Seuraa 
Viestejä6331

Sika lähtee ajanhetkellä t = 0 pisteestä (a,0) positiivisen y-akselin suuntaan nopeudella v ja samalla hetkellä Tom lähtee pisteestä (0,0) tavoittamaan sikaa nopeudella kv (k>1). Tom juoksee koko ajan sikaa kohti. Kuinka pitkän matkan sika on ehtinyt juosta, kun Tom saa sen kiinni?

Ratkaisu saadaan differentiaaliyhtälöllä. En siitä selvinnyt, mutta ei se ihan kauhea ole.
Tulos sian kipittämälle matkalle on s = ka/(k^2 - 1) .
Mutta sitten varsinainen ihmetyksen aihe:
Joku oli laskenut laskun näin: Jos sika juokseekin pitkin x-akselia kohti Tomia a Tom edelleen kohti sikaa ja siis x-akselia, on sian matka a/(k+1). Jos taas sika pakenee pitkin x-akselia (tyypillistä sioille), on matka a/(k-1). Edellisiin tietysti ei matematiikkaa paljoa tarvita. Nyt näiden keskiarvo on juuri tuo differentiaaliyhtälön ratkaisu! Miksi näin?
Minä en sitä osaa sanoa, eikä tehtävän ratkaissut kaverinikaan. Huomatkaa, ettei teidän tarvitse diff-yhtälöä ratkaista, kunhan joku älyäisi, miksi se on näin.

Sivut

Kommentit (24)

No oleta että sika ei lähdekkään nelistämään suoraan y-akselin suunnassa, vaan kulmassa alfa tähän nähden. Tämän jälkeen ratkaiset tehtävän positiiviselle ja negatiiviselle alfan arvolle, ja lopuksi toteat että ratkaisuiden keskiarvo on kulmasta riippumaton.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
PPo
Seuraa 
Viestejä14507
visti
Sika lähtee ajanhetkellä t = 0 pisteestä (a,0) positiivisen y-akselin suuntaan nopeudella v ja samalla hetkellä Tom lähtee pisteestä (0,0) tavoittamaan sikaa nopeudella kv (k>1). Tom juoksee koko ajan sikaa kohti. Kuinka pitkän matkan sika on ehtinyt juosta, kun Tom saa sen kiinni?

Ratkaisu saadaan differentiaaliyhtälöllä. En siitä selvinnyt, mutta ei se ihan kauhea ole.
Tulos sian kipittämälle matkalle on s = ka/(k^2 - 1) .
Mutta sitten varsinainen ihmetyksen aihe:
Joku oli laskenut laskun näin: Jos sika juokseekin pitkin x-akselia kohti Tomia a Tom edelleen kohti sikaa ja siis x-akselia, on sian matka a/(k+1). Jos taas sika pakenee pitkin x-akselia (tyypillistä sioille), on matka a/(k-1). Edellisiin tietysti ei matematiikkaa paljoa tarvita. Nyt näiden keskiarvo on juuri tuo differentiaaliyhtälön ratkaisu! Miksi näin?
Minä en sitä osaa sanoa, eikä tehtävän ratkaissut kaverinikaan. Huomatkaa, ettei teidän tarvitse diff-yhtälöä ratkaista, kunhan joku älyäisi, miksi se on näin.


Minua kiinnostaa, miten sinun tehtävääsi voi liittää jonkin differentiaaliyhtälön.
Ts minkä differentiaaliyhtälön ratkaisun olet antanut?

PPo
Seuraa 
Viestejä14507
PPo
visti
Sika lähtee ajanhetkellä t = 0 pisteestä (a,0) positiivisen y-akselin suuntaan nopeudella v ja samalla hetkellä Tom lähtee pisteestä (0,0) tavoittamaan sikaa nopeudella kv (k>1). Tom juoksee koko ajan sikaa kohti. Kuinka pitkän matkan sika on ehtinyt juosta, kun Tom saa sen kiinni?

Ratkaisu saadaan differentiaaliyhtälöllä. En siitä selvinnyt, mutta ei se ihan kauhea ole.
Tulos sian kipittämälle matkalle on s = ka/(k^2 - 1) .
Mutta sitten varsinainen ihmetyksen aihe:
Joku oli laskenut laskun näin: Jos sika juokseekin pitkin x-akselia kohti Tomia a Tom edelleen kohti sikaa ja siis x-akselia, on sian matka a/(k+1). Jos taas sika pakenee pitkin x-akselia (tyypillistä sioille), on matka a/(k-1). Edellisiin tietysti ei matematiikkaa paljoa tarvita. Nyt näiden keskiarvo on juuri tuo differentiaaliyhtälön ratkaisu! Miksi näin?
Minä en sitä osaa sanoa, eikä tehtävän ratkaissut kaverinikaan. Huomatkaa, ettei teidän tarvitse diff-yhtälöä ratkaista, kunhan joku älyäisi, miksi se on näin.


Minua kiinnostaa, miten sinun tehtävääsi voi liittää jonkin differentiaaliyhtälön.
Ts minkä differentiaaliyhtälön ratkaisun olet antanut?

Oletetaanpa näin, ettei mitään differentiaaliyhtälöä olekaan, vaan tehtävänä onkin keksiä kysymys annetulle vastaukselle. Seuraavassa yksi ihan kohtuullinen.
Sika lähtee x-akselin pisteestä sattumanvaraisesti jompaan kumpaan suuntaan. Määritä odotusarvo sille matkalle, minkä sika ehtii juosta ennekuin tom tavoittaa sen.

amandrai
Seuraa 
Viestejä205

Liekö tuo olisi ratkaisun rajatapaus kun v->0? Lopullinen ratkaisuhan lienee riippumaton nopeudesta, joten rajankäynnillä saa saman tuloksen. Tämä ei kuitenkaan ole ihan triviaalia

Aika vaikea tehtävä kyllä!

visti
Seuraa 
Viestejä6331
PPo
visti
Sika lähtee ajanhetkellä t = 0 pisteestä (a,0) positiivisen y-akselin suuntaan nopeudella v ja samalla hetkellä Tom lähtee pisteestä (0,0) tavoittamaan sikaa nopeudella kv (k>1). Tom juoksee koko ajan sikaa kohti. Kuinka pitkän matkan sika on ehtinyt juosta, kun Tom saa sen kiinni?

Ratkaisu saadaan differentiaaliyhtälöllä. En siitä selvinnyt, mutta ei se ihan kauhea ole.
Tulos sian kipittämälle matkalle on s = ka/(k^2 - 1) .
Mutta sitten varsinainen ihmetyksen aihe:
Joku oli laskenut laskun näin: Jos sika juokseekin pitkin x-akselia kohti Tomia a Tom edelleen kohti sikaa ja siis x-akselia, on sian matka a/(k+1). Jos taas sika pakenee pitkin x-akselia (tyypillistä sioille), on matka a/(k-1). Edellisiin tietysti ei matematiikkaa paljoa tarvita. Nyt näiden keskiarvo on juuri tuo differentiaaliyhtälön ratkaisu! Miksi näin?
Minä en sitä osaa sanoa, eikä tehtävän ratkaissut kaverinikaan. Huomatkaa, ettei teidän tarvitse diff-yhtälöä ratkaista, kunhan joku älyäisi, miksi se on näin.


Minua kiinnostaa, miten sinun tehtävääsi voi liittää jonkin differentiaaliyhtälön.
Ts minkä differentiaaliyhtälön ratkaisun olet antanut?

Tästä se lähtee:
Sialle s(1) = f(x) + f ' (x)(a - x)
f ' viittaa tangenttiin, jonka suuntaan Tom juoksee
Tomille kaaren pituuden integrointi:
s(2) = Integraali [0...x] neliöjuuri[1 + (f ' (u))^2]

Sitten s(2) = ks(1) ja eikun hanaa

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983

Kehittelin hieman vaihtoehtoa josta kyllä kehittyy jotain muuta:

Tomin x-suuntainen nopeus on kvcos alfa, missä
tan alfa = vt/a, josta sitten voi ratkaista kosinin.

Eli tästä tulee ihan pelkkä integraali x'(t) =kv*a/sqrt(a^2+(vt)^2),
josta saadaan ihan eksplisiittinen lauseke x:lle.

Juoksuaika saadaan ehdosta x(t) = a.
Ja sikamatka = vt.

Matkan lauseke ei kyllä millään ole kovasti yksinkertainen.

Ymmärsinköhän jotain väärin?

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Opettaja
Kehittelin hieman vaihtoehtoa josta kyllä kehittyy jotain muuta:

Tomin x-suuntainen nopeus on kvcos alfa, missä
tan alfa = vt/a, josta sitten voi ratkaista kosinin.

Eli tästä tulee ihan pelkkä integraali x'(t) =kv*a/sqrt(a^2+(vt)^2),
josta saadaan ihan eksplisiittinen lauseke x:lle.

Juoksuaika saadaan ehdosta x(t) = a.
Ja sikamatka = vt.

Matkan lauseke ei kyllä millään ole kovasti yksinkertainen.

Ymmärsinköhän jotain väärin?


Kun Tom on pisteessä (x , f(x)) on tan alfa = (vt - f(x))/ (a-x)

Vierailija

Paitsi että eihän toi oo sama ku "mean value theorem" Siinä taas selvii etten ole ratkonut yhtäkään differentiaaliyhtälöä. Joku muija vaan youtubessa puhui mean valuesta kun katsoin videon nimeltä intermediate.

Jos toi k^2 - 1 ((k-1) (k+1)) on paraabeli, niin eikös silloin mean value toimi? ( f^,(c) = (f(b)-f(a))/(b-a) ) Tai se Rolle tms. mut eikö se oo melkein sama asia?

David
Seuraa 
Viestejä8877

Eiköhän kyse ole vain siitä, että tuossa toisen asteen yhtälössä ratkaisu lähtee siitä että asiaa käsitellään taka-ajajan lähtöpisteeseen sidotussa koordinaatistossa, ja noissa yksinkertaisimmissa versioissa sikaan liitetyssä koordinaastistossa.

Jälkimmäisessä tarvitsee käsitellä vain yhtä nopeutta (pelkkää nopeuseroa = tavoittamisnopeutta), kun lähtöpisteen koordinaatistoon sidotussa ratkaisussa voidaan huomioida kummatkin nopeudet ja siirtymät / etäisyydet lähtöpisteen suhteen erikseen (ei siis nopeuseroa vaikka sekin olisi mahdollista), tämä lähetsymistapa johtaa differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun (yleispätevämpi ratkaisu).

Lopputuloshan täytyy olla sama. Tästä lienee kyse.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983

En kyllä tuohon alkuperäiseen kysymykseen osaa sanoa juuta enkä jaata, mutta millaisella järkeilyllä tuohon keskiarvoratkaisuun on päädytty? Ei sillä tunnu hirveitä loogisia yhteyksiä itse ongelmaan olevan, osapuolten lisäksi.

PPo
Seuraa 
Viestejä14507
visti

Tästä se lähtee:
Sialle s(1) = f(x) + f ' (x)(a - x)
f ' viittaa tangenttiin, jonka suuntaan Tom juoksee
Tomille kaaren pituuden integrointi:
s(2) = Integraali [0...x] neliöjuuri[1 + (f ' (u))^2]

Sitten s(2) = ks(1) ja eikun hanaa


s(2) on selvä mutta s(1)
Sika lähtee pisteestä (a,0) ja kohtaaminen tapahtuu pisteessä (x,f(x)). Kahden pisteen välinen etäisyys s(1) =sqrt((f(x))^2+(a-x)^2).
Missä virhe?

Vierailija
Opettaja
En kyllä tuohon alkuperäiseen kysymykseen osaa sanoa juuta enkä jaata, mutta millaisella järkeilyllä tuohon keskiarvoratkaisuun on päädytty? Ei sillä tunnu hirveitä loogisia yhteyksiä itse ongelmaan olevan, osapuolten lisäksi.



Nollapohjalta jos on a ja b x:llä ja ne muodostaa paraabelin, niin Rollen teoreema tuntui loogiselta. Laajemmin keskiarvoratkaisu, kun tossa on kuitenkin ka/(k^2 - 1) = (k-1) (k+1)
... a/(k+1), a/(k-1) Silloin tangentti tuntui intuitiivisesti "välittömältä nopeudelta" joksi mean value theorem:a myös kutsutaan.

Toi on siis mutulla symmetrinen ratkaisu. (En osaa käyttää wolframia, enkä ratkaista yhtälöä. Pohdin vain ihan huvin vuoksi yleisellä tasolla. Ajattelin että joskus se on noita differentiaalejakin aika pohtia.)

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat