Poikkeuksellisen ärsyttävä matematiikan ongelma

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Jos tämän ratkaisisin ja näyttäisin opettajalle, korottaisin numeroni puolella... En vaan tajua. Opettaja suositteli käyttämään analyyttista geometriaa (pitkän matematiikan kurssin 4 asioita)

Nelikulmion ABCD kulma A on suora kulma. Sivujen AD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessä E ja sivujen AB ja CD jatkeet pisteessä F. Osoita, että janojen AC, BD ja EF keskipisteet ovat samalla suoralla.

Piirsin kuvan, mutta siihen se jäi...

Kommentit (7)

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
tandemi
Nelikulmion ABCD kulma A on suora kulma. Sivujen AD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessä E ja sivujen AB ja CD jatkeet pisteessä F. Osoita, että janojen AC, BD ja EF keskipisteet ovat samalla suoralla.

Ratkaisu perustuu tietenkin yhdenmuotoisiin kolmioihin kuten ABD ja AFE. Piirrä pisteen C kautta suoran AB ja AD suuntaiset suorat, niin eiköhän se siitä.

Vierailija
tandemi
Nelikulmion ABCD kulma A on suora kulma. Sivujen AD ja BC jatkeet leikkaavat pisteessä E ja sivujen AB ja CD jatkeet pisteessä F. Osoita, että janojen AC, BD ja EF keskipisteet ovat samalla suoralla.



ABCD nelikulmion janat AC ja BD ovat 'halkaisijat' joiden keskipisteet ovat samassa pisteessä.
Täten kaikki kolme keskipistettä ovat väistämättä jollain samalla suoralla.

Vierailija
Einheri
ABCD nelikulmion janat AC ja BD ovat 'halkaisijat' joiden keskipisteet ovat samassa pisteessä.
Noin vain suunnikkaalla, jolloin mainitut jatkeet eivät leikkaa toisiaan missään.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Kaikkeen sitä pitää ryhtyä, mutta piti kutenkin tuhertaa.
Tuo analyyttisen geometrian ratkaisu menee suurin piirtein seuraavasti.

Pannaan origo A:han ja B ja D koordinaattiakseleille: B = (b, 0), D = (0, d).
C = (u, v). Kaikki koordinaatit ovat positiivisia.

Tällöin BD:n keskipiste on ( b/2, d/2) ja AC:n (u/2, v/2).
Näiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin on (v-d)/(u-b).

Yhdenmuotoisilla kolmioilla saadaan

F = (f, 0), missä f = du/(d - v) ja E = (0, e), missä e = bv/(b-u).

(Tässä voi olla etumerkkien kanssa hieman säätöä, katsoin yhdenmuotoisuudet olettamalla, että e ja f ovat positiivisia. Varma tapa olisi muodostaa suorien yhtälöt ja katsoa, missä ne leikkaavat koordinaattiakselit. Mutta toisaalta ei ole mitään syytä, että lausekkeet olisivat eri tapauksissa erilaiset.)

EF:n keskipiste on (f/2, e/2).

Tämän pisteen ja esimerkiksi BD:n keskipisteen kautta kulkevan suoran kulmakertoimeksi saadaan myös (v-d)/(u-b) eli eiköhän tämä ole tässä.

Vierailija
Opettaja

Yhdenmuotoisilla kolmioilla saadaan

F = (f, 0), missä f = du/(d - v) ja E = (0, e), missä e = bv/(b-u).




Selitätkö tarkemmin tuon kohdan? :/ Miksi siihen ylipäätään tarvitaan noita kolmioita, eikö ilman sitä voi laskea kulmakerrointa?

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

En nyt jaksa muita tapoja ajatella, ei ainakaan heti tule ilman kuvaa mieleen, mitä tekemistä noilla pisteillä olisi toistensa kanssa.

Tuo yhdenmuotoisuus on vain temppu, jolla sain noiden pisteiden koordinaatit selville "päässälaskulla".

Esimerkiksi f tulee yhdenmuotoisista kolmioista AFD ja GFC, missä G on C:n projektio x-akselilla. Näistä saadaan verranto d/v = f/(f-u) jne.

Kun pisteet tunnetaan, kulmakertoimet saadaan suoralla laskulla.

Uusimmat

Suosituimmat