Seuraa 
Viestejä45973

Osaako joku selittää Taylorin sarjan perustavanlaatuisesti. Ymmärrän, että kyseessä on menetelmä, jolla voidaan approksimoida funktion potenssisarjaa, mutta siihen se ymmärrys loppuukin.

Olen yrittänyt netistä etsiä jotain helppoa esimerkkiä, jossa vaihe vaiheelta käydään loogisesti läpi Taylorin sarjan hyödyntäminen jossain perustilanteessa.

Jos täällä on matemaattisesti lahjakkaista, arvostan suuresti jäsenneltyä vastausta (menen helposti sekaisin ).

Sivut

Kommentit (17)

puukasvi
Osaako joku selittää Taylorin sarjan perustavanlaatuisesti. Ymmärrän, että kyseessä on menetelmä, jolla voidaan approksimoida funktion potenssisarjaa, mutta siihen se ymmärrys loppuukin.

Tai siis Taylorin sarja itsessään on potenssisarja ja funktiota voidaan approksimoida katkaisemalla ko. sarja halutusta kohdasta. Sarjan muodostamiseksi pitää tuntea funktion (1. ja korkeamman asteen) derivaatat tietyssä pisteessä. Katkaistusta sarjasta laskettu approksimaatio tietyssä pisteessä on sitten sitä parempi, mitä lähempänä ollaan sitä pistettä, jonka suhteen Taylorin sarja on muodostettu...

Olen yrittänyt netistä etsiä jotain helppoa esimerkkiä, jossa vaihe vaiheelta käydään loogisesti läpi Taylorin sarjan hyödyntäminen jossain perustilanteessa.

Tossa nyt muutama esimerkki:

Jos kaipaat approksimaatiota vaikka exp(x):stä, niin esimerkiksi 1+x saattaa tilanteesta riippuen olla riittävän tarkka approksimaatio. Jos taas ei ole riittävän tarkka, niin senkun otat lisää termejä mukaan... Samalla tietysti tarvittavien aritmeettisten operaatioiden määrä kasvaa.

nilkki

Tossa nyt muutama esimerkki:

Jos kaipaat approksimaatiota vaikka exp(x):stä, niin esimerkiksi 1+x saattaa tilanteesta riippuen olla riittävän tarkka approksimaatio. Jos taas ei ole riittävän tarkka, niin senkun otat lisää termejä mukaan... Samalla tietysti tarvittavien aritmeettisten operaatioiden määrä kasvaa.




Juurikin näin. Lisäksi esimerkiksi raja-arvoja on joskus kätevä tarkastella taylorin sarjasta (kunhan muistaa kehäpäätelmän vaaran noissa trigonometrisissa funktioissa )

Ihan käytännön esimerkkinä voisin mainita, että fysiikan puolella (ja käytännössä) esimerkiksi sin x on usein huomattavan mukava approksimoida taylorilla (eli käyttää lauseketta sin x = x), kun x on pieni.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
visti
Seuraa 
Viestejä6331
Cosinivalas
nilkki

Tossa nyt muutama esimerkki:

Jos kaipaat approksimaatiota vaikka exp(x):stä, niin esimerkiksi 1+x saattaa tilanteesta riippuen olla riittävän tarkka approksimaatio. Jos taas ei ole riittävän tarkka, niin senkun otat lisää termejä mukaan... Samalla tietysti tarvittavien aritmeettisten operaatioiden määrä kasvaa.




Juurikin näin. Lisäksi esimerkiksi raja-arvoja on joskus kätevä tarkastella taylorin sarjasta (kunhan muistaa kehäpäätelmän vaaran noissa trigonometrisissa funktioissa ) .

Aivan.
(1+x)^a = 1 + ax + ...
Hauska esimerkki ja monelle ehkä uusi:
Einsteinin kineettisen energian lauseke E = mc^2 - m(o)c^2 pitää olla pienillä nopeuksilla ½mv^2 siis ½m(o)v^2.
Kirjoitetaan E = m(o)c^2[ 1/Sqrt(1-(v/c)^2) - 1) = m(o)c^2[(1+x)^a - 1], missä
x = -v^2/c^2 ja a = -½.
Käytetään arviota (1+x)^a = 1 + ax ja saadaan E = m(o)c^2[1+(-v^2/c^2 )(-½) -1] =½m(o)v^2 !!!
I

Kiitos vastauksista.

Olen siis niin pihalla, että kysyn, että onko esimerkiksi
sin x= x-... (kts. Nilkin liittämä kuva) jokin sovittu asia. Siis, että esimerkiksi derivoitaessa jotain funktiota, katson sen säännön MAOL:ista (ellen jo satu muistaa sitä).

Näin ollen jos jokaiselle Taylorin funktiolle on olemassa oma "kaava", täytyy ne vain oppia ulkoa tai muistaa (vrt. derivointi ja inregrointi).

Vaiheet soveltavassa tehtävässä siis olisi, että saata funktiota sellaiseen muotoon, että voidaan hyödyntää näitä ennalta määrättyjä Taylorin funktiota. Jonka jälkeen tarkistetaan käytetään sitä (esim. sin x). Lisähaastetta tuovat nuo numerot joiden päässä on huutomerkki (5!). Täytyy katsoa mitä tuo huutomerkki numeron päässä tarkoittaa.

Hahmotan ensin kokonaisuudet, joten voitte uskoa, että matematiikan opettaja repii hiuksiaan, kun joutuu minua opettamaan.

puukasvi
Kiitos vastauksista.

Olen siis niin pihalla, että kysyn, että onko esimerkiksi
sin x= x-... (kts. Nilkin liittämä kuva) jokin sovittu asia. Siis, että esimerkiksi derivoitaessa jotain funktiota, katson sen säännön MAOL:ista (ellen jo satu muistaa sitä).

Näin ollen jos jokaiselle Taylorin funktiolle on olemassa oma "kaava", täytyy ne vain oppia ulkoa tai muistaa (vrt. derivointi ja inregrointi).


Taylorin sarjan määritelmä löytyy esim. Wikipediasta:

http://fi.wikipedia.org/wiki/Taylorin_sarja

"Avoimella välillä ]a-r,a+r[ jatkuvasti derivoituvaa reaali- tai kompleksiarvoista funktiota f voidaan approksimoida Taylorin sarjalla kirjoittamalla

Toisaalta tämä voidaan merkitä muodossa

"

Sinun ei siis tarvitse opetella ulkoa jonkin funktion Taylorin sarjaa, vaan sen pystyy laskemaan yo. määritelmän avulla. Jos viitsii vähän vilkaista noita sarjan termejä niin huomataan, että ne muodostavat polynomeja, esimerkiksi 1. termi on vakio, 1.+2. termi on pisteen a kautta kulkeva suora, 1.+2.+3. termi on pisteen a kautta kulkeva paraabeli jne. ja mitä enemmän termejä otetaan mukaan, sen suurempiasteinen polynomiapproksimaatio on kyseessä. Hyvänä puolena tuossa sarjakehitelmässä on se, että mitä korkeamman asteen termejä katsotaan, sitä vähemmän niillä on merkitystä lopputulokseen eli usein riittää tarkastella vain alemman asteluvun termejä ja katkaista sarja jostain kohtaa...

Neutroni
Seuraa 
Viestejä31323
puukasvi

Olen siis niin pihalla, että kysyn, että onko esimerkiksi
sin x= x-... (kts. Nilkin liittämä kuva) jokin sovittu asia. Siis, että esimerkiksi derivoitaessa jotain funktiota, katson sen säännön MAOL:ista (ellen jo satu muistaa sitä).



Ei, vaan se seuraa sinin ja Taylorin polynomien määritelmistä.

Näin ollen jos jokaiselle Taylorin funktiolle on olemassa oma "kaava", täytyy ne vain oppia ulkoa tai muistaa (vrt. derivointi ja inregrointi).



Ei niitä ulkoa tarvitse osata, jos osaat derivoida.

Vaiheet soveltavassa tehtävässä siis olisi, että saata funktiota sellaiseen muotoon, että voidaan hyödyntää näitä ennalta määrättyjä Taylorin funktiota. Jonka jälkeen tarkistetaan käytetään sitä (esim. sin x).



Ei, vaan alat laskea määritelmän perusteella. Esim, jos haluat sin(x):lle Taylorin polynomin pisteen x=pi/4 suhteen, niin:

0. asteen termi

sin(pi/4) = sqrt(2)/2

1. asteen termi

f'(a)*(x-a) = cos(pi/4)*(x-a) = jotain laskettavaa

2. asteen termi:

(1/2)*f''(a)*(x-a)^2 = -sin(pi/4)*(x-a)^2 = jotain laskettavaa

Ja niin edelleen.

Tuo taulukkosarja on laskettu arvolle a=0. Silloin saadaan:

0. aste:

sin(0)=0

1. aste:

cos(0)*x= x

2. aste:

1/2 * -sin(0)*x^2 = 0

3. aste:

1/3! *-cos(0) = -1/6*x^3

jne.

Lisähaastetta tuovat nuo numerot joiden päässä on huutomerkki (5!). Täytyy katsoa mitä tuo huutomerkki numeron päässä tarkoittaa.



Se on kertoma, kuten joku jo kertoi.

Hahmotan ensin kokonaisuudet, joten voitte uskoa, että matematiikan opettaja repii hiuksiaan, kun joutuu minua opettamaan.



Matematiikkaa ei voi opiskella noinpäin. Ensin detaljit ja niistä sitten muodostuu se kokonaisuus. "Kokonaisuuden hahmottaminen" ei tarkoita muuten mitään.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Neutroni
puukasvi

Olen siis niin pihalla, että kysyn, että onko esimerkiksi
sin x= x-... (kts. Nilkin liittämä kuva) jokin sovittu asia. Siis, että esimerkiksi derivoitaessa jotain funktiota, katson sen säännön MAOL:ista (ellen jo satu muistaa sitä).



Ei, vaan se seuraa sinin ja Taylorin polynomien määritelmistä.

Näin ollen jos jokaiselle Taylorin funktiolle on olemassa oma "kaava", täytyy ne vain oppia ulkoa tai muistaa (vrt. derivointi ja inregrointi).



Ei niitä ulkoa tarvitse osata, jos osaat derivoida.

Vaiheet soveltavassa tehtävässä siis olisi, että saata funktiota sellaiseen muotoon, että voidaan hyödyntää näitä ennalta määrättyjä Taylorin funktiota. Jonka jälkeen tarkistetaan käytetään sitä (esim. sin x).



Ei, vaan alat laskea määritelmän perusteella. Esim, jos haluat sin(x):lle Taylorin polynomin pisteen x=pi/4 suhteen, niin:

0. asteen termi

sin(pi/4) = sqrt(2)/2

1. asteen termi

f'(a)*(x-a) = cos(pi/4)*(x-a) = jotain laskettavaa

2. asteen termi:

(1/2)*f''(a)*(x-a)^2 = -sin(pi/4)*(x-a)^2 = jotain laskettavaa

Ja niin edelleen.

Tuo taulukkosarja on laskettu arvolle a=0. Silloin saadaan:

0. aste:

sin(0)=0

1. aste:

cos(0)*x= x

2. aste:

1/2 * -sin(0)*x^2 = 0

3. aste:

1/3! *-cos(0) = -1/6*x^3

jne.

Lisähaastetta tuovat nuo numerot joiden päässä on huutomerkki (5!). Täytyy katsoa mitä tuo huutomerkki numeron päässä tarkoittaa.



Se on kertoma, kuten joku jo kertoi.

Hahmotan ensin kokonaisuudet, joten voitte uskoa, että matematiikan opettaja repii hiuksiaan, kun joutuu minua opettamaan.



Matematiikkaa ei voi opiskella noinpäin. Ensin detaljit ja niistä sitten muodostuu se kokonaisuus. "Kokonaisuuden hahmottaminen" ei tarkoita muuten mitään.

Tunnetaan erilleen kuusi ja mänty. Sama kokonaisuuksia hahmottaen: Ei tunneta erilleen, mutta osataan sanoa: puita on monia eri lajeja.

MaKo71
Seuraa 
Viestejä1479

Tämä liittyy Taylorin sarjan käyttöön, muttei kyllä ehkä suoranaisesti alussa esitettyyn kysymykseen. Sarjakehitelmiä käytetään tietokonepuolella laskemaan erilaisten funktioiden likiarvoja silmukoilla. Sarjoista laskemalla voidaan valita tarkkuuden ja suoritusnopeuden välillä.

Otetaan esimerkiksi tuo sin-funktion sarja. Kirjoitetaan se muodossa:

sin x = x/1 - x*x*x/1*2*3 + x*x*x*x*x/1*2*3*4*5 - ...

eli:

sin x = x/1 - (x*x/2*3)*(x/1) + (x*x/4*5)*(x*x/2*3)*(x/1) - ...

Seuraava termi saadaan siis laskettua edellisestä suhteellisen yksinkertaisella kaavalla. Esimerkiksi sinin laskeminen sarjakehitelmästä Pythonilla toteutettuna:

[code:12oe1673]
def sin(x, tarkkuus):
prev = 0
summa = term = +x/1
n = 0

while abs(term-prev) > tarkkuus:
prev = term
term = -term*(x*x)/((2*n+2)*(2*n+3))
summa += term
n += 1

return summa, n

x = 0.5

import math

print math.sin(x)
print sin(x, 1e-4)
[/code:12oe1673]

pöhl
Seuraa 
Viestejä936

Ja sarjateoriassa tulee olla aina tarkkana suppenevuusehtojen ja oletusten kanssa. Taylorin sarjanhan voi muodostaa pisteen a ympärille, jos se on jossain a:n avoimessa ympäristössä jatkuvasti derivoituva. Sarjaa voi käyttää vaikkapa raja-arvolaskuissa, kunhan osoittaa, että jäännöstermi suppenee kohti nollaa.

Niin tästä kokonaisuuksien hahmottamisesta sen verran, että tiedän monia muitakin itseni kaltaisia, jotka hahmottavat asiat toisinpäin. Tiedän, että jos hahmottaa asiat valtaväestön tavoin, ei voi ymmärtää tätä. Jos minut tapaa luonnossa, hämmästyy sitä millainen olen. Teen oikeasti kaikki "väärinpäin."

Minulle ne asiat, jotka ovat valtaväestölle helppoja, ovat minulle vaikeita ja päinvastoin. Olen suosittu keskustelukumppani juuri tämän ominaisuuden takia. Jos ei ole onnistunut saamaan elämässään juttuihinsa näkökulmaa, niin minulta sitä löytyy liiankin kanssa.

Mitä tulee matematiikkaan, olen keksinyt toimivimman keinon, että aluksi ymmärrän mitä teen (vrt. kokonaisuus), jonka jälkeen paneudun yksityiskohtiin. Olen myös huomannut, että ne ihmiset, jotka osaavat minulle selittää, ymmärtävät itsekin mistä puhuvat (terveiset lukuisille lehtoreille ja professoreille, joiden kanssa olen saanut käydä mielenkiintoisia keskusteluja).

pöhl
Seuraa 
Viestejä936
puukasvi
Mitä tulee matematiikkaan, olen keksinyt toimivimman keinon, että aluksi ymmärrän mitä teen (vrt. kokonaisuus), jonka jälkeen paneudun yksityiskohtiin.

Tämä on ihan normaalia, ja teen tätä itsekin. Eihän ratkaisuja/todistuksia voi kirjoittaa ennen kuin on hahmottanut idean kokonaisuudessaan. Muistan kysyneeni joskus vuonna 2008 eräiltä tutkijoilta apua yhteen kommutatiivisen algebran todistukseen. Hekään eivät osanneet sanoa suoraa todistusta, mutta sain muutamia hyödyllisiä ajatuksia siitä, mitä työkaluja ongelman todistamiseen voisi käyttää. Ankaran miettimisen jälkeen pystyin hahmottamaan yhä enemmän todistuksen yksityiskohtia, ja lopulta parin kuukauden jälkeen ongelma ratkesi.

MooM
Seuraa 
Viestejä7998

Muutan vähän vastauksen järjestystä tässä, mollemmat quotet ovat samasta viestistä:

puukasvi

Hahmotan ensin kokonaisuudet, joten voitte uskoa, että matematiikan opettaja repii hiuksiaan, kun joutuu minua opettamaan.



puukasvi

Olen siis niin pihalla, että kysyn, että onko esimerkiksi
sin x= x-... (kts. Nilkin liittämä kuva) jokin sovittu asia. Siis, että esimerkiksi derivoitaessa jotain funktiota, katson sen säännön MAOL:ista (ellen jo satu muistaa sitä).



Minusta kun tuo jälkimmäinen on nimenomaan esimerkki siitä, että ei hahmota kokonaisuutta (mitä Taylorin sarja tarkoittaa, josta seuraa lähes suoraan sen määritelmä), vaan yrittää ymmärtää asiaa yksittäistapauksien kautta. Jälkimmäinen on huomattavan paljon työläämpi tapa, eikä soveltaminen onnistu ollenkaan. Silti yllättävän moni esim. lukiotasolla tai vaikka sivuainematematiikassa korkeakoulutasolla porskuttaa juuri tuolla strategialla.

"MooM": Luultavasti entinen "Mummo", vahvimpien arvelujen mukaan entinen päätoimittaja, jota kolleega hesarista kuvasi "Kovan luokan feministi ja käheä äänikin". https://www.tiede.fi/keskustelu/4000675/ketju/hyvastit_ja_arvioita_nimim...

Puuhikki, mitä opiskelet? Oletko huomannut, että tyylisi hahmottaa matematiikka on helpottunut ajan mittaan.

Tapasin kerran luennolla pojan, joka myös hahmotti asioita kokonaisuuksista yksityiskohtiin. Hän teki kovasti töitä periaatteessa yksinkertaistenkin laskujen kanssa, mutta minusta tuntuu, että hän kävi läpi kaikki vaihtoehdot ennen kuin ratkaisi tehtävät lopullisesti. Tyyliin yritä ja erehdy -meiningillä.

Itselläni menee usein eniten työtä siihen, että löytää jonkun hyvän teoksen tai lähteen, jotta pääsee tekemään ongelmanratkaisuketjua. Joskus jopa keskustelu oikean ihmisen kanssa auttaa. Tämän jälkeen asiat tuntuvat helpoilta ja sitä ihmettelee, miten jotkut ihmiset eivät koskaan opi.

pöhl
Seuraa 
Viestejä936
puukasvi
Puuhikki, mitä opiskelet? Oletko huomannut, että tyylisi hahmottaa matematiikka on helpottunut ajan mittaan.

Valmistuin maisteriksi matematiikasta vuonna 2009. Nyt työttömänä opiskelen tilastotiedettä Itä-Suomen avoimessa yliopistossa. Kyllähän se hahmottaminen helpottuu koko ajan. Tämä on ihan luonnollista. Jos törmään tänään uuteen lauseeseen ja katson todistuksen yksityiskohdat läpi, niin seuraavan kerran tunnistankin lauseen ja voin hyödyntää sitä suoraan.

Toisaalta uusia kohdatessani uusia tuloksia on todistus palautettava aiempiin, ja se ei ole aina ihan helppoa, jos artikkeli on vierasta asiaa. Kävin aikoinani Päivölässä matematiikan olympiavalmennuksessa, ja siellä opin ehkä parhaiten hahmottamaan vaikeita asioita ja tekemään siistejä todistuksia.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat