Valon nopeus perusmuotoisesta aallosta?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Terve!

Olen fuksiopiskelija tuolla helsingin yliopistolla ja kiinnostaisi tietää vähän tarkemmin valoaalloista:
Voiko valoaaltoa hahmottaa seuraavanlaisella funktiolla:
[code:3ctt1udo]f(x,t) = cos(kx-wt+Ø)[/code:3ctt1udo] ?
Tuossa ei tosiaan ole käytetty sähkökentän tai magneettikentän lauseketta tai mitään, ja olen olettanut, että se on perusmuotoinen aalto. Minulla ei ole mitään hajua voiko näin yleisesti tehdä. tuolla sähködynamiikan prujuissa oli vain jokin esimerkki missä oli oletettu valo perusmuotoiseksi aalloksi, tyyliin E(x)=E(x0)sin(kz-wt).

Jos niin voi tehdä, niin onko seuraavassa mitään virhepäättelyä:

Oletetaan helppouden vuoksi, että fotoni jossain sellaisessa paikassa, että funktio on [code:3ctt1udo]f(x,t) = cos(kx-wt)[/code:3ctt1udo] eli Ø=0.

Nyt fotonin nopeuden voi määrittää seuraavasti:
[code:3ctt1udo]kx - wt = 2*pi*n,[/code:3ctt1udo] missä n on kokonaisluku.
[code:3ctt1udo]dx/dt=v[/code:3ctt1udo]
e: "tässä siis olen todennut (tai yritin todeta, mutta unohdin selittää), että kun [code:3ctt1udo]kx-wt = 2*pi*n[/code:3ctt1udo] niin f(x) saa aina saman arvon, koska cos(2*pi*n) = 1, kaikilla n arvoilla (n on kokonaisluku). Siis tässä ideana minulla oli että tarkastelen miten sinifunktion huippu/huiput käyttäytyy ajan funktiona eli millä nopeudella se/ne liikkuu."

Josta seuraa:

[code:3ctt1udo]x = 2*pi*n/k + w/k * t[/code:3ctt1udo]

Nyt tiedetään, että [code:3ctt1udo]k = 2*pi/λ[/code:3ctt1udo] (voi päätyä tarkkailemalla esimerkiksi tuota funktion ulkonäköä)

ja [code:3ctt1udo]w = 2*pi*f[/code:3ctt1udo]

Sitten vielä lisäksi oletetaan relaatio [code:3ctt1udo]c=f*λ[/code:3ctt1udo] oikeaksi.

Tästä saadaan

[code:3ctt1udo]x = n*λ + f*λ * t = n*λ + c*t[/code:3ctt1udo]

Jolloin:

[code:3ctt1udo]dx/dt = c[/code:3ctt1udo], eli valonnopeus.

Siis kysymykseni on että onko oikein tehdä näin.

Tässä siis olen olettanut että tuo fotoni on alussa mukavasti jossain niin, että:

[code:3ctt1udo]t=0:[/code:3ctt1udo]
[code:3ctt1udo]x0=n*λ[/code:3ctt1udo]

Kiitos etukäteen

Kommentit (8)

Guarani River Oil
Seuraa 
Viestejä467
Liittynyt19.8.2010

Miksi (kx-wt) olisi 2*pi*n ? Tämähän tarkoittaa että aalto saisi tietyllä ajanhetkellä, tietyssä paikassa aina arvon yksi.
Valonnopeuden voi johtaa maxwellin yhtälöistä, ja se riippuu kahdesta sähkömagnetismiin liittyvästä vakiosta.

Vierailija
Guarani River Oil
Miksi (kx-wt) olisi 2*pi*n ? Tämähän tarkoittaa että aalto saisi tietyllä ajanhetkellä, tietyssä paikassa aina arvon yksi.
Valonnopeuden voi johtaa maxwellin yhtälöistä, ja se riippuu kahdesta sähkömagnetismiin liittyvästä vakiosta.

Olinpas huolimaton, en laittanu mitään selitystä tuolle..

Siis kx-wt voi saada mitä tahansa arvoja, mutta tässä siis olen todennut (tai yritin todeta, mutta unohdin selittää), että kun [code:2vkjz9td]kx-wt = 2*pi*n[/code:2vkjz9td] niin f(x) saa aina saman arvon, koska tällöin cos(kx-wt)=cos(2*pi*n) = 1, kaikilla n arvoilla (n on kokonaisluku). Tuosta ratkomalla x saan siis x:n ajan funktiona jonkin mielivaltaisen huipun kohdalla. Siis tässä ideana minulla oli että tarkastelen miten sinifunktion huippu/huiput käyttäytyy ajan funktiona eli millä nopeudella se/ne liikkuu.

Tuo maxwellin yhtälöistä johto on kyllä käyty mutta nyt kiinnostaisi enempi nuo perusmuotoiset aallot : )

Guarani River Oil
Seuraa 
Viestejä467
Liittynyt19.8.2010

Ahaa, tajusin. En kyllä itse keksi syytä, miksei tuolla tavalla voisi menetellä. Mutta mitä ajat takaa ensin olettamalla valonnopeudeksi c:n ja sitten päätymällä siihen(odotetusti) derivoimalla funktion?

Vierailija
Guarani River Oil
Ahaa, tajusin. En kyllä itse keksi syytä, miksei tuolla tavalla voisi menetellä. Mutta mitä ajat takaa ensin olettamalla valonnopeudeksi c:n ja sitten päätymällä siihen(odotetusti) derivoimalla funktion?

Tuollaisena siinä ei vissiin olekaan oikein järkeä..

Kysyn sen takia, että olen yrittänyt pari päivää määritellä punasiirtymän vaikutusta aaltoon enkä ole oikein vielä päässyt miellyttäviin tuloksiin.

Ideana minulla on ollut tähän asti että muttaa nuo k:n ja w:n ajasta riippuviksi tähän tapaan:

Punasiirtymän aiheuttama muutos aallonpituuteen ja taajuuteen:
[code:2ityv0tm]λ(t0 + t) / λ0 = f0 / f(t0 + t) = a(t0 + t) / a0[/code:2ityv0tm]

Missä λ0 on aallonpituus alussa, f0 on taajuus alussa ja a0 on skaalaustekijä alussa ja t0 aika alussa (eli universumin ikä tässä tapauksessa).

( http://en.wikipedia.org/wiki/Redshift#M ... derivation
http://en.wikipedia.org/wiki/Redshift#M ... rpretation )

Tuosta sitten saa sijoittamalla:

[code:2ityv0tm]k = 2*π/λ = 2 * π * a0 / (λ0 * a(t))[/code:2ityv0tm]

[code:2ityv0tm]w = 2*π*f = 2 * π * f0 * a0 / a(t)[/code:2ityv0tm]

Tällöin [code:2ityv0tm]w/k = f0 * λ0[/code:2ityv0tm] joka on vakio

Merkitään [code:2ityv0tm]w/k = c0[/code:2ityv0tm]

No nyt kun tehdään taas samat operaatiot:

[code:2ityv0tm]f(x,t) = cos(kx-wt)[/code:2ityv0tm]

[code:2ityv0tm]kx-wt = 2*π*n[/code:2ityv0tm] missä n on kokonaisluku

ratkotaan x:

[code:2ityv0tm]x=2*π*n/k + w/k * t[/code:2ityv0tm]

[code:2ityv0tm]x = n * λ0 * a(t0 + t) / a0 + c0 * t[/code:2ityv0tm]

Ratkotaan mitä tuo n * λ0 on:

Kun t=0:
[code:2ityv0tm]x = n * λ0 * a(t0) / a0 + c0 * 0 = n * λ0[/code:2ityv0tm]
(a(t0) = a0)

Merkitään x0 = n * λ0, joka on käytännössä jatkuva tässä tapauksessa, koska λ0 on niin pieni ja x0:n pitää olla erittäin suuri, jotta sillä olisi mitään virkaa laskuissa.

Siis:

[code:2ityv0tm]x = x0 * a(t0 + t) / a0 + c0 * t[/code:2ityv0tm]

Mistä nopeudeksi saadaan:

[code:2ityv0tm]dx/dt = x0 * a'(t0+t) / a0 + c0[/code:2ityv0tm]

jonka mukaan valon nopeus muuttuu, eli puuroksi meni.

Toisaalta mietin, että tämä voi hyvinkin kuvata maailmankaikkeuden laajenemista staattisilla, muuttumattomilla koordinaateilla. Punasiirtymähän johtuu juuri laajenemisesta. Laajenemisen takiahan kaikki etääntyy meistä näennäisesti nopeudella H*d, missä H on hubblen parametri ja d on etäisyys meistä.

Mutta sekään ei oikein sovi tuohon. Tuon [code:2ityv0tm]x0 * a'(t0+t) / a0 [/code:2ityv0tm] pitäisi olla yhtä suuri kuin [code:2ityv0tm]H*d=H*x[/code:2ityv0tm], mutta sitä se ei ole. Toisessa x0 on vakio ja toisessa ei ja lisäksi Hubblen parametrissä nimittäjässä on t:stä riippuva suure. Hubblen parametri oli muistaakseni määritelty [code:2ityv0tm] H=a'(t)/a(t)[/code:2ityv0tm]
( https://en.wikipedia.org/wiki/Dimension ... _parameter )

Toisaalta kun t = 0, niin

[code:2ityv0tm]dx/dt = x0 * a'(t0) / a0 + c0 = x0 * a'(t0) / a(t0) + c0[/code:2ityv0tm]

Mikä sopisi hyvin tuon H*x:n kanssa. Mutta kun t:n arvo ei olekaan nolla, niin kaikki laskut menee seinille.

Tuo
[code:2ityv0tm]dx/dt = x0 * a'(t0+t) / a0 + c0[/code:2ityv0tm]
sanoo että nopeus riippuisi muka alkupaikasta, skaalatekijästä a alkuhetkellä, c0:sta ja skaalatekijän a derivaatasta hetkellä t0 + t.

Selvästi siis jossain mättää.

amandrai
Seuraa 
Viestejä205
Liittynyt26.4.2010

Joo, ensimmäinen lasku oli ihan oikein. Laskit aallon harjan etenemisnopeuden, joka tosiaan on w/k, minkä ehkä ymmärtää helpoiten vaan ettimällä ehdon missä aaltovektori on vakio (kx-wt = A) -> dx/dt = w/k.

Toi toinenkin lasku menee jotakuinkin oikein, mutta tulkintasi on hiukan väärä. Täytyy muistaa että fysikaalinen nopeus on yleisessä suhteellisuusteoriassa lokaali suure! Oma laskusi tarkoittaa sitä, että etäisyys valoaallon harjan ja alkupisteen välillä kasvaa valoa nopeammin, mutta tämähän ei sinänsä ole yllättävää. Avaruus laajenee, joten valon kuljettua pisteestä A pisteeseen B ajassa t, näiden pisteiden välinen "todellinen" etäisyys on suurempi kuin ct.

Varmaan teillä suhteellisuusteorian perusteissa kerrottiin miten "kaukaiset galaksit etääntyvät valoa nopeammin". Tässä on kyse samasta asiasta. Siis etäisyys kahden pisteen välillä kasvaa valoa nopeammin, mutta kaikki fysikaaliset objektit liikkuvat lokaaleissa koordinaateissa alle valonnopeudella.

Vierailija

Kiitos vastauksesta!

teramut
Toi toinenkin lasku menee jotakuinkin oikein, mutta tulkintasi on hiukan väärä. Täytyy muistaa että fysikaalinen nopeus on yleisessä suhteellisuusteoriassa lokaali suure! Oma laskusi tarkoittaa sitä, että etäisyys valoaallon harjan ja alkupisteen välillä kasvaa valoa nopeammin, mutta tämähän ei sinänsä ole yllättävää. Avaruus laajenee, joten valon kuljettua pisteestä A pisteeseen B ajassa t, näiden pisteiden välinen "todellinen" etäisyys on suurempi kuin ct.
Juu tuosta lokaalista suureesta on ollut jotain puhetta suhteellisuusteorian perusteissa. Mutta mielestäni lasku ei silti oikein tunnu oikealta.

Saatan olla käsitteänyt väärin mutta ongelmani on juurikin tässä:

teramut
Varmaan teillä suhteellisuusteorian perusteissa kerrottiin miten "kaukaiset galaksit etääntyvät valoa nopeammin". Tässä on kyse samasta asiasta. Siis etäisyys kahden pisteen välillä kasvaa valoa nopeammin, mutta kaikki fysikaaliset objektit liikkuvat lokaaleissa koordinaateissa alle valonnopeudella.

Etäisyys kahden pisteen välillä tuon ylläolevan kaavan mukaan ei välttämättä kasva valoa nopeammin. Esimerkiksi kun maasta (eli x0=0) ammutaan valonsäde jonnekin kaukaiselle galaksille niin kaava väittää valon nopeuden olevan koko ajan:
[code:2jlmvves]dx/dt = 0 * a'(t0+t) / a0 + c0[/code:2jlmvves]
[code:2jlmvves]dx/dt = c0[/code:2jlmvves]

Riippumatta kuinka kaukana toinen piste on. Avaruuden laajenemisen takiahan valonnopeuden pitäisi meidän mielestä kasvaa kun valonsäde etääntyy meistä.
Jos taas x0<0 niin silloin tuo kaava ennustaa nopeutta, joka on pienempi kuin c.

amandrai
Seuraa 
Viestejä205
Liittynyt26.4.2010
Ozzo

Etäisyys kahden pisteen välillä tuon ylläolevan kaavan mukaan ei välttämättä kasva valoa nopeammin. Esimerkiksi kun maasta (eli x0=0) ammutaan valonsäde jonnekin kaukaiselle galaksille niin kaava väittää valon nopeuden olevan koko ajan:
[code:388eu3bs]dx/dt = 0 * a'(t0+t) / a0 + c0[/code:388eu3bs]
[code:388eu3bs]dx/dt = c0[/code:388eu3bs]



Luin tuon niin että x0 on alku- ja loppupisteiden välinen etäisyys ajanhetkellä t0.

Vierailija

Joskus on käynyt mielessä, että onkohan siniaaltoon jotenkin vaan fiksoiduttu, kerran yhtälöt näyttävät toimivn. Olisiko vaihtoehtoisia selityksiä? Kosmologia kun näyttää muodostuvan aina vain absurdimmaksi. Kannattaisi muistaa, että koko käsityksemme universumin mittasuhteista ylipäätänsäkin on varsin nuori.
Minkähänlaisen aallon saisi muodostumaan täysin kimmoisten superpallojen jonoon?

Uusimmat

Suosituimmat