Matematiikan tehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

jos x,y ovat reaalilukuja ja epsilon>0 mielivaltainen ja tiedetään, että abs(x-y)

Sivut

Kommentit (58)

Hospitaali
Seuraa 
Viestejä76
Liittynyt1.10.2006

Kaksi vaihtoehtoa: joko x-y on 0 tai ei ole 0. Jälkimmäisestä tapauksesta seuraa se, että abs(x-y) on positiivinen reaaliluku. Merkitään sitä A:lla. Tällöin valitsemalla vaikkapa epsilon=A/2 (se on laillinen valinta, koska epäyhtälön piti päteä kaikkilla positiivisilla reaaliluvuilla) johtaa tilanteeseen A=abs(x-y)

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009

Asian ymmärtäminen on lähtökohtana korkeamman matematiikan tajuamiseen.
Kannattaa miettiä esimerkiksi tätä aluksi. Luku x on joku kiinteä reaaliluku.
n on posit. kokonaisluku. Tiedetään, että x< 1/n kaikille n:n arvoille. Mikä x on?
Vastaus emme voi sanoa. Esim. -30 kelpaa.
Jos sitten sanotaan, että x ei saa olla negatiivinen, tilanne muuttuu. "aloitteleva" matemaatikko sanoo, että x on joku oikein pieni luku, tai äärettömän pieni luku.
Nyt pitäisi tajuta, että x on kiinteä luku. Se ei ole milloin mitäkin, koska n:ää kasvattamalla sen pitää olla mitä tahansa positiivista rajaa pienempi. Ainoa tällainen kiinteä luku on 0.
Tätä kannattaa funtsia, kunnes se tuntuu itsestäänselvältä. Sitten voi ajatella 1/n:n paikalle sen epsilonin.

kurremus
Seuraa 
Viestejä383
Liittynyt28.8.2011

koska Epsilon on vain juuri ja juuri suurempi kuin nolla,
ainoa ei-negatiivinen luku joka on pienempi kuin Epsilon, on 0.
Siis abs(x -y) = 0. Yhtälö toteutuu vain jos x=y.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

[quote author="TempleT"]miten tarkalleen osoittaa, että abs(x-y)
Ehh... Jos epsion =abs(x-y), niin abs(x-y)
abs(x-y) < abs(x-y) ei pidä paikkaansa.

Muuten: tuo edeltävä kurremuksen "todistus" ei itse asiassa ole todistus, siinä vain väite toistetaan eri sanoin.

Vierailija
Opettaja
[quote author="TempleT"]miten tarkalleen osoittaa, että abs(x-y)
Ehh... Jos epsion =abs(x-y), niin abs(x-y)
abs(x-y) < abs(x-y) ei pidä paikkaansa.

Muuten: tuo edeltävä kurremuksen "todistus" ei itse asiassa ole todistus, siinä vain väite toistetaan eri sanoin.




Usein kai reaalilukujen aksiomatisoinneissa trikotomian laki on yksi aksioomista:

Kahdelle realliluvulle x ja y pätee täsmälleen yksi vaihtoehdoista x < y, x = y tai y < x

Koska epsilon = abs(x - y) ei voi olla epsilon < abs(x - y).

En kyllä tiedä onko järkeä vastata tällaisiin kysymyksiin ellei käytetty aksioomajärjestelmä ole tiedossa...

Vierailija

Tekisin todistuksen tähän tapaan vastaoletuksella:

Oletetaan että x ei y ja abs(x-y)0.

Nyt, koska x ei y, on abs(x-y)=a, missä a jokin reaaliluku. Koska a posit. Voidaan valita epsilon=a/2, jollon abs(x-y)

pöhl
Seuraa 
Viestejä876
Liittynyt19.3.2005

Mandod: Todistuksesi on virheellinen. Epsilonin tulee olla mielivaltainen luku, ei kiinteä a/2. Minä tekisin muuttujanvaihdon z=x-y, jolloin todistuksessa ei tarvitse pyörittää kuin yhtä muuttujaa.

PPo
Seuraa 
Viestejä11614
Liittynyt10.12.2008
Puuhikki
Mandod: Todistuksesi on virheellinen. Epsilonin tulee olla mielivaltainen luku, ei kiinteä a/2. Minä tekisin muuttujanvaihdon z=x-y, jolloin todistuksessa ei tarvitse pyörittää kuin yhtä muuttujaa.

Todistus on ihan pätevä. Jos epäyhtälö pätee kaikilla epsilon>0, niin päteehän se myös arvolla a/2, joka on positiivinen.

Vierailija

Miksi selvä toteamus pitäisi todistaa. Jos a > b on selvää, että b < a.
Jos e > 0 niin 0 < e, jos abs(x-y) < e niin abs(x-y) = 0 eli x = y kun e mikä tahansa reaaliluku > 0

Vierailija
Puuhikki
Mandod: Todistuksesi on virheellinen. Epsilonin tulee olla mielivaltainen luku, ei kiinteä a/2. Minä tekisin muuttujanvaihdon z=x-y, jolloin todistuksessa ei tarvitse pyörittää kuin yhtä muuttujaa.



Todistus on tosiaan pätevä. Epsilon voi hyvinkin olla kiinnitetty sillä oletushan sanoo "kaikilla epsilon>0...". Todistus siis osoittaa, että mille tahansa luvuille x ja y löytyy ainakin tuo kyseinen epsilon. Äärettömästi epsiloneja saa helposti: a/n, missä n>1.

Viestiketjun aloittaja kirjoitti "mielivaltainen epsilon>0..." joka kuitenkin tarkoittaa samaa kuin "kaikilla epsilon>0..."

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Koko tässä tehtävässä ei minun mielestäni ole mieltä. Tuota epsilon-tekniikkaahan käytetään esim.silloin,kun todistetaan funktion jatkuvuutta tai lasketaan funktion raja-arvoa,tällöin se on siinä epsilon,delta - muodossa. Tai sitten se vanha kunnon epsilon, n(epsilon) juttu: jos joku on pienempi kuin epsilon niinpian kuin joku toinen asia on suurempi kuin n(epsilon) j.n.e.

Mutta tässä on annettu luvut x ja y ja pitäisi todistaa jotain. Mitä? Jos x ja y tunnetaan, tiedetään kai ilman epsilonejakin, onko abs(x-y) nolla vai suurempi kuin nolla.

Jos taas x ja y ovat jotain muuttuvia suureita,funktioita, tarvitaan tuota delta-epsilon-juttua kokonaisuudessaan.

Reaaliluvut muodostavat täydellisen järjestetyn kunnan.Jokaisen kahden luvun x ja y välistä löytyy aina lukuja, jopa rationaalilukuja. Siis jos abs(x-y) > 0 niin on aina olemassa reaaliluku p, jopa rationaaliluku, jolle pätee, että 0


Mutta en kyllä oikein näe,mihin tässä epsilon-järkeilyä tarvitaan. Onkohan alkuperäinen kysyjä jotenkin sekoittanut tuon normaalin epsilon,delta - käytännön tähän kysymykseen tuollaiseksi epsilon-järkeilyksi,jolle ei mielestäni tässä ole käyttöä?

Ohman

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat