Pitkän matematiikan 1982 YO-kokeen tehtävästä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Elikkäs pitkän matematiikan syksyn 1982 YO-kokeen tehtävä 9 b:hen haluaisin kuulla ratkaisu menetelmän. Tehtävä:

Määritä lausekkeen sin(2x + π/6 ) tarkka arvo, kun tan x = 2.

Sain tehtävän perjaatteessa ratkaistua. Vastaus on funktion, a=sin(2x + π/6 ), f(x)=3a-4a^3+117/125, yksi nollakohta yksi, mutta veikkaan että tehtävään on helpompikin ratkaisu.

Kommentit (8)

Vierailija

Veikkaan että tuo sinilauseke pitää avata sinin summakaavalla ja sitten muuntaa tangentti siniksi (ja kosiniksi) MAOL:istakin löytyvällä tangenttikaavalla. En ole tosin vielä kokeillut.

jjw
Seuraa 
Viestejä523
Liittynyt20.9.2010
sakvaka
Veikkaan että tuo sinilauseke pitää avata sinin summakaavalla ja sitten muuntaa tangentti siniksi (ja kosiniksi) MAOL:istakin löytyvällä tangenttikaavalla. En ole tosin vielä kokeillut.



sin(x) ja cos(x) saadaan pythagoralla: tan(x)=2 -> sin(x)=2/sqrt(5) ja cos(x)= 1/sqrt(5)
sinin summakaavalla saadaan sin(2x) = sin(x+x) = .....
ja edelleen alkuperäinen lauseke sinin summakaavalla.
pi/6 = 30 astetta, jonka sini ja cosini tunnetaan.
Sain vastaukseksi (4sqrt(3)-3)/10

PPo
Seuraa 
Viestejä11619
Liittynyt10.12.2008
jjw
sakvaka
Veikkaan että tuo sinilauseke pitää avata sinin summakaavalla ja sitten muuntaa tangentti siniksi (ja kosiniksi) MAOL:istakin löytyvällä tangenttikaavalla. En ole tosin vielä kokeillut.



sin(x) ja cos(x) saadaan pythagoralla: tan(x)=2 -> sin(x)=2/sqrt(5) ja cos(x)= 1/sqrt(5)
sinin summakaavalla saadaan sin(2x) = sin(x+x) = .....
ja edelleen alkuperäinen lauseke sinin summakaavalla.
pi/6 = 30 astetta, jonka sini ja cosini tunnetaan.
Sain vastaukseksi (4sqrt(3)-3)/10

Jos oikein tarkkoja ollaan, niin sin(x)= +-2/sqrt(5) ja cos(x)= +-1/sqrt(5).
Kysytyn lausekkeen arvoa laskettaessa joudutaan laskemaan sinin ja kosinin tulo, mikä pysyy samana, joten vastaus toki on oikein.

Vierailija

Kiitos paljon! Oon jotenkin ton summakaavan jättänyt kokonaan huomiotta. Onneksi tuli tuollainen käytännön esimerkki niin muistaapahan sitten jatkossa ainakin. Lähdin yhtälöä ratkaisemaan vähän kiertäen: sin(2x+π/6)=sin(y), joten sin(6x+π/2)=sin(3y)=-cos(6x), ja sitten kaksinkertaisten ja kolminkertaisten kulmien avulla ratkaisin -cos(6x)=-117/125. Tästä saatiin että sin(3y)=3sin(y)-4sin(y)^3=-117/125.

Vierailija

Tangetin kuvaaja on käyrien joukko, joista yksi
kulkee origon kautta ja lähestyy ääretöntä,
kun argumentti x lähestyy pii/2:sta. Tanx
saa arvon 2 tällä käyrän pätkällä ja uudestaan
aina x= n*pii:n välein.

Vierailija

Ei tuossa ole pakko käyttää trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja. Ratkaiset vain x:n tangenttiyhtälöstä ja sijoitat sen arvon sinilausekkeeseen. x:lle tulee joku jaksollinen arvo, mutta nopeasti vilkaistuna näyttää siltä, että sinilauseke antaa silti vain yhden tai korkeintaan kourallisen erilaisia vastauksia.

PPo
Seuraa 
Viestejä11619
Liittynyt10.12.2008
EeTee
Ei tuossa ole pakko käyttää trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja. Ratkaiset vain x:n tangenttiyhtälöstä ja sijoitat sen arvon sinilausekkeeseen. x:lle tulee joku jaksollinen arvo, mutta nopeasti vilkaistuna näyttää siltä, että sinilauseke antaa silti vain yhden tai korkeintaan kourallisen erilaisia vastauksia.

Tangenttiyhtälöstä saadaan x:lle ainoastaan liki-arvo, joten kysytylle sinilausekkeellekin saadaan liki-arvo. Veikkaan, että YTL:n sensorit ei moisesta suorituksesta pisteitä jakele.
Sinilausekkeelle tulee täsmälleen yksi arvo, kuten aiemmista viesteistä hyvin käy ilmi.

Vierailija
PPo
Tangenttiyhtälöstä saadaan x:lle ainoastaan liki-arvo, joten kysytylle sinilausekkeellekin saadaan liki-arvo. Veikkaan, että YTL:n sensorit ei moisesta suorituksesta pisteitä jakele.
Sinilausekkeelle tulee täsmälleen yksi arvo, kuten aiemmista viesteistä hyvin käy ilmi.



Ah, MAOL:ista ei löydy tarkkaa arvoa arctan 2:lle... Ei toki ihmekään kun vastaus on noinkin monimutkainen. No sitten menee kaavanpyörittelyksi. Mutta noin voi ainakin tarkastaa tuloksen.

Uusimmat

Suosituimmat