Kuula pyörivällä tasolla

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Oletetaan vaakasuora taso, jolla vapaasti vierivä (ei liukuva) umpinainen homogeeninen pallo. Pallon kosketuspinta oletetaan pistemäiseksi eli taso ei mitenkään estä palloa pyörimästä pystysuoran akselinsa ympäri. Taso alkaa pyöriä kiihtyvyydellä 0,1 rad/s² ja pallon kosketuspiste on aluksi pallon säteen etäisyydellä tason pyörimiskeskiöstä. Pallon kosketuspiste piirtää tasolle sen vierintäreittiä kuvaavan käyrän. Millainen käyrä tasolle syntyy? Väitän, että koordinaatiston valinnalla ei ole vaikutusta käyrän muotoon joten sen voi valita vapaasti. Tapaukseen liittyvät hitaus-, keskipakois-, hyrrä- ja coriolisvoimat jotka kaikki ovat joidenkin mielestä näennäisvoimia eivätkä ole siis olemassa kun systeemiä tarkastellaan inertiaalikoordinaatistosta. Silloin kosketuspisteen tulisi olla paikallaan mutta esim. levylautasella kokeilemalla saadaan yllättävä tulos: Kuula lähteekin vierimään jonkinmoista spiraalirataa. Onkohan mahdollista ratkaista jotenkin laskemalla millaista rataa ?

Sivut

Kommentit (59)

Vierailija
korant
Onkohan mahdollista ratkaista jotenkin laskemalla millaista rataa ?

Ei ole, sillä vierimissuuntaa ja vauhtia ei ole kerrottu. Asia ei siis selviä kokeilemalla eikä laskemalla ilman riittäviä lähtötietoja.

Vierailija

Kappas vaan, läheltä liippaa. Tuo eroaa tästä omastani alustan pyörimisellä. Liitteessä kulmanopeus on vakio kun taas esittämässäni ongelmassa pyörivällä tasolla on tasaisesti kiihtyvä kulmanopeus. Matemaattista ratkaisua en edes yritä mutta ehkä jotain numeerista yritän kehitellä.

Vierailija

No ei onnistu edes tietyllä kitkakertoimella pyörivällä alustalla liukuvan napin liikeradan selvittäminen. Pah !

Vierailija

Kun pyörivän hyrrän akseliin vaikuttaa momentti, akseli kiertyy kohtisuoraan momenttia vastaan. Seurauksena prekessioliike. Mutta eikö se kuitenkin kierry myös momentin suuntaan kuten hyrrä vähitellen vajoaa painovoiman vaikutuksesta. Löytyykö jostain tarkempaa tietoa miten määräytyy momentin suuntainen kiertyminen? Prekession nopeudesta löytyy kaava mutta momentin suuntaisesta kiertymisestä en löydä mitään. kfa:n linkistä löytyy paljon kaikenlaista mutta siitä en saa mitään tolkkua.

Eusa
Seuraa 
Viestejä13402
Liittynyt16.2.2011
korant
Kun pyörivän hyrrän akseliin vaikuttaa momentti, akseli kiertyy kohtisuoraan momenttia vastaan. Seurauksena prekessioliike. Mutta eikö se kuitenkin kierry myös momentin suuntaan kuten hyrrä vähitellen vajoaa painovoiman vaikutuksesta. Löytyykö jostain tarkempaa tietoa miten määräytyy momentin suuntainen kiertyminen? Prekession nopeudesta löytyy kaava mutta momentin suuntaisesta kiertymisestä en löydä mitään. kfa:n linkistä löytyy paljon kaikenlaista mutta siitä en saa mitään tolkkua.

Tarkoitatko "suoraan" vai "kohtisuoraan" ? Onko voimavektori akselin keskilinjan kautta vai akselin ulkopinnan tangenttina? Yritän ymmärtää asetelmaasi...

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Vierailija

Jos hyrrän akseli on vaakasuorassa ja ripustettu toisesta päästään siten, että akseli pääsee kääntymään vapaasti kaikkiin suuntiin. Painovoima synnyttää momentin, mikä pyrkii kääntämään akselia alas mutta se lähteekin pyörimään vaakatasossa prekessioliikettä. Kysyn sitä, eikö se myös liiku alaspäin jonkin verran ja minkä verran.

jto
Seuraa 
Viestejä161
Liittynyt17.10.2009
korant
Jos hyrrän akseli on vaakasuorassa ja ripustettu toisesta päästään siten, että akseli pääsee kääntymään vapaasti kaikkiin suuntiin. Painovoima synnyttää momentin, mikä pyrkii kääntämään akselia alas mutta se lähteekin pyörimään vaakatasossa prekessioliikettä. Kysyn sitä, eikö se myös liiku alaspäin jonkin verran ja minkä verran.



Liikkuu alaspäin ja määrä riippuu siitä, mikä on hyrrän pyörimisnopeus.

Jos nyt tuota lähdet ratkaisemaan, niin ensimmäiseksi pitäisi kirjoittaa massa-alkion dm kiihtyvyyden lauseke. Sitten asetat massa-alkioon tuolle kiihtyvyydelle vastakkaiseen suuntaan osoittavan "hitausvoiman" dF=-dm*a. Integroit noiden "hitausvoimien" momentin hyrrän massakeskiön suhteen ja sitten kirjoitat momenttitasapainoehdon (vektoriyhtälönä). Momenttitasapainoehdo(i)sta sitten ratkeaa jotakin tai ei. Tuon pitäisi toimia, mutta takuuta et saa.

Toinen, huomattavasti helpompi tapa on se, että heität ne hitausvoimat sinne minne ne kuuluukin eli manalan syvimpään rotkoon, opettelet ratkaisemaan noita tehtäviä käyttämättä hitausvoimaa, ja seurauksena pystyt ratkaisemaan helposti tuon hyrräjutun sekä kuulan pyörivällä tasolla. Tämä tapa ei kuitenkaan taida tulla missään tapauksessa kysymykseen?

Vierailija
jto
Toinen, huomattavasti helpompi tapa on se, että heität ne hitausvoimat sinne minne ne kuuluukin eli manalan syvimpään rotkoon, opettelet ratkaisemaan noita tehtäviä käyttämättä hitausvoimaa, ja seurauksena pystyt ratkaisemaan helposti tuon hyrräjutun sekä kuulan pyörivällä tasolla. Tämä tapa ei kuitenkaan taida tulla missään tapauksessa kysymykseen?
Olen kyllä selkeästi ilmaissut, että tehtävät voidaan ratkaista ilman hitausvoimia mikä ei suinkaan todista etteikö niitä olisi. Kiihdyttävää voimaa kun ei voi olla olemassa ilman hitausvoimaa. Muistathan, että jokaisella voimalla on vastavoimansa.
Mutta jos nyt ystävällisesti antaisit vinkin, miten tämä hyrräprobleema ratkaistaan helposti ilman hitausvoimia. Massan hitautta tuskin suljet pois kuvioista. Se taas valitettavasti ilmenee ainoastaan kiihtyvyyttä vastustavana hitausvoimana.

jto
Seuraa 
Viestejä161
Liittynyt17.10.2009
korant
jto
Toinen, huomattavasti helpompi tapa on se, että heität ne hitausvoimat sinne minne ne kuuluukin eli manalan syvimpään rotkoon, opettelet ratkaisemaan noita tehtäviä käyttämättä hitausvoimaa, ja seurauksena pystyt ratkaisemaan helposti tuon hyrräjutun sekä kuulan pyörivällä tasolla. Tämä tapa ei kuitenkaan taida tulla missään tapauksessa kysymykseen?
Olen kyllä selkeästi ilmaissut, että tehtävät voidaan ratkaista ilman hitausvoimia mikä ei suinkaan todista etteikö niitä olisi. Kiihdyttävää voimaa kun ei voi olla olemassa ilman hitausvoimaa. Muistathan, että jokaisella voimalla on vastavoimansa.
Mutta jos nyt ystävällisesti antaisit vinkin, miten tämä hyrräprobleema ratkaistaan helposti ilman hitausvoimia. Massan hitautta tuskin suljet pois kuvioista. Se taas valitettavasti ilmenee ainoastaan kiihtyvyyttä vastustavana hitausvoimana.



Niin, ja sille hitausvoimalle ei löydy vastavoimaa. Mutta ei nyt mennä tähän, kun tästä me ei ikinä milloinkaan päästä yksimielisyyteen.

Newtonin mekaniikassa jäykkään kappaleeseen kohdistuvien ulkoisten voimien momentti massakeskiön (ja muistaakseni kappaleen kiinteän pisteen) suhteen on yhtäsuuri kuin liikemäärämomentin aikaderivaatta. Derivoimalla saadaan

M_G=I*alfa+omegax(I*omega)

missä M_G on ulkoisten voimien momentti (tässä massakeskiön suhteen), alfa kappaleen kulmakiihtyvyysvektori, omega kappaleen kulmanopeusvektori ja I hitaustensori (tässä massakeskiön suhteen). Vektori-tensori-yhtälönä tuo on koordinaatistosta riippumaton, eli se pätee missä koordinaatistossa tahansa. Kannattaa valita sellainen koordinaatisto, jossa hitaustensori on vakiotensori (eli rotaatiosymmetrisellä kappaleella yksi akseli symmetria-akselin suuntaiseksi, muut mahdollisimman mukavasti tehtävän mukaan).

Niin, ja myönnetään: olen nähnyt tuon kaavan johdettavan myös hitausvoimajakauman avulla.

Vierailija

Siihen aikaan kun itse opiskelin (60-luvulla) en ainakaan muista tensoreista mainitun mitään eli on minulle melkoisen hämärä käsite. Kuula tietty kieppuu pyörivällä alustalla siten, että pyörimisakseli kiertyy niin pysty kuin vaakatasossakin. Siksikö tuossa tarvitaan tensoria?

Jos mielestäsi ei hitausvoimaa ole olemassakaan niin miten selität seuraavan: Olet avaruuaseman ulkopuolella pitkän köyden päässä. Yrität vetää avaruusasemaa köydestä itseäsi kohti. Kun vedät köydestä, huomaat kyllä vartaloosi kohdistuvista jännityksistä itse kiihtyväsi kohti avruusasemaa eikä päin vastoin. Mutta jos selässäsi on reppu, jossa on avaruusasemaan nähden massaltaan noin 100-kertainen niin tiivis kappale, että mahtuu hyvin reppuun. Avaruudessahan ei sen painoa tunne. Kun nyt kiskot avaruusasemaa köydestä, huomaat että reppu on kuin naulittuna paikallaan ja repunhihnat kiristyvät ja pitävät sinut lähes paikallaan. Mikähän voima sitä reppua pitää lähes paikallaan?

jto
Seuraa 
Viestejä161
Liittynyt17.10.2009
korant
Siihen aikaan kun itse opiskelin (60-luvulla) en ainakaan muista tensoreista mainitun mitään eli on minulle melkoisen hämärä käsite. Kuula tietty kieppuu pyörivällä alustalla siten, että pyörimisakseli kiertyy niin pysty kuin vaakatasossakin. Siksikö tuossa tarvitaan tensoria?




Ei nyt mennä tuohon hitausvoimaan muiden foorumilla roikkuvien mielenrauhan takia. Siitä me ei ikuna päästä yksimielisyyteen.

Kuulalle hitaustensori I=J1, missä J on kuulan hitausmomentti minkä tahansa massakeskiön kautta kulkevan akselin suhteen (skalaari) ja 1 on yksikkötensori. Nyt:

omegax(I*omega)=J*omegax(1*omega)=J*omegaxomega=0

ja

I*alfa=J*(1*alfa)=J*alfa

Momenttiyhtälöstä jää jäljelle

M_G=J*alfa

joka pätee aina, kun kuulaan vaikuttavien ulkoisten voimien momentti lasketaan kuulan massakeskiön suhteen ja J on kuten edellä.

Hyrrän suhteen viittaan vain wikipediasta löytyviin Eulerin yhtälöihin http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics).

Vierailija

Onko todella niin, ettei tuo hyrräefekti vaikuta tässä mitään. Jos kuvitellaan pallo vierimään hihnalle, mikä etenee suurella nopeudella ja pallo pyörii mutama sata kierrosta sekunnissa. Sitten kallistetaan hihnaa hieman sivulle, niin syntyvä momentti aiheuttaa kylläkin juuri tuon prekession siihen suuntaan kuin pallon tulisi painovoimankin johdosta kääntyä. Lähteekö se siis samalla kiihtyvyydellä sivulle riippumatta hihnan nopeudesta?
Ilmeisesti noin sitten on. Kokeilin kahdella kuulalla kaltevalla tasolla. Toinen lähti vierimään vapaasti, toiselle annoin alkuvauhdin kohtisuoraan vierintäsuuntaa vastaan ja yhtä aikaa tulivat alareunaan. Ainakin likimäärin aika on sama. Kotikonstein ei kovin tarkasti saa tuota lähtöä täsmälliseksi. Alareunassa pallot tökkäävät listaan josta kuuluvan äänen perusteella voi samanaikaisuuden havaita melko tarkasti.
Yllättävää. Tämähän helpottaa ratkaisua huomattavasti.
Miksiköhän tuossa kfa:n linkissä on niin helvetin mutkikkaan näköisiä kaavoja?

jto
Seuraa 
Viestejä161
Liittynyt17.10.2009
korant
Onko todella niin, ettei tuo hyrräefekti vaikuta tässä mitään. Jos kuvitellaan pallo vierimään hihnalle, mikä etenee suurella nopeudella ja pallo pyörii mutama sata kierrosta sekunnissa. Sitten kallistetaan hihnaa hieman sivulle, niin syntyvä momentti aiheuttaa kylläkin juuri tuon prekession siihen suuntaan kuin pallon tulisi painovoimankin johdosta kääntyä. Lähteekö se siis samalla kiihtyvyydellä sivulle riippumatta hihnan nopeudesta?
Ilmeisesti noin sitten on. Kokeilin kahdella kuulalla kaltevalla tasolla. Toinen lähti vierimään vapaasti, toiselle annoin alkuvauhdin kohtisuoraan vierintäsuuntaa vastaan ja yhtä aikaa tulivat alareunaan. Ainakin likimäärin aika on sama. Kotikonstein ei kovin tarkasti saa tuota lähtöä täsmälliseksi. Alareunassa pallot tökkäävät listaan josta kuuluvan äänen perusteella voi samanaikaisuuden havaita melko tarkasti.
Yllättävää. Tämähän helpottaa ratkaisua huomattavasti.
Miksiköhän tuossa kfa:n linkissä on niin helvetin mutkikkaan näköisiä kaavoja?



Kuulalla ei ole hyrräefektiä, koska hitausmomentit kaikkien massakeskiön kautta kulkevien suorien suhteen on sama, luulisin. Hyrräefekti tulee niiden Eulerin yhtälöiden(I3-I2)*omega_2*omega_3 jne. termeistä.

kfa:n linkissä kuulan liiketilan ratkaisemiseen on esitetty 3 yhtälöä:
(2.1), F=ma
(2.3) M_G=J*alfa
(2.5) vierimisehto,
joista pitäisi eliminoida F ja alfa=domega/dt. Laskennan helpottamiseksi käytetään kompleksiesitystä, jolla ristitulot saadaan kertolaskuiksi. Kyllä sen pitäisi muutenkin mennä. Todennäköisesti tarvitaan vielä lisäehto, että kuula ei pyöri pystysuoran akselin ympäri (tai toisin sanottuna pyöriminen pystysuoran akselin ympäri ei vaikuta muuhun liikkeeseen, kun kosketus oletetaan pistemäiseksi).

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat