Seuraa 
Viestejä53

En oikeen ole ymmärtänyt asiaa, toivotaan että "läpimurtoni" on lähellä

Pitää ratkaista yhtälö z^2 = 1 + i

Vastaukset ovat siis 2^(1/4) * e^(i * pii/8) ja 2^(1/4) * e^(i * 9pii/8 )

Eli tälläin oon laskenut: |z| = √2

|z|^2 *e ^(i2p) = √2*e^(i*pii/4) ( päättelemällä kulma)

|z|^2 = √2 => z =2^(1/4)

2p = pii/4 + n * 2pii

joten p= pii/8 + n * pii

Nyt zo => n = 0 , z1 => n = 1 ja z2 => n = 2 jne...

zo= 2^(1/4) * e^(i * pii/8 + 0pii )

z1= 2^(1/4) * e ^(i * ( pii/8 + pii ) ) = 2^(1/4) *e^ ( i * 9pii/8 )

z2 = ( +2pii eli kierähtää yksikköympyrän ylitte eli sama kuin zo ?)

z3= 2^(1/4) * e ^(i * ( pii/8 + 3pii ) ) = 2^(1/4) * e^ (i*( 25pii/8 ) <- eli mikä tämä on?

Mikä tuo z3 on ? Tähän kaivattais vähän selitystä että miten tuo "yhdistyy" zo tai z1..

Toivottavasti joku ymmärsi jotain / sai selvää Kiitos.

Sivut

Kommentit (50)

PPo
Seuraa 
Viestejä14508
tamdin
En oikeen ole ymmärtänyt asiaa, toivotaan että "läpimurtoni" on lähellä

Pitää ratkaista yhtälö z^2 = 1 + i

Vastaukset ovat siis 2^(1/4) * e^(i * pii/8) ja 2^(1/4) * e^(i * 9pii/8 )

Eli tälläin oon laskenut: |z| = √2

|z|^2 *e ^(i2p) = √2*e^(i*pii/4) ( päättelemällä kulma)

|z|^2 = √2 => z =2^(1/4)

2p = pii/4 + n * 2pii

joten p= pii/8 + n * pii

Nyt zo => n = 0 , z1 => n = 1 ja z2 => n = 2 jne...

zo= 2^(1/4) * e^(i * pii/8 + 0pii )

z1= 2^(1/4) * e ^(i * ( pii/8 + pii ) ) = 2^(1/4) *e^ ( i * 9pii/8 )

z2 = ( +2pii eli kierähtää yksikköympyrän ylitte eli sama kuin zo ?)

z3= 2^(1/4) * e ^(i * ( pii/8 + 3pii ) ) = 2^(1/4) * e^ (i*( 25pii/8 ) <- eli mikä tämä on?

Mikä tuo z3 on ? Tähän kaivattais vähän selitystä että miten tuo "yhdistyy" zo tai z1..

Toivottavasti joku ymmärsi jotain / sai selvää Kiitos.


z3=z1, koska 25pii/8-2pii=9pii/8.
Käyttämälläsi menetelmällä saat ratkaisut trigonometrisessa muodossa.
Jos menettelet seuraavasti, saat ratkaisut analyyttisessa muodossa.
z=x+yi--->z^2=x^2-y^2 +2xyi=1+i---> yhtälöpari
x^2-y^2=1 ja 2xy=1. Ratkaise se.

tamdin
Seuraa 
Viestejä53

Voi huoh miten oon voinu olla huomaamatta "25pii/8-2pii=9pii/8" tota.. ois heti avautunut mulle..

Kiitos !

Ihan mielenkiinnosta tämmöinen viel

Mikä mättää seuraavassa päättelyssä?

-1= i^2 = i*i = √-1√-1 = √ ((-1)(-1)) = √1 = 1

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
tamdin
En oikeen ole ymmärtänyt asiaa, toivotaan että "läpimurtoni" on lähellä

Pitää ratkaista yhtälö z^2 = 1 + i

Vastaukset ovat siis 2^(1/4) * e^(i * pii/8) ja 2^(1/4) * e^(i * 9pii/8 )

Eli tälläin oon laskenut: |z| = √2

|z|^2 *e ^(i2p) = √2*e^(i*pii/4) ( päättelemällä kulma)

|z|^2 = √2 => z =2^(1/4)




Sinulla on pari riviä aiemmin IzI = sqrt(2). Nyt sinulla on IzI^2 = sqrt(2)!!!
Ja siitä sinulla seuraa, että z = 2^(1/4) eli z on reaalinen! Ei tässä oikein ole järkeä!

Oikeasti IzI = 2^(1/4).
Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
tamdin
Voi huoh miten oon voinu olla huomaamatta "25pii/8-2pii=9pii/8" tota.. ois heti avautunut mulle..

Kiitos !

Ihan mielenkiinnosta tämmöinen viel

Mikä mättää seuraavassa päättelyssä?

-1= i^2 = i*i = √-1√-1 = √ ((-1)(-1)) = √1 = 1

author="" kirjoitti:



sqrt(1) = +1 tai -1 elikkä seuraa tuosta päätelmästäsi sekin, että -1 = -1.
Tässä mättää se, että funktio sqrt( ) ei ole injektio (= "yksi yhteen").

Ohman

sqrt(1) = +1 tai -1



Onko sitten lukiossa huijattu, kun on opetettu, että neliöjuuri on aina ei-negatiivinen (arvoehto) vai määritelläänkö se myös negatiiviseksi kompleksilukujen joukossa? Ainakin näin on meille opetettu, että jos on vaikka
x^2 = 1
niin otetaan puolittain neliöjuuri
abs(x) = 1
x = +-1
eli neliöjuuri ykkösestä ei sinällään ole plusmiinus yksi, vaikka kumpikin niistä neliöön korotettuna onkin yksi.

pöhl
Seuraa 
Viestejä937
Raven
Onko sitten lukiossa huijattu, kun on opetettu, että neliöjuuri on aina ei-negatiivinen (arvoehto) vai määritelläänkö se myös negatiiviseksi kompleksilukujen joukossa?

Reaalilukujen joukossa neliöjuuri on epänegatiivinen. Kuitenkin kompleksiluvuilla neliöjuuri ja yleisemmin n:nnet juuret ovat monihaaraisia funktioita. Tämä tarkoittaa sitä, että luvun re^{i*theta} n:nnet juuret ovat muotoa r^{1/n}e^{i(theta+k*2*pii)/n} ja k saa arvot 0,...,n-1.

tamdin
Seuraa 
Viestejä53
Ohman

Sinulla on pari riviä aiemmin IzI = sqrt(2). Nyt sinulla on IzI^2 = sqrt(2)!!!
Ja siitä sinulla seuraa, että z = 2^(1/4) eli z on reaalinen! Ei tässä oikein ole järkeä!

Oikeasti IzI = 2^(1/4).
Ohman




|z|^2 = √2

|z| = √√2 => |z| =2^(1/4) Merkkausvirhe , näin sen pitäisi mennä(?)

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Puuhikki
Raven
Onko sitten lukiossa huijattu, kun on opetettu, että neliöjuuri on aina ei-negatiivinen (arvoehto) vai määritelläänkö se myös negatiiviseksi kompleksilukujen joukossa?

Reaalilukujen joukossa neliöjuuri on epänegatiivinen. Kuitenkin kompleksiluvuilla neliöjuuri ja yleisemmin n:nnet juuret ovat monihaaraisia funktioita. Tämä tarkoittaa sitä, että luvun re^{i*theta} n:nnet juuret ovat muotoa r^{1/n}e^{i(theta+k*2*pii)/n} ja k saa arvot 0,...,n-1.
author="" kirjoitti:



En nyt pääse mihinkään siitä, että 1^2 = 1, eli sqrt(1) = 1, mutta myös
(-1) ^2 = 1 eli sqrt (1) = -1 myös.
Mitä täällä oikein sekoillaan?

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
tamdin
En oikeen ole ymmärtänyt asiaa, toivotaan että "läpimurtoni" on lähellä

Pitää ratkaista yhtälö z^2 = 1 + i

Vastaukset ovat siis 2^(1/4) * e^(i * pii/8) ja 2^(1/4) * e^(i * 9pii/8 )

Eli tälläin oon laskenut: |z| = √2

|z|^2 *e ^(i2p) = √2*e^(i*pii/4) ( päättelemällä kulma)

|z|^2 = √2 => z =2^(1/4)

2p = pii/4 + n * 2pii

joten p= pii/8 + n * pii

Nyt zo => n = 0 , z1 => n = 1 ja z2 => n = 2 jne...

zo= 2^(1/4) * e^(i * pii/8 + 0pii )

z1= 2^(1/4) * e ^(i * ( pii/8 + pii ) ) = 2^(1/4) *e^ ( i * 9pii/8 )

z2 = ( +2pii eli kierähtää yksikköympyrän ylitte eli sama kuin zo ?)

z3= 2^(1/4) * e ^(i * ( pii/8 + 3pii ) ) = 2^(1/4) * e^ (i*( 25pii/8 ) <- eli mikä tämä on?

Mikä tuo z3 on ? Tähän kaivattais vähän selitystä että miten tuo "yhdistyy" zo tai z1..

Toivottavasti joku ymmärsi jotain / sai selvää Kiitos.

author="" kirjoitti:



Voit ratkaista yhtälön kuten PPo neuvoi. Mutta se käy myös näin:

z = r e^(it), missä r = IzI.

z^2 = r^2 * e^(2it) = 1 + i. I1 + iI = 2^(1/2) eli r^2 = 2^(1/2) josta r = 2^(1/4) (tässä valitaan positiivinen neliöjuuri koska itseisarvo on positiivinen).

Nyt 2^(1/2) * e^(2it) = 2^(1/2) *( cos(2t) + i sin (2t)) = 1 + i, joten

cos(2t) = sin(2t) = 1 /( 2^(1/2)). Tällä on ratkaisut t = pii/8 ja t = pii/8 + pii
= ( 9 * pii) / 8.

Meillä on siis ratkaisut z = 2^(1/4) * e^(i * pii/8) tai z = 2^(1/4) * e^( i * (9*pii)/8).

Mutta e^( i * (9*pii)/8) = e^( i *(pii/8 + pii)) = e^(i * (pii/8)) * e^(i * pii) =

- e^(î * (pii/8)). Tässä on käytetty tuota kuulua Eulerin kaava e^(i*pii) =

cos(pii) + i * sin(pii) = -1.

Ratkaisut ovat siis lopulta z = 2^(1/4) * e^(i*(pii/8)) ja z = - 2^(1/4) * e^(i * (pii/8)).

Voit tietysti muuttaa nämä myös muotoon x + i y ja -(x + iy) käyttämällä tuota kaavaa e^(iu) = cos(u) + i sin(u).

Ohman

Tuli tässä aamutuimaan mieleen, että pääsee tuosta vähemmälläkin.

z = r e^(it) , 1+i = 2^(1/2) * (cos(pii/4) + i sin(pii/4)) = 2^(1/2) * e^(pii/4),

joten z^2 = r^2 * e^(i2t) =2^(1/2) * e^(pii/4). Kun otetaan

neliöjuuri, saadaan z = 2^(1/4) * e^(pii/8) tai z = - 2^(1/4) * e^(pii/8).

Siinä se. Mutta ehkä tuosta edellisestäkin oli jotain hyötyä.

Ohman

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Ohman
Puuhikki
Raven
Onko sitten lukiossa huijattu, kun on opetettu, että neliöjuuri on aina ei-negatiivinen (arvoehto) vai määritelläänkö se myös negatiiviseksi kompleksilukujen joukossa?

Reaalilukujen joukossa neliöjuuri on epänegatiivinen. Kuitenkin kompleksiluvuilla neliöjuuri ja yleisemmin n:nnet juuret ovat monihaaraisia funktioita. Tämä tarkoittaa sitä, että luvun re^{i*theta} n:nnet juuret ovat muotoa r^{1/n}e^{i(theta+k*2*pii)/n} ja k saa arvot 0,...,n-1.



En nyt pääse mihinkään siitä, että 1^2 = 1, eli sqrt(1) = 1, mutta myös
(-1) ^2 = 1 eli sqrt (1) = -1 myös.
Mitä täällä oikein sekoillaan?

Ohman

Asia opetettiin ainakin 60-luvulla lukioissa väärin.

Ohman
Puuhikki
Raven
Onko sitten lukiossa huijattu, kun on opetettu, että neliöjuuri on aina ei-negatiivinen (arvoehto) vai määritelläänkö se myös negatiiviseksi kompleksilukujen joukossa?

Reaalilukujen joukossa neliöjuuri on epänegatiivinen. Kuitenkin kompleksiluvuilla neliöjuuri ja yleisemmin n:nnet juuret ovat monihaaraisia funktioita. Tämä tarkoittaa sitä, että luvun re^{i*theta} n:nnet juuret ovat muotoa r^{1/n}e^{i(theta+k*2*pii)/n} ja k saa arvot 0,...,n-1.



En nyt pääse mihinkään siitä, että 1^2 = 1, eli sqrt(1) = 1, mutta myös
(-1) ^2 = 1 eli sqrt (1) = -1 myös.
Mitä täällä oikein sekoillaan?

Ohman


Tuota, et voi väittää että sqrt(1) on 1 tai -1 ja samalla puhua neliöjuurifunktiosta. Funktiolla pitää aina olla joku tietty arvo tietyssä pisteessä. Se ei voi olla joko tai. Neliöjuurifunktio R+ -> R+ on kyllä injektio. Funktio f: R -> R+, f(x) = x² ei sen sijaan ole injektio, mikä tarkoittaa että sillä ei ole käänteisfunktiota. Neilöjuuri ei siis ole funktion f käänteisfunktio, eikä siten voida vetää johtopäätöstä että sqrt(f(x))=sqrt (x²) = x, koska funktion f pisteen x² alkukuva on {x, -x}.

En ole aikaisemmin miettinyt asiaa, mutta näyttäisi siltä että kun neliöjuurifunktion lähtöjoukon laajentaa koko reaaliakseliksi (jolloin se on funktio g: R -> C), niin se ei ole enää rengashomomorfismi. Toisin sanoen ei päde g(a)*g(b) = g(a*b) kaikilla reaaliluvuilla a,b, jolloin päättelyketjussa neljäs yhtäsuuruus ei päde.

EDIT: Siis funktion f alkukuva, ei funktion sqrt alkukuva.

Kävin lukion jo ennen 60-lukua enkä todellakaan muista miten silloin opetettiin tämä asia. Käsitykseni on kuitenkin, että sqrt(1) = 1 eikä -1. Mutta jos merkitään x² = 1, niin x = ±1.

korant
Kävin lukion jo ennen 60-lukua enkä todellakaan muista miten silloin opetettiin tämä asia. Käsitykseni on kuitenkin, että sqrt(1) = 1 eikä -1. Mutta jos merkitään x² = 1, niin x = ±1.

Tämä seuraa juuri siitä että neliöjuurifunktion pisteen 1 kuva on 1, mutta neliöfunktion pisteen 1 alkukuva on {1,-1}. Neliöfunktio ei siis ole injetkio, eivätkä nämä kuvaukset ole toistensa käänteiskuvauksia.

Terve,

Ketjuun tullut hyviä vastauksia. Kirjoitin oman sepustukseni, josta toivottavasti on jollekkin apua. Tavoitteena määritellä neliöjuurifunktio yhtälön z^2 = w ratkaisujen avulla.

Jos w = R exp( iθ ), missä 0 ≤ θ < 2π, niin tällöin yhtälöllä z^2 = w on ratkaisuina:

z1 = √ (R) exp(iθ/2)

tai

z2 = √ (R) exp(i(θ+2π)/2)

Nämä ovat siis yhtälön z^2 = w ratkaisuita. Nyt jos halutaan määritellä kompleksiluvun w neliöjuurifunktio sqrt(w), voidaan valita joko

sqrt(w) = √ (R) exp(iθ/2) , haara I

tai

sqrt(w) = (R) exp(i(θ+2π)/2) , haara II.

Haaran valinta on periaatteessa mielivaltainen, mutta useasti valitaan haara I, koska sillä on mukava ja tuttu ominaisuus positiivisille juurrettaville: sqrt(1) = 1. Jos olisi valinnutkin haaran II saataisiin sqrt(1) = -1.

tamdin

Mikä mättää seuraavassa päättelyssä?
-1= i^2 = i*i = √-1√-1 = √ ((-1)(-1)) = √1 = 1

Tässä neliöjuurimerkki √ viittaa haaran I mukaiseen neliöjuureen, tämä näkyy lausekkeesta i = √-1, haarassa II olisi nimittäin -i = √-1. Päättelyssä osoitetaan oikein, että tulon √-1√-1 arvo on -1. Syy miksi lasku menee metsään on se, että lukua -1 ei voi esittaa minkään kompleksiluvun haaran I mukaisena neliöjuurena. Tämä näkyy yhtälöstä √ (R) exp(iθ/2), jossa nyt pitäisi olla kulmana θ=2π, jotta saataisiin -1 = √ (R) exp(iθ/2) Kulma θ = 2π ei kuitenkaan käy, koska θ < 2π . Eli ei ole olemassa kompleksilukua h, jolle pätisi sqrt(h)= -1, siksi päättely -1= √ ((-1)(-1)) = √1 on virheellinen.

Voisi ajatella että koska -1 * -1 = 1 onhan tietysti olemassa kompleksiluku h = 1, jonka neliöjuuri on -1, näin onkin mutta silloin tarkastellaankin haaran II mukaista neliöjuurifunktiota.

Edit: korjailtu aloitusta
Edit2:lisätty oleellinen miinusmerkki , korjattu kohta:"1= √ ((-1)(-1)) = √1 on virheellinen."

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat