Seuraa 
Viestejä45973

Eli on sylinterin muotoinen öljysäiliö vaakatasossa, jonka päät ovat pallon kalotin muotoiset, tiedetään sylinterinmuotoisen osan pituus ja halkaisija, sekä pään kalotin korkeus eli säiliön koko pituus = sylinterin pituus + 2x kalotin korkeus.

Tehtävä on laskea säiliössä olevan nesteen tilavuus kun nesteen pinta on tietyllä korkeudella.

Opettajani kertoi laittaneensa tämän joskus kokeeseen epähuomiossa ja ihmetteli kun kukaan ei sitä osannut, jonka jälkeen laski sen itse ja huomasi että ratkaisusta tuli a4 paperin pituinen.
Hän ei ole löytänyt mistään käyttökelpoista ratkaisukaavaa tehtävään ja ajattelin kysäistä täältä onko sellaista edes olemassa kuten hän epäili.

Eli onko pallon osasegmentin tilavuuden laskemiseen olemassa yksinkertaista kaavaa?

(koetin etsiä täältä ja internetistä mutten löytänyt edes englanniksi)

  • ylös 8
  • alas 6

Sivut

Kommentit (63)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704

Joskus melko monta vuotta sitten tuo tuli lasketuksi. Vastauksessa oli muistaakseni arkustangentti tai jokin muu trigonometrinen käänteisfunktio. Kyllähän se kaava ihan käyttökelpoinen on, jos välineet trigonometristen käänteisfunktioiden laskemiseen löytyy. Eli laskin tai jokin laskentaohjelma auttaa kaavan sovelluksessa, kunhan sen ensin jaksaa johtaa tai etsiä.

Kaavan johtamiseen voi mennä se A4-paperi, mutta lopputulos on jo vähän sievempi.

Edit: saattoi olla, että laskin sen kaavan joskus vaakatasossa olevalle tynnyrille, jonka päädyt ovat suorat. Tässä pitäisi vielä laskea se pallon kalotin kaava.

edit2. Googleen tarttuu aika monta tulosta haulla "pallosegmentin tilavuus", joten jos itse lasku ei kiinnosta niin kaavat löytyy valmiina.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Eli onko pallon osasegmentin tilavuuden laskemiseen olemassa yksinkertaista kaavaa?
On...mutta antaa nyt wolframipellejen ensin bruteforcettaa.
Ei tosiaan löydy monesta kirjasta tätä kaavaa. Saati netistä.

P.S. Kyseinen tehtävä on kahden kaavan mittainen.
Voi laskea jopa toisellakin tavalla...eli ihan prosenttilaskennalla. Lasketaan ensin se lieriö ja sitten lisätään pallon osuus...

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Se suorapäätyisen tynnyrin tilavuushan tulee ihan vain ympyrän segmentti kerrottuna vaakatasossa olevan tynnyrin leveydellä, eikö?
Ongelmana tässä nimenomaan oli tuo osakalotin tilavuuden lasku.

KuhanKattelen
Se suorapäätyisen tynnyrin tilavuushan tulee ihan vain ympyrän segmentti kerrottuna vaakatasossa olevan tynnyrin leveydellä, eikö?
Ongelmana tässä nimenomaan oli tuo osakalotin tilavuuden lasku.

Siis PALLON tilavuuden lasku...koska niitä päätyjä on kaksi.
Sullahan on nestepinnan korkeus selvillä eli jänne ja muut selviää ympyrägeometriasta...sama myös lieriöllä.

On tähän ihan kaavatkin olemassa mutta kannattaa laskea ensin muuten.

http://fi.wikipedia.org/wiki/J%C3%A4nne ... atiikka%29

Opettajani kertoi laittaneensa tämän joskus kokeeseen epähuomiossa ja ihmetteli kun kukaan ei sitä osannut, jonka jälkeen laski sen itse ja huomasi että ratkaisusta tuli a4 paperin pituinen.



Pitikö opettajanne yhtä A4:ää pitkänä?

Kääntäkää tuo kalotti (http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_cap), kyljelleen kuin se olisi kyljellään olevan tynnyrin päässä, sen jälkeen vedätte siitä pohjasta pienen viivan nestepinnan tasoksi. Eli kalotista siivu. ei puolipallo, eikä koko kalotti.

Ja no piti se sitä pitkänä kaavana minun tasollani opiskeleville ihmisille.

Edit: Siis se ratkaisukaava oli a4 pituinen eli ei käytännössä käyttökelpoinen

Integroimalla on varmaan laskettava kalotin viipaleen tilavuus. Tuskin siihen valmista kaavaa muutoin löytyy.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704

Joo, katsoin sitten huolimattomasti tuon päätyjen osalta.

Periaatteessa ratkaisu voi löytyä integroimalla, mutta en tähän hätään jaksa vääntää laskua.

Muodollisesti voi lähteä lausekkeesta

V = 2∫dx∫dy∫dz, jossa integrointirajat ovat:
y= y0 ... √(R²-x²-z²)
x= x0 ... √(R²-z²-y²)
z= 0 ... √(R²-x²-y²)

Lasku pitää tehdä yksi integraali kerrallaan, enkä tiedä meneekö liian työlääksi ilman symbolisen laskennan ohjelmia. (joskus se on työlästä niidenkin kanssa)

Voi olla muitakin keinoja, mutta tuo tuli ensimmäisenä mieleen. Ohjelmistot antavat monesti ratkaisut melko epäsievässä muodossa, ja sitä saattaa voida sievistää. Mutta jos se on A4 pituinen lauseke, niin melko haukotuttavaa sen pyöritys on.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

EDIT: Sikäli taas puutaheinää osaltani että säiliöhän ei ollut täynnä.
No eipä tartte ollakaan...

KuhanKattelen
Kääntäkää tuo kalotti (http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_cap), kyljelleen kuin se olisi kyljellään olevan tynnyrin päässä, sen jälkeen vedätte siitä pohjasta pienen viivan nestepinnan tasoksi. Eli kalotista siivu. ei puolipallo, eikä koko kalotti.

Ja no piti se sitä pitkänä kaavana minun tasollani opiskeleville ihmisille.

Edit: Siis se ratkaisukaava oli a4 pituinen eli ei käytännössä käyttökelpoinen


No se on juuri tuon kuvan mukainen...jos vähän aikaa kääntelet niin huomaat.

Eli tällaisesta ilmeisesti on kyse ja säiliö vain osaksi täynnä

Jos viisastellaan niin päätyhän ei ole pallopinta ja tuollaisen päädyn laskenta onkin sitten eri asia. Pallopäädyn saa laskettua juuri tuolla pallon kaavalla. Mitään integraaleja tähän tartte

Edit: Siis se ratkaisukaava oli a4 pituinen eli ei käytännössä käyttökelpoinen



Jaa, luulin tarkoittaneesi tehtävän ratkaisun pituutta. Jos yksi kaava on noin pitkä, sen käyttö menee jo aika mielettömäksi tuollaisessa tehtävässä.

Kbolt, eli juurikin tuollainen mutta kuvitellaan päädyt pallon kaloteiksi, ei puolipalloiksi, josta tiedetään kalotin korkeus. Ja kun säiliö on pohjalta täytetty korkeuteen x niin paljonko säiliössä on tavaraa?
En oikeen usko että pallon kaavalla saa laskettua mutta enhän minä matikasta paljonkaan tiedä.

KuhanKattelen
Kbolt, eli juurikin tuollainen mutta kuvitellaan päädyt pallon kaloteiksi, ei puolipalloiksi, josta tiedetään kalotin korkeus. Ja kun säiliö on pohjalta täytetty korkeuteen x niin paljonko säiliössä on tavaraa?
En oikeen usko että pallon kaavalla saa laskettua mutta enhän minä matikasta paljonkaan tiedä.

Mietihän vähän. Vertaa tuohon Jyden laittaman linkin kuvaan. Ja tässä kalotti..

http://fi.wikipedia.org/wiki/Kalotti_%28geometria%29

Ei tietysti suoraan saa pallon kaavalla laskettua.

Tämäkin sanoo jo jotain

Ympyrän kohdalla pallon kalottia "vastaa" ympyrän segmentti, ja kalotti onkin yksi pallosegmentti.



EDIT: Joo, myönnetään...ei se ihan kahdella kaavalla ratkea mutta lähes..

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
KBolt

EDIT: Joo, myönnetään...ei se ihan kahdella kaavalla ratkea mutta lähes..




No miten se ratkeaa helposti? Pallosegmentistä tuossa ei ole kyse, vaikka sen osasta. Mutta miten sen saat laskettua pallosegmentin tilavuuden kaavalla?

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

KBoltin juttuja ei kannata ottaa vakavasti. Mitä hän nyt tajuaisi tilavuuden laskemisesta kun ei tajunnut edes säiliön muotoa vaikka se oli aloitusviestissä hyvin selkeästi kerrottu.
Integrointia voi ehkä hieman yksinkertaistaa kun tarkastellaan säiliön akselia vastaan kohtisuoraa tasoa. Sen suuntaiset leikkaukset pallokalotissa muodostavat ympyrän segmentin laskettavan tilavuusosan kohdalla. Segmentin ala on helposti laskettavissa ja silloin riittää integrointi akselin suunnassa.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578

En nyt ehdi itse perehtyä asiaan töiden takia, mutta käytännön tilanteisiin voisi apu lohjeta täältä. Lisäksi sieltä voisi saada näkemystä aloittajan ongelman matemaattisen mallin luontiinkin.

Vanha jäärä

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
korant

Integrointia voi ehkä hieman yksinkertaistaa kun tarkastellaan säiliön akselia vastaan kohtisuoraa tasoa. Sen suuntaiset leikkaukset pallokalotissa muodostavat ympyrän segmentin laskettavan tilavuusosan kohdalla. Segmentin ala on helposti laskettavissa ja silloin riittää integrointi akselin suunnassa.



Tuo luultavasti säästää kaksi ensimmäistä integrointia siitä minun laittamastani kaavasta. Ne tosin on yleensä niitä helpompia vielä, ja loppuosa taitaa palautua samaan integraaliin. Mutta onhan se jo puoli voittoa, jos ne kaksi ensimmäistä integraalia voi laskea mahdollisesti helpommin.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
korant
Integrointia voi ehkä hieman yksinkertaistaa kun tarkastellaan säiliön akselia vastaan kohtisuoraa tasoa. Sen suuntaiset leikkaukset pallokalotissa muodostavat ympyrän segmentin laskettavan tilavuusosan kohdalla. Segmentin ala on helposti laskettavissa ja silloin riittää integrointi akselin suunnassa.



Ihan helppo: poikkileikkausegmentin säde on sqrt(r^2-x^2), missä r on kalotin säde ja x pokkileikkauksen etäisyys pohjasta.

Jos a on nestepinnan etäisyys akselista, niin (oletetaan, että on alle puolillaan) keskuskolmion ala on a*sqrt(r^2-x^2-a^2). Sektorin keskuskulma on

alfa = 2arccos(a/sqrt(r^2-x^2)) ja ala siis alfa/2pii*pii*((r^2-x^2))

Ja sitten vaan integroidaan 0..kalotin korkeus pinta-ala

alfa/2*(r^2-x^2) - asqrt(r^2-x^2-a^2)

Tai sitten ei.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat