Jatkuvuus geometrisena käsitteenä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Ralf Gothoni pohtii teoksessaan "Pyöriikö kuu" (Gummerus 2001) suoran olemusta näin:

"Minun aikanani oppikoulussa piste määriteltiin kuvitelluksi avaruuden pisteeksi jolla ei ole ulottuvuutta. [--] Pisteen jälkeen oli vuorossa suora; se määriteltiin äärettömäksi määräksi peräkkäisiä pisteitä. [--] Mutta hetkinen; matematiikassa oli juuri opetettu, että 0+0+0+.....=0!"

Gothonille syntyi kysymyksestä elinikäinen dilemma. Miten jostain joka on pieni ja olematon voi syntyä jokin, joka on yksi, kokonainen ja jatkuva! Hän toteaa tutustuneensa myöhemmin matemaatikko Rolf Nevanlinnaan, joka selitti viimein suoran syvimmän olemuksen oikealla tavalla:

"Kysyin Nevanlinnalta suoran oikeaa määritelmää, ja hän kertoi miten 0-ulotteinen piste lähtee liikkeelle ja jättää jäljen, suoran." (lihavointi alkuperäinen)

Haluaisin nyt tietää, mihin matematiikan osa-alueeseen tämänkaltaiset kysymykset luokiteltaisiin? Edustavatko ne topologiaa? Jonkinlaista geometriaa? Vai jotain muuta?

Kiitos!

Kommentit (14)

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
sakvaka
Ralf Gothoni pohtii teoksessaan "Pyöriikö kuu" (Gummerus 2001) suoran olemusta näin:

"Minun aikanani oppikoulussa piste määriteltiin kuvitelluksi avaruuden pisteeksi jolla ei ole ulottuvuutta. [--] Pisteen jälkeen oli vuorossa suora; se määriteltiin äärettömäksi määräksi peräkkäisiä pisteitä. [--] Mutta hetkinen; matematiikassa oli juuri opetettu, että 0+0+0+.....=0!"

Gothonille syntyi kysymyksestä elinikäinen dilemma. Miten jostain joka on pieni ja olematon voi syntyä jokin, joka on yksi, kokonainen ja jatkuva! Hän toteaa tutustuneensa myöhemmin matemaatikko Rolf Nevanlinnaan, joka selitti viimein suoran syvimmän olemuksen oikealla tavalla:

"Kysyin Nevanlinnalta suoran oikeaa määritelmää, ja hän kertoi miten 0-ulotteinen piste lähtee liikkeelle ja jättää jäljen, suoran." (lihavointi alkuperäinen)

Haluaisin nyt tietää, mihin matematiikan osa-alueeseen tämänkaltaiset kysymykset luokiteltaisiin? Edustavatko ne topologiaa? Jonkinlaista geometriaa? Vai jotain muuta?

Kiitos!


Nevanlinna osasi rauhoittaa Gothonin selittämällä suoran niin, että tämä uskoi ymmärtäneensä asian. Mikä on piste? Voidaankohan sitä määritellä?
Äkkiä ollaan kin siinä, että suorien leikkaus on piste ja ja suora koostuu pisteistä.
Tässä on mainio ja selkeä artikkeli asiasta.
http://solmu.math.helsinki.fi/2002/2/timo/

Eusa
Seuraa 
Viestejä13405
Liittynyt16.2.2011

Kysymys on vapausasteista ja muutoksesta. Jos muutoksille on asetettu reunaehdot, saa uusi variaatio muodostua niiden puitteissa. Jos vapausasteita on nolla, ei erillisyyttä voi esiintyä ja variaatioita on vain yksi. Nollasta eriävä vapausasteiden määrä tuottaa aina äärettömän määrän variaatioita ja jatkuvana vielä ylinumeroituvasti.

Fyysisen todellisuuden kuvauksissa jatkuva geometria tarjoaa differentiaalitaustan, johon kvantittuneita suureita derivoidaan, integroidaan ja renormalisoidaan. Pistettä ei voi kuvata numerolla nolla kuten ei kuutiota tai palloa voi kuvata numerolla kolme (ulottuvuuksien määrä). Siten 0+0+0+... ei tässä yhteydessä kuvaa mitään relevanttia.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Eusa
Kysymys on vapausasteista ja muutoksesta. Jos muutoksille on asetettu reunaehdot, saa uusi variaatio muodostua niiden puitteissa. Jos vapausasteita on nolla, ei erillisyyttä voi esiintyä ja variaatioita on vain yksi. Nollasta eriävä vapausasteiden määrä tuottaa aina äärettömän määrän variaatioita ja jatkuvana vielä ylinumeroituvasti.

Fyysisen todellisuuden kuvauksissa jatkuva geometria tarjoaa differentiaalitaustan, johon kvantittuneita suureita derivoidaan, integroidaan ja renormalisoidaan. Pistettä ei voi kuvata numerolla nolla kuten ei kuutiota tai palloa voi kuvata numerolla kolme (ulottuvuuksien määrä). Siten 0+0+0+... ei tässä yhteydessä kuvaa mitään relevanttia.


Määrittelepä piste ylipäänsä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä13405
Liittynyt16.2.2011
visti
Eusa
Kysymys on vapausasteista ja muutoksesta. Jos muutoksille on asetettu reunaehdot, saa uusi variaatio muodostua niiden puitteissa. Jos vapausasteita on nolla, ei erillisyyttä voi esiintyä ja variaatioita on vain yksi. Nollasta eriävä vapausasteiden määrä tuottaa aina äärettömän määrän variaatioita ja jatkuvana vielä ylinumeroituvasti.

Fyysisen todellisuuden kuvauksissa jatkuva geometria tarjoaa differentiaalitaustan, johon kvantittuneita suureita derivoidaan, integroidaan ja renormalisoidaan. Pistettä ei voi kuvata numerolla nolla kuten ei kuutiota tai palloa voi kuvata numerolla kolme (ulottuvuuksien määrä). Siten 0+0+0+... ei tässä yhteydessä kuvaa mitään relevanttia.


Määrittelepä piste ylipäänsä.

Piste on matemaattinen käsite, olio, joka on aina erillinen. Sitä ei voi muodostaa liitottaen (unioiden) kuten ulotteisia olioita vaan se saadaan aina määritellyksi leikkauksena. Yksittäisellä pisteellä ei tee mitään - piste on aina suhteellinen, se virittää monistoja muiden pisteiden ja niiden välisten sääntöjen avulla.

Vielä vertautuma fysiikkaan, visuaaliseen avaruuteen: valaistu objektiavaruus voi virittyä alimmin vapausastein silloin kun kaikkien numeroituvien pisteiden välille voidaan virittää euklisen avaruuden suora viivalinja niin, että mikään muu piste tai viivalinja ei leikkaa tätä. Numeroituva pistejoukko asettuu avaruudeksi tuon säännön mukaan alimmillaan 3 vapausasteessa eli ulottuvuudessa. Siksi säteilyä havainnoiva mieltää aina sen antaman informaation 3-ulotteisena - se on matematiikkaa ja samalla luonnonlaki. Kiehtovaa, eikö totta?

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Eusa
visti
Eusa
Kysymys on vapausasteista ja muutoksesta. Jos muutoksille on asetettu reunaehdot, saa uusi variaatio muodostua niiden puitteissa. Jos vapausasteita on nolla, ei erillisyyttä voi esiintyä ja variaatioita on vain yksi. Nollasta eriävä vapausasteiden määrä tuottaa aina äärettömän määrän variaatioita ja jatkuvana vielä ylinumeroituvasti.

Fyysisen todellisuuden kuvauksissa jatkuva geometria tarjoaa differentiaalitaustan, johon kvantittuneita suureita derivoidaan, integroidaan ja renormalisoidaan. Pistettä ei voi kuvata numerolla nolla kuten ei kuutiota tai palloa voi kuvata numerolla kolme (ulottuvuuksien määrä). Siten 0+0+0+... ei tässä yhteydessä kuvaa mitään relevanttia.


Määrittelepä piste ylipäänsä.

Piste on matemaattinen käsite, olio, joka on aina erillinen. Sitä ei voi muodostaa liitottaen (unioiden) kuten ulotteisia olioita vaan se saadaan aina määritellyksi leikkauksena. Yksittäisellä pisteellä ei tee mitään - piste on aina suhteellinen, se virittää monistoja muiden pisteiden ja niiden välisten sääntöjen avulla.

Vielä vertautuma fysiikkaan, visuaaliseen avaruuteen: valaistu objektiavaruus voi virittyä alimmin vapausastein silloin kun kaikkien numeroituvien pisteiden välille voidaan virittää euklisen avaruuden suora viivalinja niin, että mikään muu piste tai viivalinja ei leikkaa tätä. Numeroituva pistejoukko asettuu avaruudeksi tuon säännön mukaan alimmillaan 3 vapausasteessa eli ulottuvuudessa. Siksi säteilyä havainnoiva mieltää aina sen antaman informaation 3-ulotteisena - se on matematiikkaa ja samalla luonnonlaki. Kiehtovaa, eikö totta?


Määrittelitkö itse, vai kävitkö lähteellä virkistymässä?
Minun määritelmäni on:
Piste on niin pieni matemaattinen olio, että pienemmästä tulisi jo sanomista.

Eusa
Seuraa 
Viestejä13405
Liittynyt16.2.2011
visti
Eusa
visti
Määrittelepä piste ylipäänsä.

Piste on matemaattinen käsite, olio, joka on aina erillinen. Sitä ei voi muodostaa liitottaen (unioiden) kuten ulotteisia olioita vaan se saadaan aina määritellyksi leikkauksena. Yksittäisellä pisteellä ei tee mitään - piste on aina suhteellinen, se virittää monistoja muiden pisteiden ja niiden välisten sääntöjen avulla.

Määrittelitkö itse, vai kävitkö lähteellä virkistymässä?

Ihan omista sahajauhoista raavittua.
Minun määritelmäni on:
Piste on niin pieni matemaattinen olio, että pienemmästä tulisi jo sanomista.

Ihan näppärästi määritelty paitsi, että tuota pienemmyyttä ja sen suhteellisuutta joutuisi tarkentamaan.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Eusa
visti
Eusa

Piste on matemaattinen käsite, olio, joka on aina erillinen. Sitä ei voi muodostaa liitottaen (unioiden) kuten ulotteisia olioita vaan se saadaan aina määritellyksi leikkauksena. Yksittäisellä pisteellä ei tee mitään - piste on aina suhteellinen, se virittää monistoja muiden pisteiden ja niiden välisten sääntöjen avulla.

Määrittelitkö itse, vai kävitkö lähteellä virkistymässä?

Ihan omista sahajauhoista raavittua.
Minun määritelmäni on:
Piste on niin pieni matemaattinen olio, että pienemmästä tulisi jo sanomista.

Ihan näppärästi määritelty paitsi, että tuota pienemmyyttä ja sen suhteellisuutta joutuisi tarkentamaan.

Nykykäsitys lienee, ettei pistettä tai suoraa voi geometriassa määritellä lainkaan. Ne on hyväksyttävä peruselementteinä ilman määritelmää.

Vierailija
visti
Nykykäsitys lienee, ettei pistettä tai suoraa voi geometriassa määritellä lainkaan. Ne on hyväksyttävä peruselementteinä ilman määritelmää.



Niin se on fysiikassakin, kun aika ja avaruus mallinnetaan janan ja siihen liittyvän rotaation avulla. Jana ja rotaatio ovat taustasta riippumaton malli avaruudelle ja ajalle.

http://www.netikka.net/mpeltonen/siirre ... teoria.htm

Pekka Virtanen

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Sitä paitsi jatkuvuus on topologinen, ei geometrinen käsite. (Mitäköhän täällä muuten geometrialla tarkoitetaan?) Geometriassa tuota jatkuvuutta tuskin tarvitaan. Jos kuitenkin joku konkreettisen suoran haluaa, niin ottakoon suoraksi lukusuoran (reaalilukujen joukon) ja käännelköön sitä. Se on huolellisesti määritelty matemaattinen objekti (jolle tosin muitakin malleja löytyy kun tämä "suora").

Eusa
Seuraa 
Viestejä13405
Liittynyt16.2.2011
Opettaja
Sitä paitsi jatkuvuus on topologinen, ei geometrinen käsite. (Mitäköhän täällä muuten geometrialla tarkoitetaan?) Geometriassa tuota jatkuvuutta tuskin tarvitaan. Jos kuitenkin joku konkreettisen suoran haluaa, niin ottakoon suoraksi lukusuoran (reaalilukujen joukon) ja käännelköön sitä. Se on huolellisesti määritelty matemaattinen objekti (jolle tosin muitakin malleja löytyy kun tämä "suora").

Vähän topologioasta ja sen suhteesta fyysiseen.

Näkemykseni on, että singulaarisia makroskooppisia epäjatkuvuuksia ei ole, eikä muodostu (mustat aukot), mutta alkeishiukkasen kokoisia reikiä jatkuvuuskudoksessa ovat alkeishiukkaset itse. Sehän ei mallin topologiasta vielä sinänsä tee epäjatkuvaa, mutta jos ajatellaan, että liike-potentiaali-avaruuden ylempiulotteisessa esityksessä on reikiä, näkyvät nuo rei'ät alemman ulottuvuuden euklisessa projektiossa epätarkkuutena ja kun makroskooppinen objekti ei voi tuollaisen rei'än lävitse kulkea, ei tokikaan saada suoraa havaintoa siitä kuinka elektromagneettinen varausdipoliteetti voisi liittyä asiaan - voidaan vain arvailla. Itse arvelen, että rei'än toiselta puolen, toisesta suunnasta, hiukkasen kanssa voi vuorovaikuttaa negatiivinen ja toiseen suuntaan positiivinen varaus. No, vallan hankala sanoin kuvata kuinka samassa visuaalisessa 3D-havaintoavaruudessa olevat alkeisobjektit eivät todellisesti havaitsekaan toisiaan, vain samanmerkkiset varaukset havaitsevat toisensa ja pyrkivät kosmisessa kiihtyvyyskentässä asettumaan tasaisesti. Jatkuvuuden topologiaan liittyy sekin asia kuinka gravitaatio toimii: ilman sisärakennetta olevat objektit eivät suinkaan vedä toisiaan puoleensa, eivätkä kaareuta avaruutta vaan asettuvat lähtökohtaisesti tasaisen etäisyyden päähän toisistaan koska ovat kiinnittyneet topologiseen reikään. Alkeishiukkasten välinen sidos puolestaan on vahva energiapohjaiseen täsmäetäisyyteen pyrkivä koska topologisesti tietyn kokoiset rei'ät asettuvat rei'än reunakaarevuuden minimitilan mukaan: kahden re'än välinen avaruusvolyymileikkaus pyrkii asettumaan ympyrän muotoon.

Eipä sepustuksestani taida kukaan mitään ymmärtää vaan hällä väliä....

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Goswell
Seuraa 
Viestejä10352
Liittynyt8.3.2010
Eusa
Eipä sepustuksestani taida kukaan mitään ymmärtää vaan hällä väliä..




Minusta kuulostaa että yrität saada 3D objektit asettumaan 2D maailmaan josa on meille saavuttattomia lisäulottuvuuksia sekä kaiken tausta.. Tausta olisi oikeasti olevaista ja olevainen keskustelisi taustan kanssa.

Eusa
Itse arvelen, että rei'än toiselta puolen, toisesta suunnasta, hiukkasen kanssa voi vuorovaikuttaa negatiivinen ja toiseen suuntaan positiivinen varaus.



Kuulostaa oikeasti magneetttisilta monopoleilta. Protoni on positiivinen, elektroni negatiivinen, missä vastakkaismerkkiset navat. Protonin suhteen voisi ajatella että negatiivinen napa olisi piilossa protonin ytimessä, entä elektronin positiivinen napa, sen ytimessäkö sekin piilossa.

Eusa
ilman sisärakennetta olevat objektit eivät suinkaan vedä toisiaan puoleensa, eivätkä kaareuta avaruutta vaan asettuvat lähtökohtaisesti tasaisen etäisyyden päähän toisistaan koska ovat kiinnittyneet topologiseen reikään.



Ilman sisärakennetta oleva hiukkanen ei omaisi inertiaa, eikä sitten oletettavasti kokisi gravitaatiotakaan. Sopisi gravitoniin ja fotoniin ainakin. Toki jos hiukkanen on ilman sisärakenetta, sillä voisi olla pienen pieni massa. Mutta jos se "kiinteä" massa on inertiaton, inertia, hitaus ilmenisi pelkästään sisärakenteellisista hiukkasissa, eli se olisi epätasapaino niiden sisäisessä vuorovaikutuksessa, siis voimissa jotka ne sitoo yhdeksi kokonaisuudeksi..

Minun mielestä noin.

Vierailija
Goswell
Ilman sisärakennetta oleva hiukkanen ei omaisi inertiaa, eikä sitten oletettavasti kokisi gravitaatiotakaan. Sopisi gravitoniin ja fotoniin ainakin. Toki jos hiukkanen on ilman sisärakenetta, sillä voisi olla pienen pieni massa. Mutta jos se "kiinteä" massa on inertiaton, inertia, hitaus ilmenisi pelkästään sisärakenteellisista hiukkasissa, eli se olisi epätasapaino niiden sisäisessä vuorovaikutuksessa, siis voimissa jotka ne sitoo yhdeksi kokonaisuudeksi



Vakuuttavaa. Kaunista.

Puhkean kyyneliin.

http://www.youtube.com/watch?v=f6K9bt1FNQg

Vierailija
abskissa
visti
Nykykäsitys lienee, ettei pistettä tai suoraa voi geometriassa määritellä lainkaan. Ne on hyväksyttävä peruselementteinä ilman määritelmää.

Tarskin aksiomatisoinnissa suora ei ymmärtääkseni ole geometrian peruselementti.



Eipä näytä olevan. Ymmärsin, että Tarskilla ne ovat pisteitä. Viivaelementti koostuu pisteistä, joita ei voi asettaa järjestykseen(a

Sinänsä järkevää, koska fysikaalisessa avaruudessakaan piste ei ole koskaan suoralla.

Uusimmat

Suosituimmat