Seuraa 
Viestejä45973

jos x,y ovat reaalilukuja ja epsilon>0 mielivaltainen ja tiedetään, että abs(x-y)

  • ylös 0
  • alas 0

Sivut

Kommentit (58)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Hospitaali
Seuraa 
Viestejä76

Kaksi vaihtoehtoa: joko x-y on 0 tai ei ole 0. Jälkimmäisestä tapauksesta seuraa se, että abs(x-y) on positiivinen reaaliluku. Merkitään sitä A:lla. Tällöin valitsemalla vaikkapa epsilon=A/2 (se on laillinen valinta, koska epäyhtälön piti päteä kaikkilla positiivisilla reaaliluvuilla) johtaa tilanteeseen A=abs(x-y)

visti
Seuraa 
Viestejä6331

Asian ymmärtäminen on lähtökohtana korkeamman matematiikan tajuamiseen.
Kannattaa miettiä esimerkiksi tätä aluksi. Luku x on joku kiinteä reaaliluku.
n on posit. kokonaisluku. Tiedetään, että x< 1/n kaikille n:n arvoille. Mikä x on?
Vastaus emme voi sanoa. Esim. -30 kelpaa.
Jos sitten sanotaan, että x ei saa olla negatiivinen, tilanne muuttuu. "aloitteleva" matemaatikko sanoo, että x on joku oikein pieni luku, tai äärettömän pieni luku.
Nyt pitäisi tajuta, että x on kiinteä luku. Se ei ole milloin mitäkin, koska n:ää kasvattamalla sen pitää olla mitä tahansa positiivista rajaa pienempi. Ainoa tällainen kiinteä luku on 0.
Tätä kannattaa funtsia, kunnes se tuntuu itsestäänselvältä. Sitten voi ajatella 1/n:n paikalle sen epsilonin.

Etsi kaksi eri suurta lukua x, y, joiden abs(x,y) < epsilon.
Esimerkiksi x = 1/4 * epsilon ja y = ½ * epsilon.

kurremus
Seuraa 
Viestejä383

koska Epsilon on vain juuri ja juuri suurempi kuin nolla,
ainoa ei-negatiivinen luku joka on pienempi kuin Epsilon, on 0.
Siis abs(x -y) = 0. Yhtälö toteutuu vain jos x=y.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983

[quote author="TempleT"]miten tarkalleen osoittaa, että abs(x-y)
Ehh... Jos epsion =abs(x-y), niin abs(x-y)
abs(x-y) < abs(x-y) ei pidä paikkaansa.

Muuten: tuo edeltävä kurremuksen "todistus" ei itse asiassa ole todistus, siinä vain väite toistetaan eri sanoin.

Opettaja
[quote author="TempleT"]miten tarkalleen osoittaa, että abs(x-y)
Ehh... Jos epsion =abs(x-y), niin abs(x-y)
abs(x-y) < abs(x-y) ei pidä paikkaansa.

Muuten: tuo edeltävä kurremuksen "todistus" ei itse asiassa ole todistus, siinä vain väite toistetaan eri sanoin.




Usein kai reaalilukujen aksiomatisoinneissa trikotomian laki on yksi aksioomista:

Kahdelle realliluvulle x ja y pätee täsmälleen yksi vaihtoehdoista x < y, x = y tai y < x

Koska epsilon = abs(x - y) ei voi olla epsilon < abs(x - y).

En kyllä tiedä onko järkeä vastata tällaisiin kysymyksiin ellei käytetty aksioomajärjestelmä ole tiedossa...

Tekisin todistuksen tähän tapaan vastaoletuksella:

Oletetaan että x ei y ja abs(x-y)0.

Nyt, koska x ei y, on abs(x-y)=a, missä a jokin reaaliluku. Koska a posit. Voidaan valita epsilon=a/2, jollon abs(x-y)

pöhl
Seuraa 
Viestejä990

Mandod: Todistuksesi on virheellinen. Epsilonin tulee olla mielivaltainen luku, ei kiinteä a/2. Minä tekisin muuttujanvaihdon z=x-y, jolloin todistuksessa ei tarvitse pyörittää kuin yhtä muuttujaa.

PPo
Seuraa 
Viestejä15421
Puuhikki
Mandod: Todistuksesi on virheellinen. Epsilonin tulee olla mielivaltainen luku, ei kiinteä a/2. Minä tekisin muuttujanvaihdon z=x-y, jolloin todistuksessa ei tarvitse pyörittää kuin yhtä muuttujaa.

Todistus on ihan pätevä. Jos epäyhtälö pätee kaikilla epsilon>0, niin päteehän se myös arvolla a/2, joka on positiivinen.

Miksi selvä toteamus pitäisi todistaa. Jos a > b on selvää, että b < a.
Jos e > 0 niin 0 < e, jos abs(x-y) < e niin abs(x-y) = 0 eli x = y kun e mikä tahansa reaaliluku > 0

Puuhikki
Mandod: Todistuksesi on virheellinen. Epsilonin tulee olla mielivaltainen luku, ei kiinteä a/2. Minä tekisin muuttujanvaihdon z=x-y, jolloin todistuksessa ei tarvitse pyörittää kuin yhtä muuttujaa.



Todistus on tosiaan pätevä. Epsilon voi hyvinkin olla kiinnitetty sillä oletushan sanoo "kaikilla epsilon>0...". Todistus siis osoittaa, että mille tahansa luvuille x ja y löytyy ainakin tuo kyseinen epsilon. Äärettömästi epsiloneja saa helposti: a/n, missä n>1.

Viestiketjun aloittaja kirjoitti "mielivaltainen epsilon>0..." joka kuitenkin tarkoittaa samaa kuin "kaikilla epsilon>0..."

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637

Koko tässä tehtävässä ei minun mielestäni ole mieltä. Tuota epsilon-tekniikkaahan käytetään esim.silloin,kun todistetaan funktion jatkuvuutta tai lasketaan funktion raja-arvoa,tällöin se on siinä epsilon,delta - muodossa. Tai sitten se vanha kunnon epsilon, n(epsilon) juttu: jos joku on pienempi kuin epsilon niinpian kuin joku toinen asia on suurempi kuin n(epsilon) j.n.e.

Mutta tässä on annettu luvut x ja y ja pitäisi todistaa jotain. Mitä? Jos x ja y tunnetaan, tiedetään kai ilman epsilonejakin, onko abs(x-y) nolla vai suurempi kuin nolla.

Jos taas x ja y ovat jotain muuttuvia suureita,funktioita, tarvitaan tuota delta-epsilon-juttua kokonaisuudessaan.

Reaaliluvut muodostavat täydellisen järjestetyn kunnan.Jokaisen kahden luvun x ja y välistä löytyy aina lukuja, jopa rationaalilukuja. Siis jos abs(x-y) > 0 niin on aina olemassa reaaliluku p, jopa rationaaliluku, jolle pätee, että 0


Mutta en kyllä oikein näe,mihin tässä epsilon-järkeilyä tarvitaan. Onkohan alkuperäinen kysyjä jotenkin sekoittanut tuon normaalin epsilon,delta - käytännön tähän kysymykseen tuollaiseksi epsilon-järkeilyksi,jolle ei mielestäni tässä ole käyttöä?

Ohman

Vierailija

Mitäs täällä oikein todistellaan? Eihän tämä aloittajan väite pidä alkuunkaan paikkaansa:
[quote author="TempleT"]jos x,y ovat reaalilukuja ja epsilon>0 mielivaltainen ja tiedetään, että abs(x-y)
Vastaesimerkki: x = 0, y = 1 ja ε = 2. Tällöin abs(x-y) < ε, mutta x = y ei silti päde.

Väitteen pitäisi kai olla

"Jos abs(x-y) < ε kaikilla ε > 0, niin x = y."

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
abskissa
Mitäs täällä oikein todistellaan? Eihän tämä aloittajan väite pidä alkuunkaan paikkaansa:
TempleT
jos x,y ovat reaalilukuja ja epsilon>0 mielivaltainen ja tiedetään, että abs(x-y)
Vastaesimerkki: x = 0, y = 1 ja ε = 2. Tällöin abs(x-y) < ε, mutta x = y ei silti päde.

Väitteen pitäisi kai olla

"Jos abs(x-y) < ε kaikilla ε > 0, niin x = y."

[quote author=""]



Mutta annapa nyt esimerkki eli anna sellaiset luvut x ja y että tuota epsilon-tekniikkaa pitäisi käyttää?

Ohman

mandod
Mutta en kyllä oikein näe,mihin tässä epsilon-järkeilyä tarvitaan. Onkohan alkuperäinen kysyjä jotenkin sekoittanut tuon normaalin epsilon,delta - käytännön tähän kysymykseen tuollaiseksi epsilon-järkeilyksi,jolle ei mielestäni tässä ole käyttöä?



Itselläni tuli todistusta tehdessä sama mieleen. Ajattelin kuitenkin, että tässä tehtävässä saattaa olla pointtina epsilon-delta ajattelun pohjustus, "mielivaltaisen pieneen" tutstuminen tms. Mielestäni juuri itsestäänselvyytensä vuoksi mukava tehtävä. Tällaisten todistaminen usein yllättävän vaikeaa.

pöhl
Seuraa 
Viestejä990
mandod
Puuhikki
Mandod: Todistuksesi on virheellinen. Epsilonin tulee olla mielivaltainen luku, ei kiinteä a/2. Minä tekisin muuttujanvaihdon z=x-y, jolloin todistuksessa ei tarvitse pyörittää kuin yhtä muuttujaa.



Todistus on tosiaan pätevä. Epsilon voi hyvinkin olla kiinnitetty sillä oletushan sanoo "kaikilla epsilon>0...". Todistus siis osoittaa, että mille tahansa luvuille x ja y löytyy ainakin tuo kyseinen epsilon. Äärettömästi epsiloneja saa helposti: a/n, missä n>1.

Viestiketjun aloittaja kirjoitti "mielivaltainen epsilon>0..." joka kuitenkin tarkoittaa samaa kuin "kaikilla epsilon>0..."


Ei kun se ei ole pätevä.
"Oletetaan että x ei y ja abs(x-y)0."

Tässä vaiheessa epsilon on jo kiinteä, joten se ei voi muuttua todistuksen aikana. Kuitenkin yrität sijoittaa siihen arvo a/2, joka ei ole välttämättä yhtäsuuri kuin epsilon. Tätä ei saa tehdä matikassa, eli kertaalleen määriteltyä muuttujaa määriteltäisiin uudelleen.

PPo
Seuraa 
Viestejä15421
Puuhikki
mandod

Todistus on tosiaan pätevä. Epsilon voi hyvinkin olla kiinnitetty sillä oletushan sanoo "kaikilla epsilon>0...". Todistus siis osoittaa, että mille tahansa luvuille x ja y löytyy ainakin tuo kyseinen epsilon. Äärettömästi epsiloneja saa helposti: a/n, missä n>1.

Viestiketjun aloittaja kirjoitti "mielivaltainen epsilon>0..." joka kuitenkin tarkoittaa samaa kuin "kaikilla epsilon>0..."


Ei kun se ei ole pätevä.
"Oletetaan että x ei y ja abs(x-y)0."

Tässä vaiheessa epsilon on jo kiinteä, joten se ei voi muuttua todistuksen aikana. Kuitenkin yrität sijoittaa siihen arvo a/2, joka ei ole välttämättä yhtäsuuri kuin epsilon. Tätä ei saa tehdä matikassa, eli kertaalleen määriteltyä muuttujaa määriteltäisiin uudelleen.


Akseli Koskelaa lainaten "Kerran vielä, pojaat"
Merkitään t=abs(x-y)>=0. Väite : to ---> t=0.
Vasta- oletus: t>0 ( t on kiinnitetty)
Koska t0 , pitää väite paikkansa myös silloi kun e=t/2>0.
Päädytään ristiriitaan joten väite on tosi, joten mandodin todistus on edelleen pätevä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat