Seuraa 
Viestejä45973

Tuli tänään taas yritettyä Neljän tieteen kisojen matematiikkaa, tällä kertaa avoimessa sarjassa. Kolme tehtävää sain, ne olivat minusta viime vuosia simppelimpiä, mutta neljäs jäi mietityttämään. Miten tässä pitäisi edetä? Yritin sinilauseella ja kulmanpuolittajalauseella mutta tulin vain vahingossa johtaneeksi jälkimmäisen. Tehtävä oli seuraavanlainen:

Piirretään terävä kulma pisteestä A ja sille kulmanpuolittaja. Valitaan puolittajalta sattumanvaraisesti piste P ja toiselta kyljeltä piste B. Piirretään näiden kautta kulkeva suora. Suoran ja toisen kyljen leikkauspistettä merkitään C:llä. Todista, että huolimatta siitä, mihin kohtaan piste B merkitään, lauseke 1/abs(AB) + 1/abs(AC) saa vakioarvon, kun piste P pidetään paikallaan.

Yritin lähteä siitä, että kummallakin muodostuvalla kolmiolla (ABP ja ACP) on sama kulma alfa ja yksi sivuista sama, mutta loppujen lopuksi sinilauseen väänteleminen ja käänteleminen tuotti kulmanpuolittajalauseen. Pitäisiköhän tehdä kaksi pistettä B ja B' ja jotenkin osoittaa niiden avulla tulevan lausekkeen arvoksi yhtä suuri. Toivoin aluksi, että saisin jotenkin supistumaan lausekkeen niin, että siinä olisi tyyliin vain janan AP pituus ja kulma alfa (vakioita) ja ehkä vaikka pii, mutta eipähän supistunut mihinkään.

Ja tämä ei siis todellakaan ole läksytehtävä eikä ensimmäinen viestini liittymispäivänäni Kismittää vain, kun en tajunnut, vaikka oli hyvin aikaa pohtia, ja nyt tekisi mieleni saada oikea metodi selville.

Niin, ja jos jotakuta kiinnostaa muut tehtävät (ne helpot), ne ovat alla. Tietty tuo yllä olevakin on luultavasti helppo...

1. Määritellään laskutoimitus * seuraavasti: a*b = a^2 + b^2 -ab. Ratkaise yhtälö (sitten oli jokin yhtälö, jota en muista; siitä tuli ihan perus kolmannen asteen yhtälö, josta sai vielä helposti ratkaistua päässä juuret).

2. Liisa ja Olli pelaavat peliä. Heillä on 2012 pelimerkkiä. Peli menee niin, että kumpikin ottaa vuorotellen 1,2 tai 3 pelimerkkiä. Viimeisen pelimerkin ottanut voittaa. Liisa aloittaa. Voiko jompikumpi voittaa aina varmasti, jos pelaa oikealla taktiikalla?

3. Viekas kuningas lupaa puoli valtakuntaa sille, joka suoriutuu haasteestaan. Pitää tehdä töitä shakkilaudan 64 ruudun joka ruudussa niin, että ensimmäisessä tekee päivän töitä, toisessa kaksi päivää, kolmannessa neljä ja niin edelleen. Jos työt alkavat maanantaina ja ei pidetä yhtään vapaapäiviä, minä viikonpäivänä työt ovat valmiit?

Sivut

Kommentit (47)

pöhl
Seuraa 
Viestejä937
Raven
Piirretään terävä kulma pisteestä A ja sille kulmanpuolittaja. Valitaan puolittajalta sattumanvaraisesti piste P ja toiselta kyljeltä piste B. Piirretään näiden kautta kulkeva suora. Suoran ja toisen kyljen leikkauspistettä merkitään C:llä. Todista, että huolimatta siitä, mihin kohtaan piste B merkitään, lauseke 1/abs(AB) + 1/abs(AC) saa vakioarvon, kun piste P pidetään paikallaan.

Tein samantyyppisen tehtävän aikoinani harjoitellessani matikan olympiavalmennustehtäviä. Siinä ratkaisun ideana oli piirtää janan AC kanssa yhdensuuntainen jana PD, missä D on janalla AB. Sitten kolmioiden ABC ja DBP yhdenmuotoisuudesta saatiin tarvittavia sivujen suhteita, joilla lauseke saatiin todistettua vakioksi. Tosin tehtävä ei ollut ihan sama, joten en ole täysin varma toimiiko sama lähestymistapa tähän probleemaan.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
Raven

Piirretään terävä kulma pisteestä A ja sille kulmanpuolittaja. Valitaan puolittajalta sattumanvaraisesti piste P ja toiselta kyljeltä piste B. Piirretään näiden kautta kulkeva suora. Suoran ja toisen kyljen leikkauspistettä merkitään C:llä. Todista, että huolimatta siitä, mihin kohtaan piste B merkitään, lauseke 1/abs(AB) + 1/abs(AC) saa vakioarvon, kun piste P pidetään paikallaan.

Yöllä sängyssä yritin miettiä, ainut tulos oli ajatus tehtävän virheellisyydestä.
Eikös siinä pitäisi olla 1/AB + 1/AC?
Nyt lähetään mettään kuvailemaan sieniä. Jää miettiminen myöhempään.

Yöllä sängyssä yritin miettiä, ainut tulos oli ajatus tehtävän virheellisyydestä.
Eikös siinä pitäisi olla 1/AB + 1/AC?



Paperissa nuo AB ja AC olivat itseisarvoissa. Janojen pituutta tuossa joka tapauksessa tarkoitetaan. Se oli siis kirjoitettu paperille 1/|AB| + 1/|AC|

H
Seuraa 
Viestejä2622
Raven
Piirretään terävä kulma pisteestä A ja sille kulmanpuolittaja. Valitaan puolittajalta sattumanvaraisesti piste P ja toiselta kyljeltä piste B. Piirretään näiden kautta kulkeva suora. Suoran ja toisen kyljen leikkauspistettä merkitään C:llä. Todista, että huolimatta siitä, mihin kohtaan piste B merkitään, lauseke 1/abs(AB) + 1/abs(AC) saa vakioarvon, kun piste P pidetään paikallaan.

Sijoitetaa tehtävä kordinaatistoon niin, että A on origo ja puolittaja positiivisella x-akselilla. Kulman muodostavat suorat y1 = ax ja y2 = -ax. Piste P = (p,0). Sen ja pisteen B kautta kulkee suora yp = b(x-p).

Rakaistaan suorien leikkauskohdat

ax = b(x-p) => x1 = p/(1-a/b)
-ax = b(x-p) => x2 = p/(1+a/b)

Koska y:n arvit ovat suoraan verrannollisia x:n arvoihin, myös leikkauspisteiden etäisyydet ovat suoraan verrannollisia x:n arvoihin. =>

1/(p/(1-a/b)) + 1/(p/(1+a/b)) = (1-a/b)/p + (1+a/b)/p = 2/p

visti
Seuraa 
Viestejä6331

Jos mielikuvitus puuttuu kokonaan voi tehtävän ratkaista analyyttisesti koordinaatistossa.
A on origo ja kulmien kylkinä puolisuorat y = +-kx. Nyt positiivinen x-akseli puolittaa kulman.
P olkoon (p,0), missä p>0. Suora, jonka kulmakerroin on t, kulkee P:n kautta: y-0 =t(x-p).
Tässä t>k tai t<-k. (*)
Laketaan B ja C, muodostetaan käänteisarvojen summa sievenn. itseisarvot ja otet. huomioon (*). Nyt tulos tulee nätisti.

Enpä malta olla "julkaisematta", kun ennen sinua aloitin ja vaimo vei julmasti välillä sienimetsään.

Minä olen tästä kyllä vieläkin aika pihalla. Mielestäni laskevalla suoralla B_C ei tule sama vakio kuin nousevalla ja pystysuoralla ei tule vakiota ollenkaan, ja noissa vakioissakin on vielä kulman kosini mukana. Kuinkahan noitten itseisarvojen kanssa ihan virallisesti pelataan ?

No tulee siitä pystysuorasta sama 2cos(alfa)/p, kun sijoittaa k:n paikalle tan(alfa), mutta se laskeva suora on vielä itseisarvojensa kanssa epäselvä

No nyt selvisi. Siinä pitää heti alusta pitäen laittaa molempien kulmakertoimien paikalle tan(alfa) ja tan(fii). Silloin ei tarvitse erotella mitään laskevia tai nousevia suoria, ja automaattisesti kun ottaa molemmista termeistä itseisarvot, niin sama vakio tulee kuin tuossa pystysuorassa tapauksessakin.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
H

Sijoitetaa tehtävä kordinaatistoon niin, että A on origo ja puolittaja positiivisella x-akselilla. Kulman muodostavat suorat y1 = ax ja y2 = -ax. Piste P = (p,0). Sen ja pisteen B kautta kulkee suora yp = b(x-p).

Rakaistaan suorien leikkauskohdat

ax = b(x-p) => x1 = p/(1-a/b)
-ax = b(x-p) => x2 = p/(1+a/b)

Koska y:n arvit ovat suoraan verrannollisia x:n arvoihin, myös leikkauspisteiden etäisyydet ovat suoraan verrannollisia x:n arvoihin. =>

1/(p/(1-a/b)) + 1/(p/(1+a/b)) = (1-a/b)/p + (1+a/b)/p = 2/p


Hienosti laskettu, lyhyt ja selvä esitys.

Tossa on vielä tommonen, mutta tuohon pääseminen edellyttää kyllä, että laskee sen vakion ensin siitä pystysuorasta tapauksesta, jotta tietää mihin tähtää....
http://aijaa.com/oyRSDA

Nuo "itseisarvomerkit" taitavat itse asiassa olla vektoreiden pituuksia, ja jos tässä todellakin pitää vektoreiden pituuksilla pelata, niin tuossa on vielä toi
http://aijaa.com/2DyDN8
Varmasti tähän on olemassa joku parin rivin vektoritodistus, minä en sitä vain keksi, joku varmaan sen laittaa..

Se näköjään lukikin tuolla ylempänä, että ovat nimenomaan vektoreiden pituuksia, olisinpa lukenut senkin ennemmin..

mölkhö
Tossa on vielä tommonen, mutta tuohon pääseminen edellyttää kyllä, että laskee sen vakion ensin siitä pystysuorasta tapauksesta, jotta tietää mihin tähtää....
http://aijaa.com/oyRSDA

Nuo "itseisarvomerkit" taitavat itse asiassa olla vektoreiden pituuksia, ja jos tässä todellakin pitää vektoreiden pituuksilla pelata, niin tuossa on vielä toi
http://aijaa.com/2DyDN8
Varmasti tähän on olemassa joku parin rivin vektoritodistus, minä en sitä vain keksi, joku varmaan sen laittaa..

Se näköjään lukikin tuolla ylempänä, että ovat nimenomaan vektoreiden pituuksia, olisinpa lukenut senkin ennemmin..




Sinilauseella ratkaisu tulee paljon helpommin, ja se vektoreiden pituuksilla osoittaminenkin menee yksinkertaisilla vektorilenkeillä ja nillä kulmilla, joita jo aikaisemminkin tuputin...
http://aijaa.com/t2fCke (jostain kohtaa puuttui vektorimerkki ja sitten ainakin yhdestä kohtaa p : pituuden merkit ja vektorimerkki siitäkin, mutta en viitsi enää korjata, ja on lähdettävä töihinkin)

Niin, ja jos sitten vielä se ratkaisu, jota tässä varmaankin haettiin, eli ristitulo-jutska.

Kuvissani olevien pienten kolmioiden pinta-alat ovat: A1=|CXP|/2, ja A2=|BXP|/2.
Niiden summa on ison kolmion pinta-ala A=|CXB|/2. (B,C ja P ovat vektoreita, X=ristitulo.)

|CXP|=|C|*|P|*Sin(alfa), | BXP|=|B|*|P|*Sin(alfa) ja |CXB|=|C|*|B|*Sin(2alfa).

Yhdistämällä tulee: |C|*|P|+|B|*|P| = 2*|C|*|B|*Cos(alfa), (sin2x=2sinxcosx).

Jaetaan ( |B|*|C|*|P|):llä, ja tulee: 1/|B|+1/|C|=2*cos(alfa)/|P|

Tässä ristitulo-jutskassa täytyy koko höskä sijoittaa koordinaatiston ensimmäiseen neljännekseen, (sehän on mahdollista, koska 2alfa on terävä), jottei sin(alfa) mene negatiiviseksi.

Puuhikki
Kaksi muuta todistusta löytyy SE:stä. Tuo skew reference system on uusi termi minulle.

Tehtävässä annetaan terävä kulma ja äijä sitten esittää tuossa jälkimmäisessä skew referencissään todistuksen tapaukselle, jossa annettu kulma on 90 astetta.

Paremmin katsottuna siinähän onkin annetun kulman mukainen koordinaatisto, eli `
x`-akseli on AB ja y`=AC suuntainen, ja siinä koordinaatistossa tuo on vakio 1.

mölkhö
mölkhö
Tossa on vielä tommonen, mutta tuohon pääseminen edellyttää kyllä, että laskee sen vakion ensin siitä pystysuorasta tapauksesta, jotta tietää mihin tähtää....
http://aijaa.com/oyRSDA

Nuo "itseisarvomerkit" taitavat itse asiassa olla vektoreiden pituuksia, ja jos tässä todellakin pitää vektoreiden pituuksilla pelata, niin tuossa on vielä toi
http://aijaa.com/2DyDN8
Varmasti tähän on olemassa joku parin rivin vektoritodistus, minä en sitä vain keksi, joku varmaan sen laittaa..

Se näköjään lukikin tuolla ylempänä, että ovat nimenomaan vektoreiden pituuksia, olisinpa lukenut senkin ennemmin..




Sinilauseella ratkaisu tulee paljon helpommin, ja se vektoreiden pituuksilla osoittaminenkin menee yksinkertaisilla vektorilenkeillä ja nillä kulmilla, joita jo aikaisemminkin tuputin...
http://aijaa.com/t2fCke (jostain kohtaa puuttui vektorimerkki ja sitten ainakin yhdestä kohtaa p : pituuden merkit ja vektorimerkki siitäkin, mutta en viitsi enää korjata, ja on lähdettävä töihinkin)

Niin, ja jos sitten vielä se ratkaisu, jota tässä varmaankin haettiin, eli ristitulo-jutska.

Kuvissani olevien pienten kolmioiden pinta-alat ovat: A1=|CXP|/2, ja A2=|BXP|/2.
Niiden summa on ison kolmion pinta-ala A=|CXB|/2. (B,C ja P ovat vektoreita, X=ristitulo.)

|CXP|=|C|*|P|*Sin(alfa), | BXP|=|B|*|P|*Sin(alfa) ja |CXB|=|C|*|B|*Sin(2alfa).

Yhdistämällä tulee: |C|*|P|+|B|*|P| = 2*|C|*|B|*Cos(alfa), (sin2x=2sinxcosx).

Jaetaan ( |B|*|C|*|P|):llä, ja tulee: 1/|B|+1/|C|=2*cos(alfa)/|P|

Tässä ristitulo-jutskassa täytyy koko höskä sijoittaa koordinaatiston ensimmäiseen neljännekseen, (sehän on mahdollista, koska 2alfa on terävä), jottei sin(alfa) mene negatiiviseksi.

Ei tämä nyt vielä tähän jäänyt, näitä vektoreita kun on niin mukava käsitellä:
http://aijaa.com/gDv50u Tämmöinenkin vielä, ja tuossa vois noi molemmat puolet "pistetulouttaa" itsensäkin kanssa ja silloin päädyttäisiin tuohon kosinilauseosoitukseen. Sitten semmoinenkin, että jos p-vektorin yksikkövektori on e, niin B:n ja C:n yksikkövektori on cos(alfa)e, ja ne sijoitetaan tuohon vektoriyhtälöön ( p-vektori = p:n pituus*e, B-vektori=B:n pituus*cos(alfa)e, jne..)

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
mölkhö

Ei tämä nyt vielä tähän jäänyt




Joo, ei jätetä vielä.

Tässä esitettiin kaksi muutakin mielenkiintoista tehtävää. Tykkäsin tästä kolmannesta. Voi olla liiankin helppo niille, jotka ovat enemmän puuhastelleet matematiikan parissa. Päässälaskuna.
Selitys mieluusti mukaan.

3. Viekas kuningas lupaa puoli valtakuntaa sille, joka suoriutuu haasteestaan. Pitää tehdä töitä shakkilaudan 64 ruudun joka ruudussa niin, että ensimmäisessä tekee päivän töitä, toisessa kaksi päivää, kolmannessa neljä ja niin edelleen. Jos työt alkavat maanantaina ja ei pidetä yhtään vapaapäiviä, minä viikonpäivänä työt ovat valmiit?

pöhl
Seuraa 
Viestejä937
Jorma
3. Viekas kuningas lupaa puoli valtakuntaa sille, joka suoriutuu haasteestaan. Pitää tehdä töitä shakkilaudan 64 ruudun joka ruudussa niin, että ensimmäisessä tekee päivän töitä, toisessa kaksi päivää, kolmannessa neljä ja niin edelleen. Jos työt alkavat maanantaina ja ei pidetä yhtään vapaapäiviä, minä viikonpäivänä työt ovat valmiit?

Sikäli huono tehtävä, että lukujono voi jatkua miten tahansa. Jo pelkästään OEISissa luvut 1, 2, 4 esiintyvät peräkkäin 8851 eri jonossa, ja kaiken kaikkiaan jonoja on tietysti äärettömän monta.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat