Löytyykö potenssia?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Pitäisi laskea tai vaikka vain arvatakin mitkä kolme
reaalilukua a toteuttavat tarkasti seuraavan yhtälön:

a^2 = 2^a

Sivut

Kommentit (18)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Miten niin kolme? Jos en tehnyt unenpöpperössä virheitä, niin tuo muokkaantuu muotoon a*ln2/lna-2=0, ja tuon derivaatalla on vain yksi nollakohta, joten enempää kuin kahta juurta ei voi löytyä.

Edit, näköjään tein mokan. Tuo muoto on vain se toinen vaihtoehto, kun a>0.

kun a<0, niin yhtälö tulee muotoon -aln(2)/ln(-a)+2=0 sillä on se kolmas nollakohta.

Ja jos joku ihmettelee, miksi muokattu hankalampaan muotoon, niin tarkoitus oli katsoa, löytyykö sitä ratkaisua nopeasti tuota kautta.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni
Miten niin kolme? Jos en tehnyt unenpöpperössä virheitä, niin tuo muokkaantuu muotoon a*ln2/lna-2=0, ja tuon derivaatalla on vain yksi nollakohta, joten enempää kuin kahta juurta ei voi löytyä.

Tuosta voit itse tutkia sen nollakohdat, tai nollakohdan.

Kannattaa piirtää kuvio jos epäilyttää.

Vierailija
calculator
Pitäisi laskea tai vaikka vain arvatakin mitkä kolme
reaalilukua a toteuttavat tarkasti seuraavan yhtälön:

a^2 = 2^a

Yksi lukuhan on täysin triviaali eli 2 ja niin on se toinenkin (mikä?)

Sen sijaan kolmannen osalta tahdon vielä korostaa sanoja

toteuttaa tarkasti.

Vierailija
Harhatien opiskelija
Samaa mietin minäkin... mutta kaippa sille on analyyttinen ratkaisu...

Onpa on. Mutta ei tosin alkeisfunktioiden avulla esitettynä.
Mutta tarkka kuitenkin samassa mielessä kuin esim.

1/2*ln(2)

Vierailija

Rennosti vaan luonnollisesti.

a^2 = 2^a kolmas tarkka (analyyttinen) ratkaisu on

a=-2/ln(2)*W(-1/2*ln(2)), likiarvona -0.766664696

mutta miten siihen päädytään?

Vierailija
Jacci
Ratkaisut ovat 2, 4 ja (-2*L(ln2/2))/ln2. Merkitään mainittua Lambertin W-funktiota L.

Edit: hidas

Mitä ohjelmaa käytit? Maplea?

Oman ratkaisuni otin tuolta wolffilta mutta nyt tarkemmin katsoen
onkohan siinä tuo W:n sisällä oleva -merkki oikein?

http://mathworld.wolfram.com/Power.html

Yhtäkaikki, jäljelle jää olennaisin kysymys.
Miten ratkaisuun päästään?
Yksityiskohtia? Siinähän se merkki asiakin selkenee.
Tarvittaessa voidaan sitten lähettää oikaisu Wolffin sivuille.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005

Lambertin W-funktion sijaan voi myös käyttää hmk:n h-funktiota. hmk:n h-funktio on funktion

f(h) = 2^(h/2) + h

käänteisfunktio (helposti nähdään, että ko. käänteisfunktio on olemassa).

Nyt analyyttinen ratkaisu sille puuttuvalle juurelle on:

a = h(0).

h-funktion likiarvoja nollan ympäristössä:

h(-1)=-1.578621
h(-0.8 )=-1.412839
h(-0.6)=-1.248710
h(-0.4)=-1.086276
h(-0.2)=-0.925581
h(0)=-0.766665
h(0.2)=-0.609564
h(0.4)=-0.454316
h(0.6)=-0.300953
h(0.8 )=-0.149505
h(1)=0

Eli yo. taulukosta saadaan ratkaisulle likiarvo

a = h(0) = -0.766665.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija
hmk
Lambertin W-funktion sijaan voi myös käyttää hmk:n h-funktiota. hmk:n h-funktio on funktion

f(h) = 2^(h/2) + h

käänteisfunktio (helposti nähdään, että ko. käänteisfunktio on olemassa).

Nyt analyyttinen ratkaisu sille puuttuvalle juurelle on:

a = h(0).

h-funktion likiarvoja nollan ympäristössä:

h(-1)=-1.578621
h(-0.8 )=-1.412839
h(-0.6)=-1.248710
h(-0.4)=-1.086276
h(-0.2)=-0.925581
h(0)=-0.766665
h(0.2)=-0.609564
h(0.4)=-0.454316
h(0.6)=-0.300953
h(0.8 )=-0.149505
h(1)=0

Eli yo. taulukosta saadaan ratkaisulle likiarvo

a = h(0) = -0.766665.

Ethän vaan anna ymmärtää että mielestäsi nämä muut funktiot kuin
ns.alkeisfunktiot olisivat jotenkin toisarvoisia?

W-funktio ei ole oma keksintöni vaan se on aivan yleisesti käytetty funktio
matematiikassa kuten monet muutkin ns.erikoisfunktiot.

http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

Harvemmin niitä itse tarvitsee lisää keksiä ainakaan tällä tasolla?

ps. lisäksi tuo "keksimäsi" hmk: h-funktio saattaisi ikävästi sekoittua
Foxin H-funktioon. Ja muutenkin lienee tuo pikku h jo varattu
derivaatan erotusosamäärä lausekkeen määrittelyyn,muistaakseni?

http://mathworld.wolfram.com/FoxH-Function.html

Vierailija
calculator

... Ja muutenkin lienee tuo pikku h jo varattu
derivaatan erotusosamäärä lausekkeen määrittelyyn,muistaakseni?

Kukas sen on varannut?

Jacci
Seuraa 
Viestejä8
Liittynyt16.3.2005
calculator
Jacci
Ratkaisut ovat 2, 4 ja (-2*L(ln2/2))/ln2. Merkitään mainittua Lambertin W-funktiota L.

Edit: hidas




Oman ratkaisuni otin tuolta wolffilta mutta nyt tarkemmin katsoen
onkohan siinä tuo W:n sisällä oleva -merkki oikein?

Merkki on oikein. Tällöin kyseessä on ratkaisu a=4.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
calculator

Ethän vaan anna ymmärtää että mielestäsi nämä muut funktiot kuin
ns.alkeisfunktiot olisivat jotenkin toisarvoisia?



Miksi sellaista tekisin? Annan vain ymmärtää, että minun (tätä nimenomaista tarkoitusta varten) määrittelemäni erikoisfunktio on ihan samanarvoinen kuin Lambertin W-funktiokin tämän ongelman ratkaisussa. Et kai väitä että h-funktio olisi "toisarvoinen" vain koska se ei ole yhtä kuuluisa?

calculator

W-funktio ei ole oma keksintöni vaan se on aivan yleisesti käytetty funktio
matematiikassa kuten monet muutkin ns.erikoisfunktiot.



Se, kenen keksintö ja kuinka tunnettu mikäkin erikoisfunktio on, ei vaikuta siihen saako niitä käyttää vai ei. Ellei kyse sitten ole koulutehtävästä, jossa nimenomaan täsmennetään, että anna vastaus sen ja sen erikoisfunktion avulla.

calculator

Harvemmin niitä itse tarvitsee lisää keksiä ainakaan tällä tasolla?



Mutta kuka kieltääkään niitä keksimästä? Samalla periaatteella beta-funktion keksiminenkin olisi ollut turhaa, koska se voidaan määritellä gamma-funktion avulla. Silti molempia käytetään.

calculator

ps. lisäksi tuo "keksimäsi" hmk: h-funktio saattaisi ikävästi sekoittua
Foxin H-funktioon. Ja muutenkin lienee tuo pikku h jo varattu
derivaatan erotusosamäärä lausekkeen määrittelyyn,muistaakseni?

Hyvin monta symbolia käytetään useampaan kuin yhteen tarkoitukseen. Asiayhteydestä käy sitten ilmi, mikä merkitys symbolilla on. Vaikka olisin käyttänyt isoa H:ta funktion symbolina, olisi se silti sallittua (ei mitään symboleja ole jäädytetty kuin pelinumeroita hallin kattoon) -- pikku-h:n käyttö ainoastaan entisestään vähentää väärinymmärryksen mahdollisuutta. Aika sekaisin saa olla jos sekoittaa h-funktioni siihen erotusosamäärän määrittelyssä silloin tällöin käytettyyn parametriin (sehän ei siis ko. yhteydessä ole edes funktio!!).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat