Kartiomainen astia, kokonaispaine

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Olkoon meillä vedellä täytetty laatikko, korkeus 0,5 m, muoto suorakulmainen särmiö. Ulkoista ilmanpainetta ei oteta huomioon. Laske seiniin kohdistuva (keskimääräinen) paine.

Seinän voidaan ajatella koostuvan infinitesimaalisista suorakulmion muotoisista pinta-ala-alkioista, joiden ala ΔA = Δh · ℓ, missä ℓ = seinän leveys. Pinta-ala-alkioon kohdistuu keskimääräinen hydrostaattisen paineen aiheuttama voima F = pΔA = ρg·ℓ hΔh, missä h osoittaa syvyyttä astiassa pinnasta lukien. Olkoon nyt H koko astian korkeus. Seinään kohdistuva kokonaisvoima saadaan integroimalla voiman lauseke välillä 0...H. Saadaan

F = ρgℓ H^2 / 2

Nyt koko seinän pinta-alan ollessa ℓ*H, voidaan seinään kohdistuva keskimääräinen paine laskea.

p[size=50:3bb56le8]keski[/size:3bb56le8] = F / A = ρgH / 2 = 1000 kg/m³ · 9,81 m/s² · 0,25 m = n. 2,5 kPa

Problem solved.

Aloin miettiä, miten tämä yleistyisi esimerkiksi kartiomaiseen kärjellään seisovaan astiaan, jonka pohjan säde on R ja korkeus H. Senkin kai voisi hajottaa sylinterimäisiin osiin, joiden vaipan pinta-alaan kohdistuvat hydrostaattisen paineet lasketaan yhteen. Mutta onnistuuko tämä enää kaarevien seinien tapauksessa? Eikö painovoimakin pitäisi ottaa huomioon ja sen aiheuttama seiniin kohdistuva voimavaikutus?

Kolmas vaihe olisi sitten pallonmuotoinen astia täynnä vettä. Nyt pitää varmaan vaihtaa koordinaatistoa.

Kommentit (2)

Vierailija

Eiköhän tuo paineen laskeminen onnistu samalla periaatteella minkä muotoiselle astialle tahansa. Pitää vaan muistaa, että jos ollaan kiinnostuneita paineen aiheuttaman voiman suunnasta, niin se on kohtisuorassa pintaa vastaan. Mitä tulee painovoimaan, niin astian massa voitaneen olettaa pieneksi ja täten siihen kohdistuva gravitaatio merkityksettömäksi.

Muuten tietysti jokaiseen astian infinitesimaaliseen osaseen kohdistuu kokonaisvoima, joka koostuu paineen aiheuttamasta voimasta (pintaa vastaan kohtisuorassa) ja gravitaatiosta (alaspäin). Niin ja viereisten osasten tukivoimista, eli menee monimutkaiseksi...

Vierailija
sakvaka
Olkoon meillä vedellä täytetty laatikko, korkeus 0,5 m, muoto suorakulmainen särmiö. Ulkoista ilmanpainetta ei oteta huomioon. Laske seiniin kohdistuva (keskimääräinen) paine.

Miten keskimääräinen paine mielestäsi määritellään ?
Tuo pitäisi tietää kun alat kartion muotoisista astioista puhua. Eli jos lasket voima / pinta-ala, niin kärjellään olevassa kartiossa on alempana vähemmän pintaa kuin ylempänä.
Toisaalta piti laskea seiniin kohdistuva keskipaine, eikä vain yhteen seinään kohdistuva keskipaine. Jos summaat voimavektorit, niin suorassa olevan laatikon tapauksessa jää jäljelle nollavektori.

Entäs sitten käsite seinä, kuinka paljon saa enintään olla kallellaan, ennenkuin kyse on muusta kuin seinästä ?
Esimerkissäsi jätit keskipainetta laskiessasi pohjan pois laskuista, joten se ei selvästikään ollut sitä seinää. Entäs sitten kallistamisen vaikutus ?
Jos kyse on avoimesta laatikosta, niin kallistettuna se sisältää täynnä ollessaan vähemmän vettä kuin suorassa. Suljetun laatikon tapauksessa taas korkeus H kasvaa kallistuksen mukana, ja samoin maksimi hydrostaattinen paine, joten pysyykö keskipaine samana ?

sakvaka
Aloin miettiä, miten tämä yleistyisi esimerkiksi kartiomaiseen kärjellään seisovaan astiaan, jonka pohjan säde on R ja korkeus H. Senkin kai voisi hajottaa sylinterimäisiin osiin, joiden vaipan pinta-alaan kohdistuvat hydrostaattisen paineet lasketaan yhteen. Mutta onnistuuko tämä enää kaarevien seinien tapauksessa?

Kartiota ei voine jakaa sylinterimäisiin osiin. Osiin sen kyllä voi jakaa, ja integroida siitä haluamansa.
Kaarevien seinien tapauksessa tulisi todellakin tarkistaa keskipaineen määritelmä, eikä laskea voimavektoreita yhteen, vaan integroida pikemminkin skalaareita.
Halutaanko tulokseksi siis minimi ja maksimipaineen keskiarvo, vai huomioidaanko sekin minkä verran pinta-alaa minkäkin paineen vaikutuksessa on ?

Toisaalta ketjun otsikossa oli käsite kokonaispaine, eikä keskipaine, mikä ei liene sama asia. Yleensä olen nähnyt keskipainetta käytettävän tilanteissa, joissa paine on ajan funktio, muttei paikan funktio. Silloin käsite on sangen yksikäsitteinen. Nyt tarvittaisiin lisätietoa siitä mitä itseasiassa haluat laskea.

Uusimmat

Suosituimmat