Miksi Jordanin käyrälause on vaikea?

Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Mikä on asiasta mitään ymmärtävien plus Davidin mielipide, miksi Jordanin käyrälause ei ole trivaali tulos?

"Jordanin käyrälauseen mukaan jokainen
Jordanin käyrä (itseään leikkaamaton suljettu käyrä), esim. ympyrä, jakaa tason täsmälleen kahteen osaan, käyrän rajaamaan rajoitettuun sisäosaan ja ulkopuollelle jäävään rajoittamattomaan osuuteen."
http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_curve_theorem

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Sivut

Kommentit (56)

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Täyty ottaa asiasta selvää ku alko kiinnostaan.

Annetaan Jordanin lauseesta ensin toinen aivan vastaava versio:

"itseään leikkaamaton (yksinkertainen) suljettu käyrä jakaa tason täsmälleen kahteen osaan: käyrän sisälleen rajaamaan sisäpisteiden joukkoon ja käyrän ulkopuollelle jäävään ulkopisteiden joukkoon."

Todistuksessa tulee ensin määritellä käsitteet sisäpiste ja ulkopiste. Yksinkertaisuuden vuoksi otetaan vain monikulmioita, esim. neliö, viisikulmio tai yleisemmin mikä tahansa yksinkertainen suljettu murtoviiva.

Valitaan jokin suunta tasossa ja piirretään puolisuora lähtien pisteestä p, jolloin puolisuora voi leikata yksinkertaisen suljetun käyrän P. Kyseinen puolisuora leikkaa käyrän P parillisen monta kertaa, jos p on ulkopiste, ja parittoman monta kertaa, jos p on sisäpiste. p ei saa olla käyrällä P, eikä puolisuora minkään käyrän P sivun suuntainen.

Edeltävä määritelmä on selkeä, sillä piste p voidaan yhdistää johonkin toiseen pisteeseen, joka on kaukana käyrästä P ja näin taatusti ulkopiste, jolloin sääntö voidaan päätellä. Sisäpisteiden joukkoa vastaa B ja ulkopisteiden joukkoa A.

Nyt kun alkuperäinen kysymys on kristallin kirkas, niin itse todistus vaatii seuraavat osat:
1. Valitaan puolisuoraa vastaava suunta tasosta.
2. Osoitetaan, että jos joukkoon A kuuluva piste yhdistetään murtoviivalla joukon B pisteeseen, niin murtoviivan tulee leikata käyrä P.
3. Osoitetaan, että joukkoon A (tai vastaavasti B) kuuluvat kaksi pistettä voidaan yhdistää murtoviivalla, joka ei leikkaa käyrää P.

Edeltävän osoittaminen menee jo käsiäheiluttamalla, mutta yleisempien käyrien tapauksessa koko lähestymistapa kosahtaa, kun käyrän reunan käsite ei olekaan enää yksinkertainen. Esimerkiksi fraktaalin tapauksessa ei mitään puolisuoria voida piirtää ja havaita äärellistä määrää leikkauspisteitä, jolloin on epäselvää onko jokin piste sisä- vaiko ulkopuolella, mutta Jordanin lauseen tulee intuitiivisesti pitää kuitenkin paikkansa. Silloin tulee ottaa itseään nenästä kiinni ja hypätä topologian paskaaltaaseen...

Koko ongelma siis liittyy sisä- ja ulkopuolen problematiikkaan patologisten käyrien tapauksessa. Yleensä ollaa kiinnostuneita vain jatkuvuudesta, jolloin todistus vaikkapa funktioiden väliarvolauseeseen on helppo.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Mutta puolisuora voi leikata topologin sinin tapaisen käyrän äärettömän monta kertaa, joten sisäpisteen määritelmä ei ole pätevä. Kannattaa pysyä ihan vaan perinteisessä topologian oppikirjojen määritelmissä, niin ei tule ongelmia.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
Puuhikki
Mutta puolisuora voi leikata topologin sinin tapaisen käyrän äärettömän monta kertaa, joten sisäpisteen määritelmä ei ole pätevä. Kannattaa pysyä ihan vaan perinteisessä topologian oppikirjojen määritelmissä, niin ei tule ongelmia.

No ainakaan mun oppikirjoissa topologin sinikäyrä ei ole Jordanin käyrä...

EDIT: Tietenkään en ny omasta päästä ala lateleen määritelmiä uusiks, vaikka jotkut sitä näissä tiede.fi-keskusteluissa harrastaakin. Tuo sisä- ja ulkopisteiden määritelmä taitaa olla ihan Camille Jordanin käsialaa kun hän alko pohtiin tätä ongelmaa.

Lähde todistukseen
The Jordan Curve Theorem for Polygons

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Cargo

No ainakaan mun oppikirjoissa topologin sinikäyrä ei ole Jordanin käyrä...

Tarkoitin vain sen tapaista kuviota, jossa reuna on niin monimutkainen, että puolisuora leikkaa sen äärettömän monta kertaa. Koska ääretön ei ole parillinen eikä pariton, niin ei voitaisiin puhua sisä- tai ulkopisteistä.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Fraktaali on just sellainen kuvio ja leikkauspisteiden määrä kasvaa jokaisella iteraatiolla.

Kun reunasta ei voida sanoa juuta eikä jaata (muuta kuin jatkuvuus), niin yleisen tapauksen todistuksessa tarkastellaan polkuyhtenäisten joukkojen suhteita sekä niiden homeomorfismeja.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

jepajee
Seuraa 
Viestejä22001
Liittynyt29.12.2009

En ymmärrä asiasta mitään, mutta mutta.

Jos kuvio F on jana, sen pienennöksiä mahtuu suoralle 1 / γ kappaletta. Jana voidaan siis jakaa vaikkapa neljään osaan, jolloin n = 4 ja γ = 1 / 4, jolloin fraktaalidimensioksi D saadaan yksi, kuten tietysti pitääkin. Neliön taas voi jakaa vaikkapa yhdeksään pienempään neliöön mittakaavassa 1 / 3, jolloin vastaavasti D = 2. (Tällainen itsesimilaarinen jako ei päde esimerkiksi ympyrälle, sillä silmukatonta sulkeutuvaa käyrää ei voi jakaa samankaltaisiin pienempiin osiin.)

ts. Jordanin käyrä ei ole murtojoukko.

http://en.wikipedia.org/wiki/Polytope

..."p ei saa olla käyrällä P, eikä puolisuora minkään käyrän P sivun suuntainen."

jepajee
Seuraa 
Viestejä22001
Liittynyt29.12.2009

Eikös noiden kulmien summa ole ja pysy 180 asteessa? (Eiku nollahan siitä tulee Neliö/ympyrä 360. Luupin kanssa 0 tai 720, riippuen onko luuppi luupin sisällä vai ulkona.)

Paitsi että eikös tossa P ole määrittelemätön? Tai sitten määritellä erikseen murtopisteitä sen mukaan missä vaiheessa ne päätyvät kuvion sisälle? Siten kolmion sisällä on sisäpisteet ja kolmion ulkopuolella ulkopisteet-"murtopisteet"

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Puuhikki
Cargo

No ainakaan mun oppikirjoissa topologin sinikäyrä ei ole Jordanin käyrä...

Tarkoitin vain sen tapaista kuviota, jossa reuna on niin monimutkainen, että puolisuora leikkaa sen äärettömän monta kertaa. Koska ääretön ei ole parillinen eikä pariton, niin ei voitaisiin puhua sisä- tai ulkopisteistä.

Itse asiassa useimmat Jordanin käyrät ovat sellaisia, että sisä- ja ulkopisteitä yhdistävä jana leikkaa käyrän äärettömän monta kertaa. Tässä useimmat tarkoittaa Jordan käyrien muodostaman joukon G-delta tiheää osajoukkoa.

xork
Seuraa 
Viestejä383
Liittynyt6.11.2010

Voiko väitteen yksinkertaistaa "Jokainen litteällä tasolla kulkeva jatkuva suora viiva jakaa tason kahteen osaan"? Eli onko kyse siitä, miten viiva ja taso ja tason jakaminen määritellään.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

No ei ne taida olla yhtäpitäviä. En edes tunnista käsitettä "litteä taso" ja "jatkuva suora viiva". Ja vaikka matematiikassa kaksi lausetta olisikin yhtäpitäviä, ei niitä kutsuta samalla nimellä.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat