pirullisen vaikea, kuten vaikkapa Fermatin suuri lause oli.

Vierailija
Opettaja
.. on esimerkiksi kokonaislukuja koskevia väitteitä, joita ei voi todistaa sen kummemmin oikeiksi kuin vääriksikään. .



Eikö tuo periaatteessa mahdollista kohtalokkaan virheenolon järjestelmässä?

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
faq
Opettaja
.. on esimerkiksi kokonaislukuja koskevia väitteitä, joita ei voi todistaa sen kummemmin oikeiksi kuin vääriksikään. .



Eikö tuo periaatteessa mahdollista kohtalokkaan virheenolon järjestelmässä?



Ei, koska todistamatonta väitettä ei voi matematiikassa käyttää. Ihan on yhdentekevää, voidaanko tällainen periaatteessa todistaa vai ei.

Vierailija
jkiukko
Matemaatinen logiikka, jolla matematiikka makaa,
on jo sorrettu. 1930-luvulla Kurt Gödel laati
lauseen, joka on tosi ja sanoo itsestään, että
lause on epätosi.



Tämähän ei yllättäen pidä paikkaansa. Gödel todisti ensimmäisessään epätäydellisyyslauseessa, että jos lukuteoria on ristiriidaton, niin on olemassa tosi lukuteoreettinen väite, joka ei kuitenkaan ole todistuva lukuteoriassa.

Todistuksen jekku on se, että Gödel osoittaa, että lukuteoriassa pystyy mielekkäästi käsittelemään itseensä (tai todistukseensa) viittaavia väitteitä. Äärimmäisen epätarkasti sanottuna Gödel osoittaa, että lukuteoriassa on väite, joka sanoo "tämä väite ei ole todistuva lukuteoriassa". Jos tämä väite ei ole tosi lukuteoriassa, niin silloin tämä väite on todistuva lukuteoriassa, joten sen täytyy olla tosi ja lukuteoria olisi ristiriitainen. Jos lukuteoria on ristiriidaton, niin tällöin tämän väitteen täytyy olla tosi eli se ei ole todistuva lukuteoriassa.

Gödel itseasiassa vielä korottaa panoksia ja todistaa, että jokaisessa lukuteorian ristiriidattomassa ja efektiivisessä laajennuksessa on myös tosia mutta todistumattomia lauseita.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Opettaja
faq
Opettaja
.. on esimerkiksi kokonaislukuja koskevia väitteitä, joita ei voi todistaa sen kummemmin oikeiksi kuin vääriksikään. .



Eikö tuo periaatteessa mahdollista kohtalokkaan virheenolon järjestelmässä?



Ei, koska todistamatonta väitettä ei voi matematiikassa käyttää. Ihan on yhdentekevää, voidaanko tällainen periaatteessa todistaa vai ei.

Kyllähän konjektuureja on käytetty ennen niiden todistamista, mutta toki niissä pitää aina olla mukana maininta siitä, että tulokset ovat tosia vain olettaen kyseinen konjektuuri. Fermatin suuri teoreema, Poincarén teoreema, jne olivat tällaisia. Ja eiköhän vielä todistamattomia konjektuureja matematiikassa riitä.

jepajee
Seuraa 
Viestejä22001
Liittynyt29.12.2009
Opettaja
jkiukko
Matemaatinen logiikka, jolla matematiikka makaa,
on jo sorrettu. 1930-luvulla Kurt Gödel laati
lauseen, joka on tosi ja sanoo itsestään, että
lause on epätosi. Palkakseen Kurt-boy suljettiín
mentaalihospitaaliin. Tarkemmin Robbins:
Mathematical Logic, a first course.
Tällaisista paradokseista ei selvitä kuin
sumealla logiikalla. Tarkemmin Kasko: Fuzzy
Logic.

Sumea logiikka on kyllä niin sumeaa, että ei sillä mitään pelasteta.
Ainakaan sillä ei ole mitään tekemistä matematiikan perusteiden kanssa,
lähinnä sitä voisi verrata savolaiseen todennäköisyyslaskentaan.



Arvostan kyllä osaamistasi alueillasi, mutta Gödelhän sanoi että matematiikkaa ei pelasta mikään. Matematiikka siis on ja säilyy ihmisen työkaluna - hierarkisesti alempana, kapinoiden logiikkaa vastaan.

Mitä mieltä olet sitten vaikkapa surreaalinumeroista? http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
jees
Arvostan kyllä osaamistasi alueillasi, mutta Gödelhän sanoi että matematiikkaa ei pelasta mikään. Matematiikka siis on ja säilyy ihmisen työkaluna - hierarkisesti alempana, kapinoiden logiikkaa vastaan.

Mitä mieltä olet sitten vaikkapa surreaalinumeroista? http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number




Kiitoksia luottamuksesta. Jotain samaa on tässä matematiikan perusteissa. Joku harva aina yrittää saadaan ne kuntoon (Russel, Whitehead, Gödel ...), mutta "varsinaiset" matemaatikot noista viis veisaavat. Ymmärtääkseni matematiikan hardcoressa (Analyysi, algebra, topologia, ...) ei vastaan tule ongelmia perusteiden kanssa. Tosin myös (matemaattinen) logiikka on kyllä nykyään erittäin keskeistä matematiikkaa. En tiedä, kuinka oleellista noiden perusteiden miettiminen siellä on.

Täytyy kyllä tunnustaa, että en ole edes varma, onko matematiikan perusteissa mitään ongelmia. Matematiikkaa on nimittäin vain se osa matemaattista tietoa, joka on "kunnossa". En tiedä, onko ongelmaa siinä, että tuota rakennelmaa ei voi todistaa ristiriidattomaksi.

Noista surreaaliluvuista olen tuskin kuullutkaan. Pikaisella silmäyksellä näyttävät kyllä olevan ihan "tavanomaista" matematiikkaa eli asetaan joitain määritelmiä ja niistä johdetaan loogisilla päättelysäännöillä tuloksia. Ja jos takana on Conway ja Knuth, niin kyllä tuo on ihan oikeata matematiikkaa. Äärettömyyksiä on kyllä aiemminkin yritetty saada aisoihin.

Käyttäjä2816
Seuraa 
Viestejä3
Liittynyt12.9.2016

Kaikkien matemaatikkojen pitää tietää Russell'in paradoksi:  kaikki joukot,  jotka eivät ole itsensä alkioita =A. A on itsensä alkio ja ei ole. Ristiriita. Bart Kosko'n krja, Sumea logiikka (suomennos), 2. painos, s 122, jossa on vielä virhe: (Endconclusion:) B ja -D. Pitää olla:  B ja -B.  Tässä kirjassa on Bertrand Russell'in omin symbolein todistettu: jos kielellisessä tai matemaattisessa järjestelmässä on yksikin ristiriita (A ja -A), järjestelmän jokainen lause on ristiriitainen. Kun joukko-oppi,  joka sisältää Russellin paradoksin, on matematiikan pohja, matematiikka on ristiriitainen. Siis jokaiselle väitteelle A voidaan todistaa vastaväite -A, vain todistamalla, että väite A makaa joukko-opin päällä. QED. 231017. Solved positively.  231017.

Vomies
Seuraa 
Viestejä2368
Liittynyt4.9.2010

Laitoin tänne joskus, että 1 + 1 ei välttämättä ole kaksi. Jos kaksi ihmistä tekee lapsia, niin 1 + 1 on suurempi kuin kaksi.

Vakavanha Väinämöinen, tietäjä iänikuinen.

Eusa
Seuraa 
Viestejä13406
Liittynyt16.2.2011

Käyttäjä2816 kirjoitti:
Kaikkien matemaatikkojen pitää tietää Russell'in paradoksi:  kaikki joukot,  jotka eivät ole itsensä alkioita =A. A on itsensä alkio ja ei ole. Ristiriita. Bart Kosko'n krja, Sumea logiikka (suomennos), 2. painos, s 122, jossa on vielä virhe: (Endconclusion:) B ja -D. Pitää olla:  B ja -B.  Tässä kirjassa on Bertrand Russell'in omin symbolein todistettu: jos kielellisessä tai matemaattisessa järjestelmässä on yksikin ristiriita (A ja -A), järjestelmän jokainen lause on ristiriitainen. Kun joukko-oppi,  joka sisältää Russellin paradoksin, on matematiikan pohja, matematiikka on ristiriitainen. Siis jokaiselle väitteelle A voidaan todistaa vastaväite -A, vain todistamalla, että väite A makaa joukko-opin päällä. QED. 231017. Solved positively.  231017.

Olkoon kaikki kaikkeuden hiukkaset, jotka eivät määrittele minua = A. Määritteleekö A minua vai ei? Joukkoa A tutkimalla huomataan, että siitä siitä puuttuu joko:

- kaikkeuden symmetrialle välttämätön osa

- koko kaikkeus

- ei mitään

Kaikissa tapauksissa tunnettu negaatio johtaa siihen, että kuulun kaikkeuden symmetrialle välttämättömiin osiin, olen kaikkeuden oleellinen osa tai en ole mitään.

Mitä on tällainen logiikka/matematiikka? Filosofista saivartelua, jota ei tarvita mihinkään.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Uusimmat

Suosituimmat