Bermudan kolmion pinta-ala

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Bermudan kolmion kärkinä ovat seuraavat pisteet:

Miami, Florida (olk. piste B):
φ = 25°47', ψ = -80°13' (vastaavat tavanomaisen karttakoordinaatiston longitudia ja latitudia)

Hamilton, Bermuda (piste C):
φ = 32°18', ψ = -64°47'

San Juan, Puerto Rico (piste D):
φ = 18°27', ψ = -66°4'

Olkoon lisäksi piste A pohjoisnapa. Mikä on Bermudan kolmion pinta-ala?

Otetaan tarkastelun kohteeksi aluksi pallokolmio ABC. Sen B:n vastainen sivu olkoon b, C:n vastainen sivu c ja A:n vastainen sivu a (sivujen mitat ovat annettu kulmayksiköissä).

Pallotrigonometrian kosiniväittämä: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A, josta ratkaistaan
a = 14°57',767

Tämä on Miamin ja Hamiltonin etäisyys. Suoritetaan sama tarkastelu pallokolmioille ACD ja ABD, joista saadaan vastaavasti Hamiltonin ja San Juanin etäisyydeksi 13°53',883, ja Miamin ja San Juanin etäisyydeksi 15°00',287.

Otetaan nyt tarkasteltavaksi uusi pallokolmio, BCD, jonka sivut ovat edellisen mukaan

14°57',767
13°53',883
15°00',287

nyt kun kolme sivua tunnetaan, voidaan kulmat laskea käyttämällä ensimmäistä pallokosiniväittämää toisinpäin:

cos A = (cos a - cos b cos c) / (sin b sin c)

Näin saadaan pallokolmion BCD kulmiksi

62°45',425
55°48',138
63°3',833

Eksessi E = 62°45',425 + 55°48',138 + 63°3',833 - 180° = 1°37',396

Nyt kun oletetaan, että Maapallon säde on r = 6371 km, saadaan pallokolmion pinta-alaksi

A = Er² = 1°37',396 / 180° · π · (6371 km)² = 1 149 959,2... km²
= n. 1 150 000 km²

Netin mukaan alan tulisi olla suunnilleen 500 000 neliömailia (n. 1 300 000 km²), eli eiköhän tuo laskuni tulos ole aika totuudenmukainen.

Olisiko tällaisen tehtävän laskemiseen kuitenkaan mitään helpompaa keinoa kuin nelinkertainen pallotrigonometrinen pyörittely? Olisihan tuon voinut piirtää appelsiininkin kylkeen ja mitata kulmat käsipelillä.

Kommentit (3)

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
sakvaka
Bermudan kolmion kärkinä ovat seuraavat pisteet:

Miami, Florida (olk. piste B):
φ = 25°47', ψ = -80°13' (vastaavat tavanomaisen karttakoordinaatiston longitudia ja latitudia)

Hamilton, Bermuda (piste C):
φ = 32°18', ψ = -64°47'

San Juan, Puerto Rico (piste D):
φ = 18°27', ψ = -66°4'

Olkoon lisäksi piste A pohjoisnapa. Mikä on Bermudan kolmion pinta-ala?

Otetaan tarkastelun kohteeksi aluksi pallokolmio ABC. Sen B:n vastainen sivu olkoon b, C:n vastainen sivu c ja A:n vastainen sivu a (sivujen mitat ovat annettu kulmayksiköissä).

Pallotrigonometrian kosiniväittämä: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A, josta ratkaistaan
a = 14°57',767

Tämä on Miamin ja Hamiltonin etäisyys. Suoritetaan sama tarkastelu pallokolmioille ACD ja ABD, joista saadaan vastaavasti Hamiltonin ja San Juanin etäisyydeksi 13°53',883, ja Miamin ja San Juanin etäisyydeksi 15°00',287.

Otetaan nyt tarkasteltavaksi uusi pallokolmio, BCD, jonka sivut ovat edellisen mukaan

14°57',767
13°53',883
15°00',287

nyt kun kolme sivua tunnetaan, voidaan kulmat laskea käyttämällä ensimmäistä pallokosiniväittämää toisinpäin:

cos A = (cos a - cos b cos c) / (sin b sin c)

Näin saadaan pallokolmion BCD kulmiksi

62°45',425
55°48',138
63°3',833

Eksessi E = 62°45',425 + 55°48',138 + 63°3',833 - 180° = 1°37',396

Nyt kun oletetaan, että Maapallon säde on r = 6371 km, saadaan pallokolmion pinta-alaksi

A = Er² = 1°37',396 / 180° · π · (6371 km)² = 1 149 959,2... km²
= n. 1 150 000 km²

Netin mukaan alan tulisi olla suunnilleen 500 000 neliömailia (n. 1 300 000 km²), eli eiköhän tuo laskuni tulos ole aika totuudenmukainen.

Olisiko tällaisen tehtävän laskemiseen kuitenkaan mitään helpompaa keinoa kuin nelinkertainen pallotrigonometrinen pyörittely? Olisihan tuon voinut piirtää appelsiininkin kylkeen ja mitata kulmat käsipelillä.





Osui nyt vasta tämä silmiini.

Sivujen pituudet (kulmamitoissa) voit laskea myös siten, että käytät yksikkövektoreita, jotka osoittavat pallon keskipisteestä noihin pisteisiin B,C ja D. Olkoot nämä R(B), R(C) ja R(D). Jos u on longitudi ja v latitudi, on tällainen yksikkövektori muotoa

R = cos(u)cos(v) i + sin(u)cos(v) j + sin(v) k (i,j ja k ovat kantavektorit: x-,y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit)

Kun sijoitat tuohon pisteiden B,C ja D (u,v) - koordinaatit, saat nuo vektorit R(B),R(C) ja R(D).Esim. B-pisteen koordinaatit ovat siis u = -80 astetta 13 minuuttia ja v = 25 astetta 47 minuuttia.

Pisteiden B ,C ja D väliset kaaret eli kolmiosi sivut saadaan pistetuloista (skalaarituloista) (R(B),R(C)) , (R(C),R(D)) ja (R(B),R(D)), nämä ovat kulmien cosinien arvot ja kulmat siis saadaan funktiolla arccos( ).

Enpä nyt tiedä,lyhentääkö tämä laskuja,mutta onpahan toinen tapa saada nuo kaarien pituudet.

Kolmion kulmiin (jotta saadaan tuo eksessi) kai sitten kuitenkin on paras käyttää pallotrigonometriaa.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Kyllä ne kolmion kulmatkin voi laskea vektorianalyysillä,jos haluaa. Koska tasojen väliset kulmat = niiden normaalien väliset kulmat (oikein otettuina) saadaan tulos aikaan käyttämällä vektorien R(B),R(C) ja R(D) ristituloja (vektorituloja) ja näiden sisätuloja (pistetuloja).

Merkitsen tässä sisätuloa symbolilla "*" ja vektorituloa tavanomaisesti symbolilla "x".

Esim.

R(D) x R(C) * R(B) x R(C) = sin(b) sin(d) cos(C) =

(R(D) * R(B)) (R(C) * R(C)) - (R(D) * R(C)) ((R(C) * R(B)) =

cos(c) - cos(b) cos(d), josta seuraa tuo pallotrigonometrian kaava

cos(C) = (cos(c) - cos(b) cos(d)) / (sin(b) sin(d)).

Pallotrigonometriaa ei tarvita, sillä kulmien cosinit saadaan laskettua ihan vektorianalyysin avulla vektoreista R(B),R(C) ja R(D). Näytin nyt vain tuossa, miten pallotrigonometrian eräs kaava voidaan johtaa.

Eivät laskut kai sen lyhyempiä ole kuin valmiiden kaavojen käyttö mutta vektoreita käyttämällä asia selviää itsestään, mekaanisesti laskemalla, muistaen vain nuo eri tulojen määritelmät ja merkitykset.Mitään kaavoja ei tarvitse pallotrigonometriasta muistaa tai hakea

Ohman.

Uusimmat

Suosituimmat