Matemaattinen induktio

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Osoita, etta kaikilla ¨ n ∈ N
(1 + 2 + 3 + · · · + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3

Olen muodostanut induktio-oletuksen ja -väitteen. Sijoitin induktio-oletuksen vasemman puolen induktio-väitteen oikealle puolelle ja sain seuraavasti:

Oikea puoli:

(1+2+3+...+k)^2 + (k+1)^3

Vasen puoli on siis sellaisenaan I-V;ssä:

(1+2+3...k+k+1)^2

Eli siis: (1+2+3...k+k+1)^2 = (1+2+3+...+k)^2 + (k+1)^3.

Miten tästä nyt saa todistettua? Tuosta näyttäisi oikealta puolelta ehkä saavan neliömuodon, koska siellä on tuo pitkä lauseke korotettuna toiseen ja jos jotenkin saisi vielä kaksinkertaista tuloa.

Kommentit (4)

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

En nyt jaksa laskea, mutta ainakin kokeeksi soveltaisin vasemalla puolella binomin muistikaavaa (a+b)^2=..., a=1+...+k. Tosin ei kyllä laskematta hyvältä näytä, mutta saa siitä ainakin (1+...+k)^2:n ulos ja loppua voisi sitten yrittää samaksi.
Toinen kokeilun arvoinen temppu olisi käyttää vasemmalla aritmeettisen summan kaavaa.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
Kippari
Osoita, etta kaikilla ¨ n ∈ N
(1 + 2 + 3 + · · · + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3

Olen muodostanut induktio-oletuksen ja -väitteen. Sijoitin induktio-oletuksen vasemman puolen induktio-väitteen oikealle puolelle ja sain seuraavasti:

Oikea puoli:

(1+2+3+...+k)^2 + (k+1)^3

Vasen puoli on siis sellaisenaan I-V;ssä:

(1+2+3...k+k+1)^2

Eli siis: (1+2+3...k+k+1)^2 = (1+2+3+...+k)^2 + (k+1)^3.

Miten tästä nyt saa todistettua? Tuosta näyttäisi oikealta puolelta ehkä saavan neliömuodon, koska siellä on tuo pitkä lauseke korotettuna toiseen ja jos jotenkin saisi vielä kaksinkertaista tuloa.


En minä näistä mitään ymmärrä.
Kasvattaisin n:ää yhdellä ja katsoisin lisääntyvätkö yhtä paljon.

Vierailija

Kokeilemalla huomaa, että pitää paikkansa ainakin pienillä luvuilla. (1+2)² = 1³+2³ ja (1+2+3)² = 1³+2³+3³. Mutta jos hakee muutokselle lauseketta ja merkitään y = 1+2+...+n-1 saadaan (y+n)² - y² = 2yn+n².
Tämän pitäisi olla nyt sama kuin n³. y = (n-1)·n/2 joten 2yn + n² = (n-1)n² + n² = n³ m.o.t.

Uusimmat

Suosituimmat