Logaritmista

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Kun olemme käsitelleet matematiikassa logaritmeja ja logaritmifunktioita, kantaluku a on pitänyt olla positiivinen ja ykkösestä eroava. Tämä tuntuu ihan ymmärrettävältä.

Mutta miksi log (-3, 9) ei ole 2 niin kuin se järkeni mukaan olisi, onhan (-3)^2 = 9 tosi yhtälö? (Tuossa merkinnässäni siis -3 on kantaluku ja 9 numerus.)Olen aina kuvitellut, että kantaluvun positiivisuusehto on vain yleinen sääntö ja että siinä olisi erikoistapauksia aivan kuten mm. yleisessä potenssifunktiossa, jossa x=0 ei kuulu määrittelyjoukkoon, vaikka on varsin yleistä, että se ei aiheuttaisi mitään ongelmia (ts. ei tulisi 0^0 -tilannetta). En näe mitään syytä sille, että vastaus ei olisi kaksi. Laskin antaa desimaalilukuna 0,217928614 -0,6231888535i, joka laitettuna eksponentiksi toki antaa vastaukseksi 9 ihan kuten pitääkin.

Eli onko niin, että vain kompleksivastaus on olemassa tuollaiselle logaritmille vai onko myös 2 oikea vastaus? Kompleksiluvut tulevat käsittelyyn vasta myöhemmin, joten niiden käyttö logaritmi-, potenssi- ja eksponenttifunktioissa on minulle täysin vierasta.

Kommentit (6)

Vierailija

Unohdetaan aluksi kantaluku ja määritellään (normaali) logaritmi kompleksitasossa.

z = x + iy (kompleksiluku)

Eksponenttifunktio on hyvin määritelty (esim. sarjoilla) ja sille pätee normaalit laskusäännöt. Halutaan ratkaista yhtälö:

exp(z) = exp(x)*exp(iy) = w

Toisin sanoen, "z = log(w)".

Ilman sen kummempia todistuksia mainittakoon, että "*exp(iy)" kiertää kompseksilukua tasossa kulman y verran muuttamaan sen pituutta.

Jos siis määrittelemme logaritmifunktion seuraavasti, niin se toteuttaa ylläolevan yhtälön.

log(z) = log(r) + k*i,

missä r = sqrt(x^2+y^2)
ja k = "kulma" s.e. cos(k)*r = x ja sin(k)*r = y

Tästä nähdään, että yhtälöllä on ääretön määrä ratkausuja. Voidaan nimittäin lisätä k:n arvon n*2pi, missä n on kokonaisluku.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Eiköhän tuossa negatiivisessa kantaluvussa ole ainakin se pieni puute, että ei-kokonaisluvuille ei tahdo tulla reaalisia logaritmeja edes yrittämällä vähän samaan tapaan kuin potenssifunktioitakaan ei määritellä negatiiviselle kantaluvulle, vaikka laskin niille silloin tällöin arvon saakin.

Eipä ole kompleksiluvuille vastaan tullut muita logaritmeja kuin luonnollinen logaritmi.
Periaatteessa kai kompleksiluvuillakin voisi määritellä logaritmit kantaluvun eksponetteina kuten reaaliluvuille, mutta tässä tosiaan tulee tuo monikäsitteisyys vastaan. Mistä lie laskin on tuon arvon napannut, kai se sitten on yhtälön (-3)^z=9 jokin ratkaisu, mutta miksi juuri tuo? Varmaan voisi googlata tai kysyä Wolframilta. Ehkä voisi myös käyttää kannanvaihtokaavaa
log k a = ln a / ln k.

Vierailija

Oletetaan, että laskin laskee sen seuraavasti:

log(-3, 9) = log(9)/log(-3)

Edellisen viestin perusteella log(-3) = log(3) + i*pi. Siis -3:n pituus on 3 ja sen kulma on pi. Tuostapa se vastaus taitaa tullakin..

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Opettaja
Mistä lie laskin on tuon arvon napannut, kai se sitten on yhtälön (-3)^z=9 jokin ratkaisu, mutta miksi juuri tuo?
[quote="Opettaja"]
Logaritmin päähaarasta. Mutta tosiaan logaritmi on kompleksitasossa moniarvoinen funktio. Jos e^z=w joillakin kompleksiluvuilla z ja w, niin määritellään z:=log w. Tästä saadaan log w=log |w|+i arg w +n*2*pi, missä n on kokonaisluku.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Opettaja
Mistä lie laskin on tuon arvon napannut, kai se sitten on yhtälön (-3)^z=9 jokin ratkaisu, mutta miksi juuri tuo?

Logaritmin päähaarasta. Mutta tosiaan logaritmi on kompleksitasossa moniarvoinen funktio. Jos e^z=w joillakin kompleksiluvuilla z ja w, niin määritellään z:=log w. Tästä saadaan log w=log |w|+i arg w +n*2*pi, missä n on kokonaisluku.

Uusimmat

Suosituimmat