Aaltoyhtälöstä

Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Tuli ymmärrysongelmia. Aaltoyhtälö on muotoa Y(x,t) = A sin(kx - wt), jossa w=f*2*pii ja k = L / (2*pii). Eli x = paikka ja t = aika, A = amplitudi, f = taajuus, L = aallonpituus.

Ihmettelen tuossa lähinnä sitä että x ja t ovat toisistaan riippuvia suureita tuon aaltoyhtälön kannalta, eli jos kuvataan yhtä ja samaa aaltoa, niin ei niitä voida erottaa tosistaan eli todellisuudessa kahden muuttujan yhtälö onkin yhden muuttujan yhtälö, siis joko paikan tai ajan suhteen eikä molempien. Jos jompaa kumpaa, aikaa tai paikkaa muutetaan niin eihän kyse olekaan enää saman aallon funktiosta vaan jonkin toisen saman muotoisen aallon funktiosta.

Vaikka arvojoukko on periaatteessa vastaava, kun käsitellään riittävän suurta otosta ei se vielä ole sama funktio vaikka se samat arvojoukot (kokonaisjakson puitteissa) sisältäisikin.

Jotta tuo aaltoyhtälö olisi yksiselitteisesti sidottu (tiettyä aaltoa eikä vain sen muotoa kuvaava), tarvitaan lisäksi kulman arvo joka sitoo ajan ja paikan toisiinsa, mutta tällöin kyse onkin jo kolmen muuttujan (tai kahden muuttujan ja yhden vakion) yhtälöstä.

Törmäsin tuohon kvanttimekaniikan perusteita tarkastellessani. Tuosta lähtökohtaongelmasta saattaa seurata ns. ajan ja paikan määriitämisen problematiikka. Jatkan lukemista, tuo vain pisti silmään noin aluksi.

Edit: Korjattu w=f*2*pii*t muotoon w=f*2*pii

Sivut

Kommentit (82)

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Mitä tulee esim. potentiaalivallin ylittämiseen (sen läpi) niin sopii olettaa että itse potentiaalivallikin edustaa vain aaltoyhtälöä (värähtelijää) joka sopivalla hetekellä impulssin kohdatessaan välittää tuon impulssin toiselle puolelle potentiaalivallia vaikka pääsääntöisesti kyseisessä tilanteessa tapahtuisikin heijastus.

Vaikuttaa vähän siltä, että kvanttimekaniikan epädetermistisyys on vain sitkeä myytti, kun luonnon tuntemus tältä osin on puutteellista.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005

Kyllä tuossa x ja t ovat toisistaan riippumattomia muuttujia. Jos Y(x,t) kuvaa vaikkapa värähtelevää kitaran kieltä, niin sen avulla voi selvittää kielen kohtisuoran poikkeaman tasapainoasemasta kohdassa x hetkellä t (nämä arvot voi valita vapaasti ja riippumattomasti).

Ps. Hieman asian vierestä: tuo esittämäsi ei ole "aaltoyhtälö" vaan "aalto(funktio)". Aaltoyhtälö on tietynmuotoinen differentiaaliyhtälö, ja sen ratkaisua voidaan kutsua aalloksi (aaltofunktioksi). Lisäksi yhtälössäsi pitäisi olla w = 2*pii*f (siis ilman t:tä).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
hmk
Kyllä tuossa x ja t ovat toisistaan riippumattomia muuttujia. Jos Y(x,t) kuvaa vaikkapa värähtelevää kitaran kieltä, niin sen avulla voi selvittää kielen kohtisuoran poikkeaman tasapainoasemasta kohdassa x hetkellä t (nämä arvot voi valita vapaasti ja riippumattomasti).

Aallon lähtiessä liikkeelle hetkelltä t=0 paikasta x=0, nuo muuttujat riippuvat sen jälkeen 100%:sti toisistaan. Eli tietyllä hetkellä aaltoa edustava pulssi on tietyssä kohdassa esim. kitaran kilessä. Toki poikkeaman arvo kitaran kielessä paikassa x riippuu ajasta t, mutta siitähän ei ollutkaan kyse. Oli kyse aallosta, ei kitaran kielen poikkeamasta, kyse on käsittääkseni eri funktiosta. Pulssin etenemistä (eli varsinaista aaltoa) kuvaava funktio ei ole poikkeaman funktio.

hmk
Ps. Hieman asian vierestä: tuo esittämäsi ei ole "aaltoyhtälö" vaan "aalto(funktio)". Aaltoyhtälö on tietynmuotoinen differentiaaliyhtälö, ja sen ratkaisua voidaan kutsua aalloksi (aaltofunktioksi). Lisäksi yhtälössäsi pitäisi olla w = 2*pii*f (siis ilman t:tä).

Kiitos tarkennuksista - olisi pitänyt olla huolellisempi.

Vierailija

En ole aivan varma mitä ajat takaa mutta aallon harja etenee tietyllä nopeudella eli aaltofunktion arvo on muuttumaton kun x ja t muuttuvat siten, että kx-wt on vakio. Voit valita vapaasti paikan ja ajan ja funktio antaa oikean arvon. Onhan ne silloin riippumattomia muuttujia.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
David

Aallon lähtiessä liikkeelle hetkelltä t=0 paikasta x=0, nuo muuttujat riippuvat sen jälkeen 100%:sti toisistaan. Eli tietyllä hetkellä aaltoa edustava pulssi on tietyssä kohdassa esim. kitaran kilessä. Toki poikkeaman arvo kitaran kielessä paikassa x riippuu ajasta t, mutta siitähän ei ollutkaan kyse. Oli kyse aallosta, ei kitaran kielen poikkeamasta, kyse on käsittääkseni eri funktiosta. Pulssin etenemistä (eli varsinaista aaltoa) kuvaava funktio ei ole poikkeaman funktio.



Korant jo selvittikin asian. Kirjoittamasi aaltofunktio ei kuvaa pulssimuotoista aaltoa, vaan se esittää sinimuotoista harmonista aaltoa, joka jatkuu periaatteessa äärettömän pitkälle ja kestää äärettömän kauan. Aallolla/aaltofunktiolla ei tarkoiteta aallon tiettyä kohtaa (vaikkapa aallonharjaa) vaan aaltoa kokonaisuudessaan (esim. järven koko pintaa veden aaltoillessa). Aaltofunktiosta voidaan kyllä ratkaista vaikkapa yksittäisen aallonharjan etenemisnopeus kuten Korant esitti:

kx-wt = vakio <=>
x = (w/k)t + vakio <=>
v = dx/dt = w/k

Aaltofunktio voi kuvata monenlaisia aaltoja, kitaran kielen värähtely on vain yksi esimerkki. Myös vedenpinnan aallot ovat samaan tapaan "kohtisuora poikkeama tasapainoasemasta paikan ja ajan funktiona", mutta aalto voi esittää myös vaikkapa paineenvaihtelua (ääniaallot) tai sähkö- ja magneettikentän arvoa (valo yms.) paikan ja ajan funktiona.

[Y(x,t)] = metri (vedenpinnan tai kitarankielen muodostama aalto)
[p(x,t)] = pascal (ääniaalto)
[E(x,t)] = V/m (sähkökentän aalto)

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
hmk
kx-wt = vakio

Jos tuossa nyt muuttujia x ja t vaihdellaan vapaasti niin takuulla ei tule sama lopputulos. Jotta tulos saadaan samaksi pitää tuohon lisätä tai vähentää toisen muuttujan aiheuttaman "virheen" kompensoiva kulma-arvo.

Siis y = kx-wt - fii. Jossa nyt siis ei tehdä muuta kuin fiillä korjataan kx - wt komponentteihin sisältyvä erotus.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
David
hmk
kx-wt = vakio

Jos tuossa nyt muuttujia x ja t vaihdellaan vapaasti niin takuulla ei tule sama lopputulos.



Kuka sellaista on väittänytkään? Kuten sanottua, tuo yhtälö kuvaa tietyn aallonharjan liikettä, ja aallonharjan paikka tietenkin riippuu ajasta (= muuttujat eivät ole riippumattomia).

Aaltoa kuvaavassa funktiossa Y(x,t) sen sijaan muuttujat x ja t ovat riippumattomia. Voidaan esimerkiksi kysyä, mikä on aallon korkeus kohdassa x = 1 m ja t = 0 s. Tai x = 1 m ja t = 1 s. Tai x = 0 m ja t = 1 s. Nämä arvot voidaan valita mielivaltaisesti ja toisistaan riippumattomasti, ja vastauksen kysymykseen antaa aaltofunktion arvo ko. muuttujien arvoilla. Eli Y(1,0), Y(1,1) ja Y(0,1) em. järjestyksessä.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija

kx-wt edustaa tiettyä kulmaa. Jos se on vakio, on myös siitä otettu sini vakio. Ei siinä mitään korjauskulmia tarvita. Mutta jos tietyllä x ja t arvoilla halutaan tietty aaltofunktion arvo se voidaan säätää sopivalla korjauskulmalla, mikä on vakio. Vain x ja t ovat muuttujia.

heskam
Seuraa 
Viestejä935
Liittynyt16.11.2006

Tuo aaltofunktio on ikäänkuin aallon ajallispaikallinen topografikartta. Kielen tapauksessa se on kuvaus aika-paikka tasolta Y-akselille: kun seuraat paikka-akselin suuntaisia viivoja saat ikäänkuin pysäytyskuvan värähtelevästä kielestä. Aika-akselilla fiksaat katseesi johonkin kielen osaan ja näet, kuinka se värjyy...

amandrai
Seuraa 
Viestejä205
Liittynyt26.4.2010

Tuosta yhtälöstäsi näkee nopeasti että aallon maksimi on pisteessä jossa sinin argumentti on pii/2, eli siis kx-wt = pii/2 josta ratkomalla saadaan että maksimille x = pii/(2k)+w/k t. Voit siis ajatella että aallon maksimi lähtee pisteestä pii/(2k) liikkeelle liikkuen vakionopeudella w/k.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
hmk
Aaltoa kuvaavassa funktiossa Y(x,t) sen sijaan muuttujat x ja t ovat riippumattomia. Voidaan esimerkiksi kysyä, mikä on aallon korkeus kohdassa x = 1 m ja t = 0 s. Tai x = 1 m ja t = 1 s. Tai x = 0 m ja t = 1 s. Nämä arvot voidaan valita mielivaltaisesti ja toisistaan riippumattomasti, ja vastauksen kysymykseen antaa aaltofunktion arvo ko. muuttujien arvoilla. Eli Y(1,0), Y(1,1) ja Y(0,1) em. järjestyksessä.

Mutta jos käsitellään tilannetta aallon lähteestä niin x = f(t), joten funktion kuvittelisi olevan esim. muotoa Y(x,t) = kx(t) tai vaihtoehtoisesti Y(t,x) = wt(x) tmv, jolloin ajan ja paikan sidonnaisuus olisi toisesta muuttujasta riippuvainen. Yleinen muoto toki voi olla periaatteessa mielivaltainen esim sin tai cos -funktio, mutta tilannekohtainen tarkastelu edellyttää kai noiden sitomista toisiinsa.

Mutta täytyy nyt tarkastella asiaa hieman lähemmin, ilmeisesti tulkitsen tilannetta nyt jotenkin väärin.

Vierailija

Kuten heskam jo selitti, voidaan funktion kuvaaja ajatella xt-tasoon 3D-kuvauksena, jolloin aallot näkyvät kuin veden aaltoina, joiden harjanteet ovat vinottain koordinaatteihin nähden. Voit valita vapaasti minkä hyvänsä pisteen xt-tasosta ja siinä näkyy sitten y-suunnassa funktion arvo.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
korant
Kuten heskam jo selitti, voidaan funktion kuvaaja ajatella xt-tasoon 3D-kuvauksena, jolloin aallot näkyvät kuin veden aaltoina, joiden harjanteet ovat vinottain koordinaatteihin nähden. Voit valita vapaasti minkä hyvänsä pisteen xt-tasosta ja siinä näkyy sitten y-suunnassa funktion arvo.

Toki, mutta jos jompi kumpi "muuttujista" x tai t valitaan kiinteäksi, niin onko kyse varsinaisesti enää muutujasta. Kysehän on kiinnitetystä arvosta, joka on luonteeltaan vakio. (Tekniikka jota käytetään mm. osittaisdifferentiaalien käsitelyssä).

Esim. voidaan tarkastella y-arvoa piteessä x ajan suhteen. Tällöinhän aika on muuttuja, mutta x on itse asiassa vakio (vaikkakin argumentti). Etenemisen tarkastelussa taas x ja t ovat toisiinsa sidottuja arvoja.

Toivottavasti nyt sain ilmaistua ymmärrettävästi sen mitä tuolla spekulaatiolla tarkoitin.

Vierailija
David
Toivottavasti nyt sain ilmaistua ymmärrettävästi sen mitä tuolla spekulaatiolla tarkoitin.
No et saanut. Tottakai muuttujan voi laittaa vakioksi mutta voit tuota vakiota muutella mielin määrin ajasta riippumatta. Kyllä x ja t tuossa aaltofunktiossa ovat kumpikin riippumattomia muuttujia vaikka ne vaikuttavatkin funktion arvoon ikään kuin peilikuvina. Mutta kummallakin muuttujalla on täysin eri alue temmellettävänä.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
korant
David
Toivottavasti nyt sain ilmaistua ymmärrettävästi sen mitä tuolla spekulaatiolla tarkoitin.
No et saanut. Tottakai muuttujan voi laittaa vakioksi mutta voit tuota vakiota muutella mielin määrin ajasta riippumatta. Kyllä x ja t tuossa aaltofunktiossa ovat kumpikin riippumattomia muuttujia vaikka ne vaikuttavatkin funktion arvoon ikään kuin peilikuvina. Mutta kummallakin muuttujalla on täysin eri alue temmellettävänä.

Voin toki vapaasti muutella niitä, mutta silloin hypin eri aaltoa (vaikkakin samanmuotoisen ja saman amplitudin omaavaa aaltoliiikettä) kuvaaviin funktioihin, en enää juuri tietyn tapauksen kuvaamiseen.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat