Etana pallon pinnalla - vähän differentiaalilaskentaa

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Ohjelmoinnin harjoitustyössäni on seuraavanlainen kysymys:

"Olkoon etana R-säteisen pallon pinnalla. Hetkellä t=0 etana alkaa ryömiä suoraviivaisesti pallon pintaa pitkin nopeudella v, samanaikaisesti alkaa pallon säde kasvaa nopeudella u. Laske, kuinka kauan etanalta kestää kulkea pallon toiselle puolelle."

Tehtävä on sinänsä erittäin helppo koodaamisen kannalta, mutta laskukaavan johtaminen muodostui minulle ongelmaksi. Harjoitustyö onkin työselostukseen tulevaa kaavanjohtoa vaille läpi. En yleensäkään käsitä miksi tälläisia tehtäviä on ohjelmoinnin harjoitustöissä. Ei palvele itse tarkoitusta.

Laskukaava ajalle: T=R/u * ((e^(PI*u/v)) - 1)

Ongelman ratkaisu vaatii differentiaalilaskentaa (näkeehän sen jo kaavasta), jota en ole ikinä oppinut soveltamaan käytäntöön.

Siis, osaisiko joku selittää miten tuohon kaavaan on päädytty?

Kommentit (8)

Vierailija

Miksi tämä on ohjelmointi tehtävä? Tarkoituksena on paperilla laskea kaava ja lyödä siittä parin rivin ohjelma?

Vierailija

Luulisin, että tarkoitus on simuloida itse tuota tapahtumaa, esim. 0.001 sekunnin välein. Tuossa ajassa etana etenee matkan s = vt, ja pallon säde kasvaa hieman. Sitten taas mennään 0.001 sekuntia eteenpäin ja lasketaan uudet tulokset, kunnes etana on päässyt loppuun.

Hauska tehtävä, voisi itsekin tehdä tuon vaikka javalla.

Vierailija

minusta taas olisi mukava tietää mekanismi, joka aiheuttaa pallon laajenemisen, kuka sen on keksinyt ja minkä vuoksi, ja onko hän saanut keksintönsä kehittelyyn tutkija-apurahaa valtiolta.

Vierailija
msdos464
Luulisin, että tarkoitus on simuloida itse tuota tapahtumaa, esim. 0.001 sekunnin välein. Tuossa ajassa etana etenee matkan s = vt, ja pallon säde kasvaa hieman. Sitten taas mennään 0.001 sekuntia eteenpäin ja lasketaan uudet tulokset, kunnes etana on päässyt loppuun.

Hauska tehtävä, voisi itsekin tehdä tuon vaikka javalla.

No, sehän on yksi vaihtoehto ongelman ratkaisemiseksi, mutta eikö tuollainen matemaattinen ratkaisu tee ohjelmasta paljon järkevämmän, eli ohjelma ei kuormita suoritinta turhaan simuloinnin takia?

Vierailija
ztorm
msdos464
Luulisin, että tarkoitus on simuloida itse tuota tapahtumaa, esim. 0.001 sekunnin välein. Tuossa ajassa etana etenee matkan s = vt, ja pallon säde kasvaa hieman. Sitten taas mennään 0.001 sekuntia eteenpäin ja lasketaan uudet tulokset, kunnes etana on päässyt loppuun.

Hauska tehtävä, voisi itsekin tehdä tuon vaikka javalla.




No, sehän on yksi vaihtoehto ongelman ratkaisemiseksi, mutta eikö tuollainen matemaattinen ratkaisu tee ohjelmasta paljon järkevämmän, eli ohjelma ei kuormita suoritinta turhaan simuloinnin takia?

Mutta tuo ei ole matematiikan, vaan ohjelmoinnin tehtävä. Tietysti käytännössä on järkevämpää johtaa oikea kaava ja ohjelmassa vain sijoittaa arvot siihen.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10596
Liittynyt16.3.2005

Minusta tuo vaatii pikemminkin integraali- kuin differentiaalilaskua.
Etanan kulkeman tien voi linearisoida, kun pollasta leikkaa pois etanan tien ulkopuolella olevan osan, jolloin syntyy ympyrä. Ympyrästä lekataan puolet pois, ts. se osa, jolla etana ei käy, ja loppu oikaistaan janaksi. Janan pituus kasvaa vakionopeudella, eli päästään aivan tavanomaiseen Akilles/kilpikonna-ongelmaan.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Vierailija

Tässäpä ratkaisun avainkohdat, välivaiheet osannet täydentää itse:

Pallon säde on r(t) = ut+R, missä t on aika siten, että etanan lähtöhetkellä t=0. Käytetään etanan paikan kuvaamiseen kulmaa theta, joka on lähtöpaikassa 0 ja maalissa pii.

Etanan nopeus v = r d(theta) / dt (kuva auttanee tajuamaan, miksi näin). Sijoittamalla r:n ja separoimalla saat differentiaaliyhtälön d(theta) = v dt/(ut+R). Integroi se puolittain, integrointirajoina thetalle tietenkin 0 ja pii sekä ajalle t 0 ja T, sekä ratkaise lopuksi T, niin saat haluamasi lopputuloksen, paitsi tietenkin jos teit laskuvirheen

Vierailija
Zalama
Tässäpä ratkaisun avainkohdat...

Noinhan se onnistuukin, 4ov here I come...

Paljon kiitoksia avusta

Uusimmat

Suosituimmat