Seuraa 
Viestejä45973

Kertokaapas että miten ristitulon avulla voidaan selvittää pisteen etäisyys tasosta? Entä onko vielä yksinkertaisempia tapoja selvittää sitä?

Kommentit (16)

PPo
Seuraa 
Viestejä14979
tandemi
Kertokaapas että miten ristitulon avulla voidaan selvittää pisteen etäisyys tasosta? Entä onko vielä yksinkertaisempia tapoja selvittää sitä?

Onnisttu tehtävän ratkaisu ristitulonkin avulla, mutta siinä joutuu laskeskelemaan. Tehtävä onnistuu huomattavasti yksinkertaisemmin seuraavasti.
Tason yhtälö a*x+b*y+c*z+d=0.Piste (x0,y0,z0)
Kysytty etäisyys d=abs(a*x0+b*y0+c*z0)/sqrt(a^2+b^2+c^2)

PPo
Tason yhtälö a*x+b*y+c*z+d=0.Piste (x0,y0,z0)
Kysytty etäisyys d=abs(a*x0+b*y0+c*z0)/sqrt(a^2+b^2+c^2)
Liekö painovirhe kun tason yhtälössä on d ja merkitset kysyttyä etäisyyttä d.llä eikä se riipu mitenkään tason yhtälön d:stä ?

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
PPo
tandemi
Kertokaapas että miten ristitulon avulla voidaan selvittää pisteen etäisyys tasosta? Entä onko vielä yksinkertaisempia tapoja selvittää sitä?

Onnisttu tehtävän ratkaisu ristitulonkin avulla, mutta siinä joutuu laskeskelemaan. Tehtävä onnistuu huomattavasti yksinkertaisemmin seuraavasti.
Tason yhtälö a*x+b*y+c*z+d=0.Piste (x0,y0,z0)
Kysytty etäisyys d=abs(a*x0+b*y0+c*z0)/sqrt(a^2+b^2+c^2)

Hei toihan onkin kätevä verrattuna meidän matikankirjan versioon. Mitä toi abs meinaa?

korant
PPo
Tason yhtälö a*x+b*y+c*z+d=0.Piste (x0,y0,z0)
Kysytty etäisyys d=abs(a*x0+b*y0+c*z0)/sqrt(a^2+b^2+c^2)
Liekö painovirhe kun tason yhtälössä on d ja merkitset kysyttyä etäisyyttä d.llä eikä se riipu mitenkään tason yhtälön d:stä ?

No mihis tässä tarvitsee sitten tota tason yhtälössä olevaa d:tä?

PPo
Seuraa 
Viestejä14979
tandemi
korant
PPo
Tason yhtälö a*x+b*y+c*z+d=0.Piste (x0,y0,z0)
Kysytty etäisyys d=abs(a*x0+b*y0+c*z0)/sqrt(a^2+b^2+c^2)
Liekö painovirhe kun tason yhtälössä on d ja merkitset kysyttyä etäisyyttä d.llä eikä se riipu mitenkään tason yhtälön d:stä ?

No mihis tässä tarvitsee sitten tota tason yhtälössä olevaa d:tä?

Kaavassani on pikku virhe. Merkitään etäisyyttä D:llä, etteivät d:t mene sekaisin.
etäisyys
D=abs(a*x0+b*y0+c*z0+d)/sqrt(a^2+b^2+c^2)

Kaavassani on pikku virhe. Merkitään etäisyyttä D:llä, etteivät d:t mene sekaisin.
etäisyys[quote author=""] D=abs(a*x0+b*y0+c*z0+d)/sqrt(a^2+b^2+c^2)

Voitko esittää todistuksen?

PPo
Seuraa 
Viestejä14979
tandemi
[/quote]
Kaavassani on pikku virhe. Merkitään etäisyyttä D:llä, etteivät d:t mene sekaisin.
etäisyys
D=abs(a*x0+b*y0+c*z0+d)/sqrt(a^2+b^2+c^2)



Voitko esittää todistuksen?[/quote]
Tason a*x+b*y+c*z+d=0 (1)
normaalivektori n = ai+ bj+ ck.
Tämän suuntaisen ja pisteen (x0,y0,z0) kautta kulkevan suoran yhtälö on
x=x0+a*t
y=y0+b*t [size=150:5z7asdxa] (2)[/size:5z7asdxa]
z=z0+c*t
Tämä suora leikkaa tason pisteessä (x1,y1,z1). Pisteiden (x0,y0,z0) ja (x1,y1,z1) etäisyyden neliö
D^2=(x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2=(a^2+b^2+c^2)*t^2 (3)
Sijoitetaan (2) yhtälöön (1) ja ratkaistaan
t=( a*x0+b*y0+c*z0+d )/(a^2+b^2+c^2) (4)
Sijoitetaan (4) yhtälöön (3) ja sievennetään ja saadaan
D^2=( a*x0+b*y0+c*z0+d )^2/(a^2+b^2+c^2),josta ratkaistaan D.
D=abs( a*x0+b*y0+c*z0+d )/sqrt(a^2+b^2+c^2)

En tiedä, saako sen ristitulon avulla, mutta menee mielestäni ihan näin: tiedetään pisteen P koordinaatit ja tason A yhtälö. Saadaan näin laskettua pisteen etäisyys tasosta yllä olevalla kaavalla. Toisaalta tason yhtälöstä saadaan tason normaalivektori. Normaalivektorista tehdään etäisyyden d pituinen ja sitten käytetään sitä hyväksi niin, että se lähtee pisteestä P ja loppuu pisteeseen X, jolloin saadaan pisteen X koordinaatit yhteenlaskulla. Tässä pitää huomata toisaalta normaalivektorin suunta, ettei mennä 180° väärään suuntaan.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
tandemi
Kertokaapas että miten ristitulon avulla voidaan selvittää pisteen etäisyys tasosta? Entä onko vielä yksinkertaisempia tapoja selvittää sitä?
author="" kirjoitti:



Olkoon meillä kolme tason pistettä,joiden paikkavektorit ovat B,C ja D. Lasketaan etäisyys pisteestä,jonka paikkavektori on A, tähän tasoon.

Otetaan vektori, joka on kohtisuorassa tuota tasoa vastaan. Tällainen on
(C - B) x (D - B). Olkoon n tämän suuntainen yksikkövektori.Jos nyt u on mikä tahansa vektori A:sta tasolle, esim. B - A tai C - A, haluttu etäisyys on I(n,u)I, missä tuo (n,u) on vektorien n ja u sisätulo (pistetulo, skalaaritulo) ja siitä on otettu sen itseisarvo.

Esimerkki: A (1,-2,1), B = (2,4,1), C = (-1,0,1) ja D = (-1,4,2).

C-B = (-3,-4,0) , D-B = (-3,0,1)

(C-B) x (D-B) = (-4,3,-12) ja n = (-4,3,-12) / 13

u = B-A = (1,6,0)

Haluttu etäisyys on I(n,u)I = I -4 + 18 I / 13 = 14/13.

Sama tulos tulee, jos käytetään vektorina u vektoria C-A = (-2,2,0):

(n,u) = (8 + 6) / 13 = 14/13.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
PPo
Tason a*x+b*y+c*z+d=0 (1)
normaalivektori n = ai+ bj+ ck.
Tämän suuntaisen ja pisteen (x0,y0,z0) kautta kulkevan suoran yhtälö on
x=x0+a*t
y=y0+b*t (2)
z=z0+c*t
Tämä suora leikkaa tason pisteessä (x1,y1,z1). Pisteiden (x0,y0,z0) ja (x1,y1,z1) etäisyyden neliö
D^2=(x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2=(a^2+b^2+c^2)*t^2 (3)
Sijoitetaan (2) yhtälöön (1) ja ratkaistaan
t=( a*x0+b*y0+c*z0+d )/(a^2+b^2+c^2) (4)
Sijoitetaan (4) yhtälöön (3) ja sievennetään ja saadaan
D^2=( a*x0+b*y0+c*z0+d )^2/(a^2+b^2+c^2),josta ratkaistaan D.
D=abs( a*x0+b*y0+c*z0+d )/sqrt(a^2+b^2+c^2)



Jos tarkkoja ollaan, niin kaavassa 4 on pitäisi olla miinusmerkki jommallakummalla puolella, Mutta lopulta tulos on oikea, koska ratkaisussa tarvitaan vain lukua t^2.

Mutta jos kaavojen 2 avulla halutaan laskea se tason piste, joka on lähinnä annettua pistettä (x0,y0,z0) niin tuo miinusmerkki on kyllä olennainen.

Ohman

PPo
Seuraa 
Viestejä14979
Ohman
PPo
Tason a*x+b*y+c*z+d=0 (1)
normaalivektori n = ai+ bj+ ck.
Tämän suuntaisen ja pisteen (x0,y0,z0) kautta kulkevan suoran yhtälö on
x=x0+a*t
y=y0+b*t (2)
z=z0+c*t
Tämä suora leikkaa tason pisteessä (x1,y1,z1). Pisteiden (x0,y0,z0) ja (x1,y1,z1) etäisyyden neliö
D^2=(x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2=(a^2+b^2+c^2)*t^2 (3)
Sijoitetaan (2) yhtälöön (1) ja ratkaistaan
t=( a*x0+b*y0+c*z0+d )/(a^2+b^2+c^2) (4)
Sijoitetaan (4) yhtälöön (3) ja sievennetään ja saadaan
D^2=( a*x0+b*y0+c*z0+d )^2/(a^2+b^2+c^2),josta ratkaistaan D.
D=abs( a*x0+b*y0+c*z0+d )/sqrt(a^2+b^2+c^2)



Jos tarkkoja ollaan, niin kaavassa 4 on pitäisi olla miinusmerkki jommallakummalla puolella, Mutta lopulta tulos on oikea, koska ratkaisussa tarvitaan vain lukua t^2.

Mutta jos kaavojen 2 avulla halutaan laskea se tason piste, joka on lähinnä annettua pistettä (x0,y0,z0) niin tuo miinusmerkki on kyllä olennainen.

Ohman


Miinusmerkki unohtui kopiointivaiheessa. Huomasin sen mutta en viitsinyt korjata, kun neliöitäessä virhe menetti merkityksensä.
Hienoa havaita, että joku/jotkut lukevat minunkin juttujani

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637

Tässä vielä vähän lisäjuttua aiheesta, jos nyt sattuisi jotain koululaista tms. kiinnostamaan.

Jos on annettu pinta muodossa f(x,y,z) = 0 ja jos grad(f) (f:n gradientti) ei ole nollavektori, on pinnan yksikkönormaali

(1) + / - grad(f) / Igrad(f)I , missä tuo I I on itseisarvon merkintä.

Nyt oli annettu taso

(2) ax + by + cz + d = 0.

Tämä on yllä mainittua muotoa ja sen normaali on siis + / - (ai + bj + ck) ja yksikkönormaali n saadaan jakamalla tuo vektori pituudellaan sqrt (a^2 + b^2 + c^2).

Mikä on etäisyys pisteestä A = x0 i + y0 j + z0 k tuohon tasoon? Otetaan tason piste R = xi + yj + zk, missä siis yhtälö (2) toteutuu. Nyt

R - A = (x - x0) i + (y - y0) j + (z - z0) k =

= (x - x0) i + (y - y0) j + (1/c) (-d -ax -by -cz0) k

Nyt pistetulo

((R - A) , n) = +/- (1/ sqrt (a^2 + b^2 + c^2)) ( -a x0 - b y0 - c z0 - d) ja

haluttu etäisyys on tuon lausekkeen itseisarvo I ((R-A),n) I.

Tämän tuloksen PPo:kin antoi.

Taso (2) voidaan myös antaa vektorimuodossa näin:

R(x,y) = x i + y j + (1/c) (-ax -by -d) k

dR/dx = i - a/c k ja dR/dy = j - b/c k

Nyt dR/dx x dR/dy = a/c i + b/c j + k = (1/c) (a i + b j + c k) ja tämä on kohtisuorassa tasoa R(x,y) vastaan. Yksikkönormaali on siis

n = + / - (dR/dx x dR/dy) / I dR/dx x dR/dyI =

+ / - (1/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) (ai + bj + ck)

joka on sama tulos kuin aiemmin saatu. (Toivottavasti nuo x:t eivät sotke kenenkään ajatuksia, siinä on differentiaali dx ja toinen x on ristitulon merkki!)

Enpä tiedä oliko tästä kenellekään lukijoista hyötyä. Kunhan kirjoittelin.

Ohman

PPo
Seuraa 
Viestejä14979
Ohman
Tässä vielä vähän lisäjuttua aiheesta, jos nyt sattuisi jotain koululaista tms. kiinnostamaan.

Jos on annettu pinta muodossa f(x,y,z) = 0 ja jos grad(f) (f:n gradientti) ei ole nollavektori, on pinnan yksikkönormaali

(1) + / - grad(f) / Igrad(f)I , missä tuo I I on itseisarvon merkintä.

Nyt oli annettu taso

(2) ax + by + cz + d = 0.

Tämä on yllä mainittua muotoa ja sen normaali on siis + / - (ai + bj + ck) ja yksikkönormaali n saadaan jakamalla tuo vektori pituudellaan sqrt (a^2 + b^2 + c^2).

Mikä on etäisyys pisteestä A = x0 i + y0 j + z0 k tuohon tasoon? Otetaan tason piste R = xi + yj + zk, missä siis yhtälö (2) toteutuu. Nyt

R - A = (x - x0) i + (y - y0) j + (z - z0) k =

= (x - x0) i + (y - y0) j + (1/c) (-d -ax -by -cz0) k

Nyt pistetulo

((R - A) , n) = +/- (1/ sqrt (a^2 + b^2 + c^2)) ( -a x0 - b y0 - c z0 - d) ja

haluttu etäisyys on tuon lausekkeen itseisarvo I ((R-A),n) I.

Tämän tuloksen PPo:kin antoi.

Taso (2) voidaan myös antaa vektorimuodossa näin:

R(x,y) = x i + y j + (1/c) (-ax -by -d) k

dR/dx = i - a/c k ja dR/dy = j - b/c k

Nyt dR/dx x dR/dy = a/c i + b/c j + k = (1/c) (a i + b j + c k) ja tämä on kohtisuorassa tasoa R(x,y) vastaan. Yksikkönormaali on siis

n = + / - (dR/dx x dR/dy) / I dR/dx x dR/dyI =

+ / - (1/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) (ai + bj + ck)

joka on sama tulos kuin aiemmin saatu. (Toivottavasti nuo x:t eivät sotke kenenkään ajatuksia, siinä on differentiaali dx ja toinen x on ristitulon merkki!)

Enpä tiedä oliko tästä kenellekään lukijoista hyötyä. Kunhan kirjoittelin.

Ohman


Yllä olevaan sanoisin, että laskennallisesti useat geometriset tarkastelut menevät sujuvammin vektoreiden avulla kuin perinteisillä analyyttisen geometrian menetelmillä.
Tuo jälkimmäinen oli tosi näppärä.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat