Seuraa 
Viestejä45973

Osoita, etta kaikilla ¨ n ∈ N
(1 + 2 + 3 + · · · + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3

Olen muodostanut induktio-oletuksen ja -väitteen. Sijoitin induktio-oletuksen vasemman puolen induktio-väitteen oikealle puolelle ja sain seuraavasti:

Oikea puoli:

(1+2+3+...+k)^2 + (k+1)^3

Vasen puoli on siis sellaisenaan I-V;ssä:

(1+2+3...k+k+1)^2

Eli siis: (1+2+3...k+k+1)^2 = (1+2+3+...+k)^2 + (k+1)^3.

Miten tästä nyt saa todistettua? Tuosta näyttäisi oikealta puolelta ehkä saavan neliömuodon, koska siellä on tuo pitkä lauseke korotettuna toiseen ja jos jotenkin saisi vielä kaksinkertaista tuloa.

  • ylös 0
  • alas 0

Kommentit (4)

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983

En nyt jaksa laskea, mutta ainakin kokeeksi soveltaisin vasemalla puolella binomin muistikaavaa (a+b)^2=..., a=1+...+k. Tosin ei kyllä laskematta hyvältä näytä, mutta saa siitä ainakin (1+...+k)^2:n ulos ja loppua voisi sitten yrittää samaksi.
Toinen kokeilun arvoinen temppu olisi käyttää vasemmalla aritmeettisen summan kaavaa.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
Kippari
Osoita, etta kaikilla ¨ n ∈ N
(1 + 2 + 3 + · · · + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3

Olen muodostanut induktio-oletuksen ja -väitteen. Sijoitin induktio-oletuksen vasemman puolen induktio-väitteen oikealle puolelle ja sain seuraavasti:

Oikea puoli:

(1+2+3+...+k)^2 + (k+1)^3

Vasen puoli on siis sellaisenaan I-V;ssä:

(1+2+3...k+k+1)^2

Eli siis: (1+2+3...k+k+1)^2 = (1+2+3+...+k)^2 + (k+1)^3.

Miten tästä nyt saa todistettua? Tuosta näyttäisi oikealta puolelta ehkä saavan neliömuodon, koska siellä on tuo pitkä lauseke korotettuna toiseen ja jos jotenkin saisi vielä kaksinkertaista tuloa.


En minä näistä mitään ymmärrä.
Kasvattaisin n:ää yhdellä ja katsoisin lisääntyvätkö yhtä paljon.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Kokeilemalla huomaa, että pitää paikkansa ainakin pienillä luvuilla. (1+2)² = 1³+2³ ja (1+2+3)² = 1³+2³+3³. Mutta jos hakee muutokselle lauseketta ja merkitään y = 1+2+...+n-1 saadaan (y+n)² - y² = 2yn+n².
Tämän pitäisi olla nyt sama kuin n³. y = (n-1)·n/2 joten 2yn + n² = (n-1)n² + n² = n³ m.o.t.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat