Kompleksisen lausekkeen suurin ja pienin arvo

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Nyt menee jokin pieleen. Tehtävänanto:

Määrää lausekkeen |z - 1|^2 + |z - i|^2 suurin ja pienin arvo, kun z on kompleksitason käyrällä z \bar{z} = 1. [k96.7b]

Oma ratkaisuni:

Maksimi- ja minimiarvot löytyvät Fermat'n lauseen mukaan joko määrittelyvälin (1 - a^2 >= 0 >> -1 =< a =< 1) päätepisteistä (a = 1, a = -1) tai derivaatan nollakohdasta (lausekkeen nojalla a = 1/sqrt(2)).

f(1) = 2(2 - 1) = 2
f(-1) = 2(2 + 1) = 6
f(1/sqrt(2)) = 4 - 2sqrt(2)

Näistä suurin on 6 ja pienin 4 - 2sqrt(2). Kirjan takana on kuitenkin vastauksena maksimiarvoksi 4 + 2sqrt(2) ja minimiksi 4 - 2sqrt(2)! Tuo maksimi ei mitenkään tunnu sopivan yhtälöihini, ja vaikka kuinka monta kertaa käyn ne läpi, ei virhekohtaa tunnu löytyvän.

Voisitteko auttaa? (Kiitän!)

Kommentit (3)

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Pikaisesti hahmottelemalla ja päässä laskemalla saan saman maksimin, kuin kirja antaa.

Tunnista ensin käyrä z*conj(z)=1. Hahmottele sitten geometrisesti lauseketta |z-1|² + |z-i|². Saat kaksi käyrää. Kysytyn minimin ja maksimin voi laskea vaikka päässä. Todistaminen vaatii tietenkin vähän enemmän tekemistä.

We're all mad here.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
Stratonovich
Olisikohan b = ±√(1-a^2).

Tuossahan se vika on. Tehtävä menee myös näppärästi huomaamalla, että
2 - a - b = d on suora, joten etsitään vain d:lle suurin/pienin arvo, joka löytyy, kun suora on yksikköympyrän tangentti. Laskemattakin tästä huomaa, että suurin ja pienin arvo ovat symmetriset.

Uusimmat

Suosituimmat