Ympyräkaaren korkeus jänteeltä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Löytyykö suoran ja sen päätepisteisiin kiinnittyvän ympyräkaaren suurimman etäisyyden (h) laskemiseen mitään simppelimpää kaavaa? Lähinnä, jos mahdollista, että vältyttäisiin keskuskulman ja säteen määrittelyltä, piistä ei niinkään ole haittaa.
Siis tunnetaan ympyräkaaren pituus ja suoran eli jänteen pituus.

Sivut

Kommentit (27)

Vierailija

Veikkaan kyllä, ettei mitään simppeliä kaavaa löydy. Ratkaisu nojaa kuitenkin trigonometriaan. Sarjakehitelmistä ehkä jokin likiarvokaava löytyy, mikä pätee pienillä pituuseroilla.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Suurin etäisyys h saadaan
h=R-√(R^2-l^2/4)
R=l/(2sin(s/2R))
missä l on suoran ja s kaaren pituus. Ongelmaksi jää R:n ratkaiseminen toisesta lausekkeesta. Noh, äkkiäkös tuon iteroi.

Vierailija

Kiitoksia asiallisista vastauksista.

Tarkoitus on arvioida teräksen päälle tulevan muovimateraalin kupruilua, joka johtuu materaalien 15 kertaisesta erosta lämpöpitenemiskertoimessa. Suoran ja käyrän pituuserot eivät ole kovin suuria, prosentin parin luokkaa, mutta jos levy kohoaisi jyrkästi taittumalla nousu olisi jo huomattavaa +50 asteen lämpötilaerolla asennuslämpötilasta.

Tuo iterointi ei minulle tässä hetkessä/ näillä lahjoilla auennut. Miten tuosta muodostetaan iterointikaava?

Toinen mahdollisuus, mikäli muovi kiinnitetään niittaamalla, olisi kuvata kupruilu siniaaltona taajuudella 1, vaihe-erolla 180 astetta. Tämä olisi ympyräkaarta totuudenmukaisempi tässä tapauksessa. Tällöin tiedettäisiin siniaallon käyrän pituus, aallonpituus, vaihe-ero ja taajuus.
Äkkinäiseltä vain ei kaavan pyörittely nyt onnistu. Käyrän pituuden laskuun olen kaavan joskus nähnyt, en vain muista missä. Olen kiitollinen kaikesta avusta, valmiita ratkaisujakin saa esittää.
Tarkoituksena on saada kupruilu tiettyihin rajoihin. Tämä ei ole koulutehtävä.

Denzil Dexter
Seuraa 
Viestejä6665
Liittynyt7.8.2007
delta
Kiitoksia asiallisista vastauksista.

Tarkoitus on arvioida teräksen päälle tulevan muovimateraalin kupruilua, joka johtuu materaalien 15 kertaisesta erosta lämpöpitenemiskertoimessa. Suoran ja käyrän pituuserot eivät ole kovin suuria, prosentin parin luokkaa, mutta jos levy kohoaisi jyrkästi taittumalla nousu olisi jo huomattavaa +50 asteen lämpötilaerolla asennuslämpötilasta.

Tuo iterointi ei minulle tässä hetkessä/ näillä lahjoilla auennut. Miten tuosta muodostetaan iterointikaava?

Toinen mahdollisuus, mikäli muovi kiinnitetään niittaamalla, olisi kuvata kupruilu siniaaltona taajuudella 1, vaihe-erolla 180 astetta. Tämä olisi ympyräkaarta totuudenmukaisempi tässä tapauksessa. Tällöin tiedettäisiin siniaallon käyrän pituus, aallonpituus, vaihe-ero ja taajuus.
Äkkinäiseltä vain ei kaavan pyörittely nyt onnistu. Käyrän pituuden laskuun olen kaavan joskus nähnyt, en vain muista missä. Olen kiitollinen kaikesta avusta, valmiita ratkaisujakin saa esittää.
Tarkoituksena on saada kupruilu tiettyihin rajoihin. Tämä ei ole koulutehtävä.




Onko materiaalilla lainkaan jäykkyyttä, vai onko se kalvomaista? Ensin mainitussa tapauksessa lommahtaminen vaatii tietyn suuruisen puristusvoiman, joka voima säilyy lommahtaneessa rakenteessa. Levykenttä ei siis pitene niin paljoa, kuin lämpölaajenemisten ero on.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005

Kannattaa kysyä jo aluksi sitä oikeaa asiaa. Kokeile kuprun muodoksi paraabelia

y = -h * (2/l)^2 * (x + l/2)(x - l/2)

Vierailija

Lainaus:

Onko materiaalilla lainkaan jäykkyyttä, vai onko se kalvomaista? Ensin mainitussa tapauksessa lommahtaminen vaatii tietyn suuruisen puristusvoiman, joka voima säilyy lommahtaneessa rakenteessa. Levykenttä ei siis pitene niin paljoa, kuin lämpölaajenemisten ero on.

Kimmokerroin 1000 MPa

Vierailija

Lainaus:
Kannattaa kysyä jo aluksi sitä oikeaa asiaa. Kokeile kuprun muodoksi paraabelia

y = -h * (2/l)^2 * (x + l/2)(x - l/2)

Haen ratkaisua pelkästään reunan kiinnittämisellä /rajoittamisella eli palastelemisella sekä niittaamalla.
Olet ihan oikeassa, en vain viitsinyt avata uutta ketjua.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
delta
Lainaus:
Kannattaa kysyä jo aluksi sitä oikeaa asiaa. Kokeile kuprun muodoksi paraabelia

y = -h * (2/l)^2 * (x + l/2)(x - l/2)

Haen ratkaisua pelkästään reunan kiinnittämisellä /rajoittamisella eli palastelemisella sekä niittaamalla.


Max lämpötilaero => max kalvon pitenemä => max kuprun korkeus niittien välissä => voit mitoittaa niittien välin

Denzil Dexter
Seuraa 
Viestejä6665
Liittynyt7.8.2007

Kyllä tuo aika kauaksi jää paraabelin muodosta, jos materiaali on jäykkää. Hieman lähempänä on siniaalto, jonka aallonpohja on aina niitin kohdalla. Ja niittiväli on nurkasta nurkkaan, ei siis niittirivien välinen etäisyys.
Edelleen olen kyllä sitä mieltä, että arvio on turhan konservatiivinen, koska se olettaisi, ettei materiaali kutistu puristuksen vaikutuksesta lainkaan.

Vierailija

Entä jos niittaat muovin kuumana tai siinä maksimilämpötilassa tai lähellä sitä. Silloin lämmön vaihtelu lähinnä venyttää muovia ja tuskin se teräs menee kuprulle.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
Denzil Dexter
Kyllä tuo aika kauaksi jää paraabelin muodosta, jos materiaali on jäykkää. Hieman lähempänä on siniaalto, jonka aallonpohja on aina niitin kohdalla.

Kysyjän kuvauksen perusteella päädyin paraabeliin, mutta kysyjä on nähnyt tilanteen, joten hän osaa valita.

Denzil Dexter
Ja niittiväli on nurkasta nurkkaan, ei siis niittirivien välinen etäisyys.

En tiedä niittien asettelua, etkä tiedä sinäkään. Siksi sanoin vain, että "voit mitoittaa niittien välin" ottamatta kantaa asetteluun.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
delta
Kiitoksia asiallisista vastauksista.

Tarkoitus on arvioida teräksen päälle tulevan muovimateraalin kupruilua, joka johtuu materaalien 15 kertaisesta erosta lämpöpitenemiskertoimessa. Suoran ja käyrän pituuserot eivät ole kovin suuria, prosentin parin luokkaa, mutta jos levy kohoaisi jyrkästi taittumalla nousu olisi jo huomattavaa +50 asteen lämpötilaerolla asennuslämpötilasta.

Tuo iterointi ei minulle tässä hetkessä/ näillä lahjoilla auennut. Miten tuosta muodostetaan iterointikaava?


Kokeilet eri R:n arvoja ja haarukoit likiarvon, jolla R-l/(2sin(s/2R))≈0. Tai sitten sovellat jotakin iteraatioalgoritmia, kuten:
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_method
delta
Toinen mahdollisuus, mikäli muovi kiinnitetään niittaamalla, olisi kuvata kupruilu siniaaltona taajuudella 1, vaihe-erolla 180 astetta. Tämä olisi ympyräkaarta totuudenmukaisempi tässä tapauksessa. Tällöin tiedettäisiin siniaallon käyrän pituus, aallonpituus, vaihe-ero ja taajuus.
Äkkinäiseltä vain ei kaavan pyörittely nyt onnistu. Käyrän pituuden laskuun olen kaavan joskus nähnyt, en vain muista missä. Olen kiitollinen kaikesta avusta, valmiita ratkaisujakin saa esittää.
Tarkoituksena on saada kupruilu tiettyihin rajoihin. Tämä ei ole koulutehtävä.

Mikäli muovi on paljon pidempi, kuin mitä on leveä, niin yksiulotteinen palkkiteoria kuvaa pienet taipumat:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Bernoulli_beam_equation
"Saranareunaehdon" tapauksessa paraabeli taitaa olla palkkiteorian ennustama muoto ja niitattuna neljännen asteen polynomi.
Jos käyrän pituuden johtaminen ei onnistu, niin Wikipedia auttaa:
http://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length
Paraabelin tapauksessa oletetaan muovikappaleen alla oleva teräspinta x-akselille x=-l/2..l/2. Nyt paraabelin funktio on
f(x)=h-a*x^2
jonka käyrän pituuden lausekkeessa kaivattu derivaatta on
-2*a*x
Tuntematon parametri a ratkeaa käyrän pituuden lausekkeesta
s/2=int(sqrt(1-2*a*x))dx, x=0..l/2
joskin vain iteroimalla, koska auki-integroituna a lymyilee neliöjuurien ja hyperbolisten sinien sisässä:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=s% ... F%284+a%29
Kysymäsi h ratkeaa
f(l/2)=h-a*l^2/4=0
h=a*l^2/4
kunhan vain a:n arvo on iteroitu.

E: h ratkeaa helposti myös vaikkapa numeerisella integroinnilla excelissä. Tämä vaikkapa tekemällä funktiotaulukon, jossa vaakamuuttuja on x ja pystyvastineensa a ja näiden merkitsemässä solussa tuo =a*l^2/4-a*x^2. Sitten laskee kunkin pisteen ja vaikkapa tämän oikeanpuoleisen naapurin välimatkan (√(∆x^2+∆f(x)^2)). Sitten summaa nämä yhteen erikseen kullekin a:n arvolle ja katsoo, millä a:n arvolla summa vastaa s/2:a.

Vierailija
delta
Tarkoitus on arvioida teräksen päälle tulevan muovimateraalin kupruilua, joka johtuu materaalien 15 kertaisesta erosta lämpöpitenemiskertoimessa.
Toinen mahdollisuus, mikäli muovi kiinnitetään niittaamalla,

Olen kiitollinen kaikesta avusta, valmiita ratkaisujakin saa esittää.
Tarkoituksena on saada kupruilu tiettyihin rajoihin. Tämä ei ole koulutehtävä.
. . .
Tässä tapauksessa ei. Vaihto-osa.


No jos tuo valmiita ratkaisuja ei tarkoita vain laskemista, vaan muutakin, niin eräs ratkaisu jo mainitun kuumana asentamisen lisäksi on kiinnittää siten, että muovi pääsee vapaasti luistamaan teräspalkin päällä. Siis esim ruuvaamalla tai niittaamaalla valmiisiin väljiin esireikiin. Ruuvaus tai niittaus pitää silloin muovin paikallaan vain ylös/alas suunnassa, ja vain suunnilleen muissa suunnissa, jolloin lämpölaajeneminen/kutistuminen on täysin vapaata niissä rajoissa joita reikien väljyys sallii.
Jos vaihdetaan usein, niin ruuvaus on toki paljon nopeampaa avata kuin niittaus ja siten järkevämpää. Lisäksi ruuvit voivat olla paljon harvemmassa, kuin mitä olisi tarpeen jos kupruilu halutaan estää vaikka muovi pakotetaan kuumana puristusjännitykseen. Aikaa ja vaivaa siis säästyy.
Esim muovisten ikkunoiden ja luukkujen valmistus veneisiin tehdään yleensä elastisen tiivistysmassan kanssa väljillä rei'illä mikä sallii lämpölaajenemisen ja -kutistumisen kupruilematta mutta pysyy silti vesitiiviinä.

Koska muovi aikaa myöten viruu esijännitettynä, voi kuumana asentamisesta tuotteen vanhetessa seurata kupruilua lämpenemisen yhteydessä.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat