Seuraa 
Viestejä8877

Suora kopio eräästä kuentomateriaalista

Elektronilla on rataliikkeeseen liittyvän kulmaliikemäärän lisäksi myös
sisäinen kulmaliikemäärä, lyhyesti spin. Elektronin sisäinen
kulmaliikemäärä on ymmärrettävissä Diracin yhtälön, jonka olemme
maininneet relativististen energiakorjausten yhteydessä, avulla.

Relativistisessa kvanttimekaniikassa spinin olemassaolo on luonnollinen
seuraus vaatimuksesta, jonka mukaan kenttäyhtälöjen on oltava
muodoltaan samoja koordinaatistoissa, jotka liikkuvat toistensa suhteen
vakionopeudella (vrt. erikoinen suhteellisuusteoria).

Ei-relativistisessa kvanttimekaniikassa joudutaan tekemään erillinen lisäoletus elektronin
spinin olemassaolosta.

Elektronin spiniä voidaan havainnollistaa myös klassisen mekaniikan ja sähkömagnetismin avulla. Voimme ajatella, että elektroni, samalla kuin se kiertää atomin ydintä, pyörii oman akselinsa ympäri. Ts. atomin elektronit muodostavat eräänlaisen aurinkokunnan
kaltaisen planeettajärjestelmän, jossa kokonaiskulmaliikemäärä koostuu
rataliikkeen ja massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri
tapahtuvan pyörimisen kulmaliikemäärän summasta. Elektroni on varattu
hiukkanen, joten sen pyörimiseen oman akselinsa ympäri liittyy
magneettinen momentti aivan kuten tasaisesti varatun pallon pyöriessä
akselinsa ympäri. Nämä mielikuvat ovat hyödyllisiä, mutta on hyvä
muistaa, että spin ja spinmagneettinen momentti ovat elektroniin liittyvän
aineaaltokentän ominaisuuksia ja spinin olemassaolo seuraa
suhteellisuusteorian kvanttimekaniikalle asettamista vaatimuksista.




Sii ei-relavistisessa tapauksessa spin saisi luonnollisen selityksen, mutta relavistisessa tapauksessa luonnollista selitystä ei ole, mutta se johtuu suhtiksen vaatimuksesta. Merkillinen tuo suhtis kun kaikki täytyy taivuttaa siihen sopivaksi. Tämä nyt siitä riippumatta että spinin löytymistä on suhteellisuusteoreettinen vaatimus edesauttanut.

Pelkästään jo toistensa suhteen liikkuvat koordinaatistot ovat hieman outoja otuksia, yleensähän koordinaatistot ilmentävät sidonnaisuutta johonkin olevaiseen (eli koordinaatisto on yleensä kiinnitetty johonkin kappaleeseen tai massalliseen / varaukselliseen hiukkaseen). Kun kaksi olevaista liikkuu toistensa suhteen nämä tietysti vaikuttavat toinen toisiinsa ja kenttäyhtälöt riippuvat suhteellisesti toistensa kentistä tietysti, vaikka yhtälöiden muoto säilyykin niin sähkö- ja magneettikenttien kenttävoimakkuudet muuttuvat suhteellisesti,

Sivut

Kommentit (37)

Jos kaksi teoriaa on mahdollista esittää siten etteivät ne ole ristiriidassa keskenään niin paljon parempihan se on, ja kun tuo suhtis tuppaa olemaan sen verta pätevä että vähintäänkin luonnollista että siihen verrataan. Mieleen heräsi hieman OT kysymys: miten spinin voi selittää jos elektroni on aaltofunktio? Miten aalto voi pyöriä "akselinsa ympäri"?

PS. Toistensa suhteen suhteelliset koordinaatistot on kyllä jänniä, olisi hienoa osata simuloida tietokoneella kaksi kolmiulotteista(miksei nelikin ) koordinaatistoa jotka mukautuvat toistensa muutoksiin, pienellä kikkailulla voisi saada aika-avaruuden jo aikamoiseen solmuun.

David
Seuraa 
Viestejä8877
Šamaani
Jos kaksi teoriaa on mahdollista esittää siten etteivät ne ole ristiriidassa keskenään niin paljon parempihan se on, ja kun tuo suhtis tuppaa olemaan sen verta pätevä että vähintäänkin luonnollista että siihen verrataan. Mieleen heräsi hieman OT kysymys: miten spinin voi selittää jos elektroni on aaltofunktio? Miten aalto voi pyöriä "akselinsa ympäri"?

Tuo suhtiskritiikki lähti siitä että suhtista perustellaan kvanttimekaniikalla, mikä tuon tiedon valossa on hieman kyseenalaista. Kritiikkini ei kohdistu suhtikseen sinänsä vaan noihin perusteettomina pitämiini perusteluihin.

Mietin taannoin samaa elektroniverhoon liittyen ja päädyin ajatukseen että voisi kait se periaatteessa vyöryä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
David
Seuraa 
Viestejä8877

Toisaalta, jos tuollainen vyörymisilmiö (aallon pyöriminen) oletetaan, niin siitä automaattisesti seuraa että määrätyn piirin matkalla aaltoluku täytyy mennä tasan (kuten atomimallissa on esitettykin), muutoin jatkuva vyöryntä ei olisi mahdollista.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
David
Sii ei-relavistisessa tapauksessa spin saisi luonnollisen selityksen, mutta relavistisessa tapauksessa luonnollista selitystä ei ole



Ei, vaan päinvastoin. Lue uudelleen. Ja se sama vaatimus pätee myös klassisessa elektrodynamiikassakin.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

David
Seuraa 
Viestejä8877
bosoni
David
Sii ei-relavistisessa tapauksessa spin saisi luonnollisen selityksen, mutta relavistisessa tapauksessa luonnollista selitystä ei ole



Ei, vaan päinvastoin. Lue uudelleen. Ja se sama vaatimus pätee myös klassisessa elektrodynamiikassakin.



Perustin ajatukseni alla olevaan lainaukseen, suhtiksessa kyse on kyseenalaisesta postulaatista, joka pätee tietysti ainakin alhaisilla nopeuksilla, mutta ei välttämättä sellaisenaan lähellä valonnopeutta. Kyse on sen osalta pelkästä olettamasta jonka varaan se matematiikka on rakennettu. Eikä kyse ollut suhteellisuuteoriaan kohdistuvasta kritiikistä vaan kritiikistäni sitä kohtaan että kvanttimekaaninen yhteys todistaisi jotain suhtiksen puolesta.
Elektronin spiniä voidaan havainnollistaa myös klassisen mekaniikan ja sähkömagnetismin avulla. Voimme ajatella, että elektroni, samalla kuin se kiertää atomin ydintä, pyörii oman akselinsa ympäri.

Tuohan on selvä fysikaalinen malli, vaikka se ei sellaisenaan pitäisikään paikkaansa, eikä pelkkä semanttinen selitys / vaatimus.

Vaatimus voi päteä toki klassisessa elektrodynamiikassakin, mutta sama rajoite saattaa liittyä siihenkin, mitä noihin suuriin nopeuksiin tulee. Ovatko ne kenttävuorovaikutukset enää samoja kun nopeus lähestyy valon nopeutta - epäilen vahvasti. Epäilys lähtee siitä, että valon nopeudella liikutaan käytännöllisesti katsoen koko taustan (kaikkien kappaleiden) suhteen suurella nopeudella eikä pelkästään suhteessa toiseen kappaleeseen. Luonnonlait ovat toki molemmissa tapauksissa samoja (mitä sitten ikinä ovatkaan), mutta reunaehdot (ulkoiset vuorovaikutukset) eivät.

Kaikki fyysikot eivät suinkaan hyväksy kvanttifysiikan outouksia. He ovat tulleet ajatukseen, että aika-avaruus ei ehkä olekaan kvanttifysiikan todellinen "kotimaa".

Kvanttifysiikan todellinen "kotimaa", operointisubstanssi, on ehkä piilossa vakuumin syvyyksissä.

http://www.sciencedaily.com/releases/20 ... 142217.htm

Matematiikka kuitenkin heijastaa kvanttifysiikan kokeellisestikin todettua olemusta, esimerkiksi juuri spiniä ja yleisesti kvantittumista, tunneloitumista jne.

Joku platonistinen matematiikan professori, jollaisia useimmat heistä Osmo Pekosen mukaan ovatkin, voisi ehkä ajatella, että vakuumi on sekä hiukkasten ominaisuuksia ja käyttäytymistä ohjaavan että ajattelussa matemaatikolle paljastuvan relaatiojärjestelmän - ja myös kvanttifysiikan "kotimaa".

David
Seuraa 
Viestejä8877

Noihin edellisiin viesteihini lisäksi, että käsitteellisesti tuo "erillinen lisäoletus" kuulostaa hassulta, koska voisi olettaa että elektronien käyttäytymisen osalta kaikki mahdolliset liiketilat ovat todennäköisiä, jotka sähkömagneettiset vuorovaikutukset suinkin salliivat. Itse asiassa olisi outoa, jos jotain sellaista liiketilaa ei ilmenisi, joka on mahdollinen eikä niinpäin että joudutaan tekemään "lisäoletus" jo tunnettujen liiketilojen lisäksi.

MooM
Seuraa 
Viestejä8021

Minä ajattelen spiniä vain hiukkasen yhtenä ominaisuutena, ja nimenomaan kvanttimekaniikan kannalta. Varmaan sitä voi katsella suhteellisuusteorian kannaltakin, mutta ei se mitenkään välttämätöntä ole. Spin ei myöskään liity mitenkään vain elektroneihin, esimerkiksi neutronilla (varaukseton hiukkanen) on spin 1/2. Ja esimerkiksi magneettikuvaus perustuu protonien spinien nettomagnetisaatioon magneettikentässä.

Hiukkasen spin ei ole niin konkreettinen kuin vaikka varaus, mutta sitä voi havainnollistaa vaikka noin pyörivänä varausjakaumana tai virtasilmukkana (jota se tarkkaan ottaen ei tietysti ole, koska alkeishiukkaset eivät ole makroskooppisia kappaleita, vaan niin "pieniä", että kvanttimekaaniset ominaisuudet ovat näkyvillä ja määrittävät käyttäytymistä)

Alltofunktio ei ole varsinaisesti aalto, vaan hiukkasen tilan kuvaus. Nimi tulee kai tietyistä erikoistapauksista, joissa aaltofunktio on rakennettu esim. sinifunktioista, joita voi ajatella aaltoina. Ajatus aallon pyörimisestä on hauska, mutta ei liity aaltofunktioon sinänsä.

"MooM": Luultavasti entinen "Mummo", vahvimpien arvelujen mukaan entinen päätoimittaja, jota kolleega hesarista kuvasi "Kovan luokan feministi ja käheä äänikin". https://www.tiede.fi/keskustelu/4000675/ketju/hyvastit_ja_arvioita_nimim...

MooM
Seuraa 
Viestejä8021
petsku
MooM
Nimi tulee kai tietyistä erikoistapauksista, joissa aaltofunktio on rakennettu esim. sinifunktioista, joita voi ajatella aaltoina.

Eiköhän se tule siitä, että Schrödingerin yhtälö on muodoltaan aaltoyhtälö. Voin toki olla väärässäkin.



Toki noin, mutta aaltoyhtälökään ei (välttämättä) liity suoraan konkreettisiin aaltoihin, vaan on yleisempi. Mietin vain, mistä aaltoyhtlö on saanut nimensä alun perin.

Esimerkiksi kun kuvataan ytimen spinejä ja niiden käyttäytymistä magneettikentässä, Schrödingerissä Hamiltoniin pakataan paljon erilaisia vuorovaikutuksia kuvaavia termejä sen mukaan, mitkä mekanismit ovat oleellisia tilanteessa.

"MooM": Luultavasti entinen "Mummo", vahvimpien arvelujen mukaan entinen päätoimittaja, jota kolleega hesarista kuvasi "Kovan luokan feministi ja käheä äänikin". https://www.tiede.fi/keskustelu/4000675/ketju/hyvastit_ja_arvioita_nimim...

David
Seuraa 
Viestejä8877
MooM
Alltofunktio ei ole varsinaisesti aalto, vaan hiukkasen tilan kuvaus. Nimi tulee kai tietyistä erikoistapauksista, joissa aaltofunktio on rakennettu esim. sinifunktioista, joita voi ajatella aaltoina. Ajatus aallon pyörimisestä on hauska, mutta ei liity aaltofunktioon sinänsä.

Luulisin että viime kädessä kyse on sähkömagneettisten kenttien keskinäisistä vuorovaikutuksista, jotka joissain yhteyksissä ilmenevät hiukkasmaisesti ja esim. atomimittakaavassa jonkinlaisena pilvimäisenä muodostelmana, joka sitten omaa makroskooppisesti tulkittavia aaltomaisia piirteitä.

Tuohon sovitettuna aallon pyöriminen on varsin kuvaava käsite. Pyörivä varauskenttä luo (omaamansa sähkökentän lisäksi) tietysti ympärilleen vastavuoroisen magneettikentän ja näistä vuorovaikutuksista seuraa kvantittuminen varauksellisten hiukkasten välille.

Matemaattisesti voidaan asioita käsitellä yksinkertaistettuna, mutta todellisuudessa taustalla on oltava selkeät syyseuraussuhteet.

hmk
Seuraa 
Viestejä1038
David
Merkillinen tuo suhtis kun kaikki täytyy taivuttaa siihen sopivaksi. Tämä nyt siitä riippumatta että spinin löytymistä on suhteellisuusteoreettinen vaatimus edesauttanut.



Siis, kun suhteellisuusteoriaa käytetään teorianmuodostuksen suunnannäyttäjänä, saadaan teorioita, jotka kuvaavat todellisuutta erittäin hyvin: ajattele suhteellisuusteoriaa vaikkapa luotettavana oppaana. Kvanttimekaniikan tapauksessa suhteellisuusteorian huomioiminen johtaa luonnollisella tavalla mm. spinin ja antimaterian käsitteisiin, sähköstatiikka puolestaan laajenee suhteellisuusteorian avulla yleiseksi sähkömagnetismiksi, jne. Tuossa yllä jopa oikeastaan tunnustat tämän tosiseikan, mutta siitä huolimatta on mielestäsi kummallista käyttää suhteellisuusteoriaa teorianmuodostuksen suunnannäyttäjänä?

Aika ristiriitainen mielipide sinulla, luultavasti peräisin jostain subjektiivisesta vastenmielisyydestä suhteellisuusteoriaa kohtaan. Oikeastihan empiirinen validiteetti on se fysikaalisen teorian keskeisin kriteeri -- eikä suinkaan mikään henkilökohtainen mieltymys tai ennakkoluulo siitä, millainen maailman tulisi olla.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8877
hmk
David
Merkillinen tuo suhtis kun kaikki täytyy taivuttaa siihen sopivaksi. Tämä nyt siitä riippumatta että spinin löytymistä on suhteellisuusteoreettinen vaatimus edesauttanut.



Siis, kun suhteellisuusteoriaa käytetään teorianmuodostuksen suunnannäyttäjänä, saadaan teorioita, jotka kuvaavat todellisuutta erittäin hyvin: ajattele suhteellisuusteoriaa vaikkapa luotettavana oppaana. Kvanttimekaniikan tapauksessa suhteellisuusteorian huomioiminen johtaa luonnollisella tavalla mm. spinin ja antimaterian käsitteisiin, sähköstatiikka puolestaan laajenee suhteellisuusteorian avulla yleiseksi sähkömagnetismiksi, jne. Tuossa yllä jopa oikeastaan tunnustat tämän tosiseikan, mutta siitä huolimatta on mielestäsi kummallista käyttää suhteellisuusteoriaa teorianmuodostuksen suunnannäyttäjänä?

Voihan sitä käyttää suunnannäyttäjänä, mutta ei silti pidä tehdä rengistä isäntää. Minähän kritisoin vain sitä, että kvanttimekaniikkaa käytetään keppihevosena tässä tarkoituksessa. Jos varsin loogisella "lisäoletuksella", jos tuollaista nimitystä haluaa käyttää, päästään samaan tulokseen semiklassisella mallilla niin mielestäni se on hyväksyttävämpi peruste kuin suhteellisuusteorian tyyppiset aikahyppyteoreemat tai monimaailmatulkinnat.

hmk
Aika ristiriitainen mielipide sinulla, luultavasti peräisin jostain subjektiivisesta vastenmielisyydestä suhteellisuusteoriaa kohtaan. Oikeastihan empiirinen validiteetti on se fysikaalisen teorian keskeisin kriteeri -- eikä suinkaan mikään henkilökohtainen mieltymys tai ennakkoluulo siitä, millainen maailman tulisi olla.

Kyse on teorian mielekkyydestä, vastenmielisyyteni ei kohdistu pelkästään suhteellisuusteoriaa kohtaan, vaan kaikkia sellaisia teorioita kohtaan joiden mielekkyys on kyseenalainen vaikka tutkimukset osoittaisivatkin tuloksellista yhdenmukaisuutta. Jos mitään muuta mielekkäämpää tapaa kuvata todellisuutta samoilla tuloksilla, hyväksyn teorian lähtökohdat alustavasti, mutta yritän silti löytää luontevamman selityksen.

hmk
Seuraa 
Viestejä1038
David
Voihan sitä käyttää suunnannäyttäjänä, mutta ei silti pidä tehdä rengistä isäntää. Minähän kritisoin vain sitä, että kvanttimekaniikkaa käytetään keppihevosena tässä tarkoituksessa. Jos varsin loogisella "lisäoletuksella", jos tuollaista nimitystä haluaa käyttää, päästään samaan tulokseen semiklassisella mallilla niin mielestäni se on hyväksyttävämpi peruste kuin suhteellisuusteorian tyyppiset aikahyppyteoreemat tai monimaailmatulkinnat.



Kuten jo sanoin, teorian empiirinen pätevyys on se "isäntä". Esim. jos kokeellinen evidenssi ja suhteellisuusteoria olisivat jossain tapauksessa ristiriidassa, niin näistä ensinmainittu on se, joka vie voiton (olettaen, että koejärjestely ei ole virheellinen). Homma nyt vaan on niin, että suhteellisuusteoria toimii erittäin hyvin sovellusalueellaan (joka sisältää rajatapauksenaan myös Newtonin mekaniikan). Ja suhteellisuusteorian periaatteiden yhdistäminen kvanttimekaniikkaan niinikään tuottaa erittäin hyvin toimivan teorian. Isäntä on tyytyväinen.

Kvanttimekaniikka ei siis ole asiassa mikään "keppihevonen". Elektronin ajatteleminen akselinsa ympäri pyörivänä sähköisesti varattuna pallona on toki helposti ymmärrettävä mielikuva (varmaan siksi siihen miellyitkin), mutta mikromaailman kvantitatiivinen kuvailu klassisten varauspallojen sähködynamiikan avulla ei onnistu. Spinin suuruus, kvantittuminen, komponenttien epäkommutatiivisuus, bosonien ja fermionien statistiikka jne. jne. ovat täysin tuollaisen "klassinen pyörivä varattu pallo" -mallin ennustusvoiman ulkopuolella. Sen sijaan relativistisen kvanttimekaniikan ennusteet pätevät erittäin hyvin. Isäntä potkaisee pyörivän pallon mallin ovesta ulos.

David
Kyse on teorian mielekkyydestä, vastenmielisyyteni ei kohdistu pelkästään suhteellisuusteoriaa kohtaan, vaan kaikkia sellaisia teorioita kohtaan joiden mielekkyys on kyseenalainen vaikka tutkimukset osoittaisivatkin tuloksellista yhdenmukaisuutta. Jos mitään muuta mielekkäämpää tapaa kuvata todellisuutta samoilla tuloksilla, hyväksyn teorian lähtökohdat alustavasti, mutta yritän silti löytää luontevamman selityksen.



En tiedä mitä tarkoitat "teorian mielekkyydellä" -- luultavasti jotain vaatimusta, että teorian tulisi toimia samalla tavalla kuin tutut arkikokemuksen ja -mittakaavan ilmiöt. Kokemus on kuitenkin osoittanut, että tuollainen vaatimus ei ole järkevä.

Jos atomimittakaavan systeemejä yritetään kuvata klassisen mekaniikan ja -sähkömagnetismin avulla olettaen elektronit yms. akselinsa ympäri pyöriviksi palloiksi, tulos on väärin. Tai jos ajatellaan, että elektronit olisivat muuten kvanttimekaanisia olioita, mutta että ne olisivat lisäksi akselinsa ympäri pyöriviä palloja, tulos "ei ole edes väärin" -- se on vain höpinää vailla perusteluja tai testattavia ennusteita.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
hmk
David
Voihan sitä käyttää suunnannäyttäjänä, mutta ei silti pidä tehdä rengistä isäntää. Minähän kritisoin vain sitä, että kvanttimekaniikkaa käytetään keppihevosena tässä tarkoituksessa. Jos varsin loogisella "lisäoletuksella", jos tuollaista nimitystä haluaa käyttää, päästään samaan tulokseen semiklassisella mallilla niin mielestäni se on hyväksyttävämpi peruste kuin suhteellisuusteorian tyyppiset aikahyppyteoreemat tai monimaailmatulkinnat.



Kuten jo sanoin, teorian empiirinen pätevyys on se "isäntä". Esim. jos kokeellinen evidenssi ja suhteellisuusteoria olisivat jossain tapauksessa ristiriidassa, niin näistä ensinmainittu on se, joka vie voiton (olettaen, että koejärjestely ei ole virheellinen). Homma nyt vaan on niin, että suhteellisuusteoria toimii erittäin hyvin sovellusalueellaan (joka sisältää rajatapauksenaan myös Newtonin mekaniikan). Ja suhteellisuusteorian periaatteiden yhdistäminen kvanttimekaniikkaan niinikään tuottaa erittäin hyvin toimivan teorian. Isäntä on tyytyväinen.

Kvanttimekaniikka ei siis ole asiassa mikään "keppihevonen". Elektronin ajatteleminen akselinsa ympäri pyörivänä sähköisesti varattuna pallona on toki helposti ymmärrettävä mielikuva (varmaan siksi siihen miellyitkin), mutta mikromaailman kvantitatiivinen kuvailu klassisten varauspallojen sähködynamiikan avulla ei onnistu. Spinin suuruus, kvantittuminen, komponenttien epäkommutatiivisuus, bosonien ja fermionien statistiikka jne. jne. ovat täysin tuollaisen "klassinen pyörivä varattu pallo" -mallin ennustusvoiman ulkopuolella. Sen sijaan relativistisen kvanttimekaniikan ennusteet pätevät erittäin hyvin. Isäntä potkaisee pyörivän pallon mallin ovesta ulos.

David
Kyse on teorian mielekkyydestä, vastenmielisyyteni ei kohdistu pelkästään suhteellisuusteoriaa kohtaan, vaan kaikkia sellaisia teorioita kohtaan joiden mielekkyys on kyseenalainen vaikka tutkimukset osoittaisivatkin tuloksellista yhdenmukaisuutta. Jos mitään muuta mielekkäämpää tapaa kuvata todellisuutta samoilla tuloksilla, hyväksyn teorian lähtökohdat alustavasti, mutta yritän silti löytää luontevamman selityksen.



En tiedä mitä tarkoitat "teorian mielekkyydellä" -- luultavasti jotain vaatimusta, että teorian tulisi toimia samalla tavalla kuin tutut arkikokemuksen ja -mittakaavan ilmiöt. Kokemus on kuitenkin osoittanut, että tuollainen vaatimus ei ole järkevä.

Jos atomimittakaavan systeemejä yritetään kuvata klassisen mekaniikan ja -sähkömagnetismin avulla olettaen elektronit yms. akselinsa ympäri pyöriviksi palloiksi, tulos on väärin. Tai jos ajatellaan, että elektronit olisivat muuten kvanttimekaanisia olioita, mutta että ne olisivat lisäksi akselinsa ympäri pyöriviä palloja, tulos "ei ole edes väärin" -- se on vain höpinää vailla perusteluja tai testattavia ennusteita.





Juuri näin.

Puutun vielä hiukkasen siihen, kun David sanoi, että "suhteellisuusteoriaa perustellaan kvanttimekaniikalla". Näinhän ei ole, mutta yhdessä näistä saadaan aikaan kvanttikenttäteorioita, joiden ennustukset sopivat erittäin hyvin yhteen kokeellisten tulosten kanssa.

Ohman

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat