Aaltopaketti potentiaalissa.

Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Voisiko joku palstan kvanttimekaanikoista (asiasta jotain ymmärtävät plus David) opastaa meikäläistä: Miten muodostetaan aaltopaketti yleisessä integraalimuodossa, kun hiukkanen on potentiaalissa V(x,t)?

Osaan siis kyllä fourier-analyysillä muodostaa vapaan hiukkasen aaltopaketin ratkaisemalla Schrödingerin yhtälön.
Vastaus on muuten sama aaltopaketti kuin vapaassakin tapausessa, mutta liikemäärän aaltofunktio riippuu sekä paikasta että ajasta. Itse en osaa tuosta perustella lähtien Schrödingerin yhtälöstä

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Kommentit (5)

Vierailija

Hei,

Cargo

oisiko joku palstan kvanttimekaanikoista (asiasta jotain ymmärtävät plus David) opastaa meikäläistä: Miten muodostetaan aaltopaketti yleisessä integraalimuodossa, kun hiukkanen on potentiaalissa V(x,t)?

Haet siis ilmeisestikkin Schrödingerin yhtälön yleistä ratkaisua, joka on esitettävissä integraalina, kun alkutilanne ja potentiaali tunnetaan. Aivan kaikkeen soveltuvaa ratkaisua on vaikea antaa, koska ratkaisut riippuvat huomattavasti annetusta tilanteesta.
Cargo

Osaan siis kyllä fourier-analyysillä muodostaa vapaan hiukkasen aaltopaketin ratkaisemalla Schrödingerin yhtälön.
Vastaus on muuten sama aaltopaketti kuin vapaassakin tapausessa, mutta liikemäärän aaltofunktio riippuu sekä paikasta että ajasta

Tarkoitatko tällä "liikemäärän aaltofunktiolla" tilavektorin ψ esitystä momenttiavaruudessa, joka saadaan Fourier-muuntamalla (1-ulotteinen tapaus):

φ(p,t) = 1/√(2πh)∫ Ψ(x,t) exp(-ipx/h) dx

Tämä esitys kuitenkin riippuu vain momentista p ja ajasta t, eikä ollenkaan paikasta x.

Vai tarkoitako liikemääräoperaattorin ominaisfunktiota, siis yleensä funktioita, jotka ovat muotoa:

1/√(2πh) exp(-ipx/h)

Liikemäärän tai mitä tahansa fysikaalista suuretta vastaavat ominaisfunktiot (tai tilat) eivät riipu ajasta, kaikki aikariippuvuus sisältyy systeemin tilaa kuvaavaan aaltofunktioon (tai yleisemmin tilavektoriin). Tämä siis silloin kun käytetään ns. Schrödingerin kuvaa. Muissa tilanteissa systeemin dynamiikka rakennetaan eri tavalla.

Myös vapaan hiukkasen aaltopaketti riippuu ajasta, sillä yleisin mahdollinen ratkaisu vapaalle hiukkaselle on (kun ollaan yksiulotteisessa tapauksessa):

Ψ(x,t)=1/√(2πh)∫ F(p) exp(i(px - Et)/h) dp.

Tässä on muistettava vielä dispersiorelaatio eli energia E riippuu momentista yhtälön E = 1/(2m) p^2 mukaisesti. Tästä on olemassa erinäköisiä muunnelmia eri lähteissä, joissa esimerkiksi käytetään kvanttimekaniikan perusyhtälöitä E = hω ja p = hk.
Jos ylläolevassa integraalissa asetetaan t = 0, jolloin:

Ψ(x,0)= 1/√(2πh) ∫ F(p) exp(i(px)/h) dp.

Tässä siis alkutila Ψ(x,0) on esitetty liikemääräoperaattorin ominaisfunktioiden lineaarikombinaationa joka näyttää aaltofunktion hajotelmalta Fourier-komponentteihinsa.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Kirjassa vaan sanotaan, että: "Aaltofunktio Ψ(x,t) hiukkaselle potentiaalissa voidaan kirjoittaa Ψ(x,t)=1/√(2πh)∫ φ(p,t) exp(ipx/h) dp."

Vapaan hiukkasen aaltofunktion saa kyllä helposti fourier-muunnoksella Schrödingerin yhtälöstä, mutta tuon yleisemmän tilanteen johtaminen on itselle kysymysmerkki.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija
Cargo
Kirjassa vaan sanotaan, että: "Aaltofunktio Ψ(x,t) hiukkaselle potentiaalissa voidaan kirjoittaa Ψ(x,t)=1/√(2πh)∫ φ(p,t) exp(ipx/h) dp."

Tämä on siis Fourier-muunnos liikemääräavaruudesta paikka-avaruuteen, ja pätee aina potentiaalista V(x,t) riippumatta. http://en.wikipedia.org/wiki/Momentum_space

Vapaan hiukkasen aaltofunktion saa kyllä helposti fourier-muunnoksella Schrödingerin yhtälöstä, mutta tuon yleisemmän tilanteen johtaminen on itselle kysymysmerkki.

Tuo yllä oleva Fourier-muunnos on voimassa, koska liikemääräoperaattori sattuu olemaan "sopivaa muotoa".

Paikka-avaruudessa se on

ja tämän ominaisfunktiot ovat

ja ominaisarvot

Jostain Fourier-analyysin kirjasta varmaan löytyy tarkemmat yksityiskohdat, miten noiden perusteella saadaan tuo muunnos vastaamaan esittämääsi.

Mutta jos sen sijaan haet yleistä ratkaisua Schrödingerin yhtälölle, niin sellainenkin on helposti muotoiltavissa. Schrödingerin kuvassa Schrödingerin yhtälö yleinen ratkaisu on muotoa

missä U(t,t0) on aikaevoluutio-operaattori. Mikäli systeemin Hamiltonin operaattori on ajasta riippumaton, niin

ja Schrödingerin yhtälön ratkaisu on

Tuossa siis Hamiltonin operaattori on eksponenttifunktion parametrien seassa, joten sieltä tulee ruman näköistä tavaraa (operaattoreiden potensseja) ulos siinä vaiheessa, kun eksponenttifunktiota alkaa kirjoittaa auki sarjaksi. Ja tuolla koko sarjalla sitten operoidaan aaltofunktioon hetkellä t0.

Jos Hamiltonin operaattori on ajasta riippuva, niin aikaevoluutio-operaattori on

missä T on aikajärjestysoperaattori. http://en.wikipedia.org/wiki/Path-ordering

Näin siis Schrödingerin kuvassa, jossa operaattorit ovat vakioita, mutta tilavektorit ajasta riippuvia. Vaihtoehtoisia lähestymistapoja ovat Heisenbergin kuva, jossa tilavektorit ovat vakioita mutta operaattorit (ja observaabelit) ajasta riippuvia, sekä Diracin kuva, jossa sekä operaattorit että tilavektorit riippuvat ajasta.

Kannattaa toki edellisiin liittyen katsoa myös Diracin ja Feynmanin polkuintegraaliformulaatio: http://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Tjoo... tohon yleiseen aaltopakettiin ollaan taidettu päätyä Feynmanin polkuintegraalin kautta. Vapaan hiukkasen aaltopaketti vastaa vapaan hiukkasen propagaattoria. Että ei mikään ihme, että kaikissa kvanttimekaniikan perusoppikirjoissa sanotaan: "Ratkaistaan Schrödingerin yhtälö vapaan hiukkasen tapauksessa..."

Heuristisesti tulokseen päätyy kyllä, kun vaan latoon aaltopaketin kasaan tasoaalloista eri liikemäärien ja energioiden arvoilla.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Astronomy
Seuraa 
Viestejä3976
Liittynyt12.6.2007
Cargo
Voisiko joku palstan kvanttimekaanikoista (asiasta jotain ymmärtävät plus David) opastaa meikäläistä: Miten muodostetaan aaltopaketti yleisessä integraalimuodossa, kun hiukkanen on potentiaalissa V(x,t)?

Osaan siis kyllä fourier-analyysillä muodostaa vapaan hiukkasen aaltopaketin ratkaisemalla Schrödingerin yhtälön.
Vastaus on muuten sama aaltopaketti kuin vapaassakin tapausessa, mutta liikemäärän aaltofunktio riippuu sekä paikasta että ajasta. Itse en osaa tuosta perustella lähtien Schrödingerin yhtälöstä


Goswel, apua!! Nyt tarvitaan Sinun osaamistasi tässä probleemassa, tule auttamaan!!!

"The universe is a big place, perhaps the biggest".
"Those of you who believe in telekinetics, raise my hand".
Kurt Vonnegut
"Voihan fusk." Minä

Uusimmat

Suosituimmat