Seuraa 
Viestejä45973

Pitäisi laskea tai vaikka vain arvatakin mitkä kolme
reaalilukua a toteuttavat tarkasti seuraavan yhtälön:

a^2 = 2^a

Kommentit (18)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704

Miten niin kolme? Jos en tehnyt unenpöpperössä virheitä, niin tuo muokkaantuu muotoon a*ln2/lna-2=0, ja tuon derivaatalla on vain yksi nollakohta, joten enempää kuin kahta juurta ei voi löytyä.

Edit, näköjään tein mokan. Tuo muoto on vain se toinen vaihtoehto, kun a>0.

kun a<0, niin yhtälö tulee muotoon -aln(2)/ln(-a)+2=0 sillä on se kolmas nollakohta.

Ja jos joku ihmettelee, miksi muokattu hankalampaan muotoon, niin tarkoitus oli katsoa, löytyykö sitä ratkaisua nopeasti tuota kautta.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni
Miten niin kolme? Jos en tehnyt unenpöpperössä virheitä, niin tuo muokkaantuu muotoon a*ln2/lna-2=0, ja tuon derivaatalla on vain yksi nollakohta, joten enempää kuin kahta juurta ei voi löytyä.

Tuosta voit itse tutkia sen nollakohdat, tai nollakohdan.

Kannattaa piirtää kuvio jos epäilyttää.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
calculator
Pitäisi laskea tai vaikka vain arvatakin mitkä kolme
reaalilukua a toteuttavat tarkasti seuraavan yhtälön:

a^2 = 2^a

Yksi lukuhan on täysin triviaali eli 2 ja niin on se toinenkin (mikä?)

Sen sijaan kolmannen osalta tahdon vielä korostaa sanoja

toteuttaa tarkasti.

Harhatien opiskelija
Samaa mietin minäkin... mutta kaippa sille on analyyttinen ratkaisu...

Onpa on. Mutta ei tosin alkeisfunktioiden avulla esitettynä.
Mutta tarkka kuitenkin samassa mielessä kuin esim.

1/2*ln(2)

Rennosti vaan luonnollisesti.

a^2 = 2^a kolmas tarkka (analyyttinen) ratkaisu on

a=-2/ln(2)*W(-1/2*ln(2)), likiarvona -0.766664696

mutta miten siihen päädytään?

Jacci
Ratkaisut ovat 2, 4 ja (-2*L(ln2/2))/ln2. Merkitään mainittua Lambertin W-funktiota L.

Edit: hidas

Mitä ohjelmaa käytit? Maplea?

Oman ratkaisuni otin tuolta wolffilta mutta nyt tarkemmin katsoen
onkohan siinä tuo W:n sisällä oleva -merkki oikein?

http://mathworld.wolfram.com/Power.html

Yhtäkaikki, jäljelle jää olennaisin kysymys.
Miten ratkaisuun päästään?
Yksityiskohtia? Siinähän se merkki asiakin selkenee.
Tarvittaessa voidaan sitten lähettää oikaisu Wolffin sivuille.

hmk
Seuraa 
Viestejä1093

Lambertin W-funktion sijaan voi myös käyttää hmk:n h-funktiota. hmk:n h-funktio on funktion

f(h) = 2^(h/2) + h

käänteisfunktio (helposti nähdään, että ko. käänteisfunktio on olemassa).

Nyt analyyttinen ratkaisu sille puuttuvalle juurelle on:

a = h(0).

h-funktion likiarvoja nollan ympäristössä:

h(-1)=-1.578621
h(-0.8 )=-1.412839
h(-0.6)=-1.248710
h(-0.4)=-1.086276
h(-0.2)=-0.925581
h(0)=-0.766665
h(0.2)=-0.609564
h(0.4)=-0.454316
h(0.6)=-0.300953
h(0.8 )=-0.149505
h(1)=0

Eli yo. taulukosta saadaan ratkaisulle likiarvo

a = h(0) = -0.766665.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

hmk
Lambertin W-funktion sijaan voi myös käyttää hmk:n h-funktiota. hmk:n h-funktio on funktion

f(h) = 2^(h/2) + h

käänteisfunktio (helposti nähdään, että ko. käänteisfunktio on olemassa).

Nyt analyyttinen ratkaisu sille puuttuvalle juurelle on:

a = h(0).

h-funktion likiarvoja nollan ympäristössä:

h(-1)=-1.578621
h(-0.8 )=-1.412839
h(-0.6)=-1.248710
h(-0.4)=-1.086276
h(-0.2)=-0.925581
h(0)=-0.766665
h(0.2)=-0.609564
h(0.4)=-0.454316
h(0.6)=-0.300953
h(0.8 )=-0.149505
h(1)=0

Eli yo. taulukosta saadaan ratkaisulle likiarvo

a = h(0) = -0.766665.

Ethän vaan anna ymmärtää että mielestäsi nämä muut funktiot kuin
ns.alkeisfunktiot olisivat jotenkin toisarvoisia?

W-funktio ei ole oma keksintöni vaan se on aivan yleisesti käytetty funktio
matematiikassa kuten monet muutkin ns.erikoisfunktiot.

http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

Harvemmin niitä itse tarvitsee lisää keksiä ainakaan tällä tasolla?

ps. lisäksi tuo "keksimäsi" hmk: h-funktio saattaisi ikävästi sekoittua
Foxin H-funktioon. Ja muutenkin lienee tuo pikku h jo varattu
derivaatan erotusosamäärä lausekkeen määrittelyyn,muistaakseni?

http://mathworld.wolfram.com/FoxH-Function.html

calculator

... Ja muutenkin lienee tuo pikku h jo varattu
derivaatan erotusosamäärä lausekkeen määrittelyyn,muistaakseni?

Kukas sen on varannut?

Jacci
Seuraa 
Viestejä8
calculator
Jacci
Ratkaisut ovat 2, 4 ja (-2*L(ln2/2))/ln2. Merkitään mainittua Lambertin W-funktiota L.

Edit: hidas




Oman ratkaisuni otin tuolta wolffilta mutta nyt tarkemmin katsoen
onkohan siinä tuo W:n sisällä oleva -merkki oikein?

Merkki on oikein. Tällöin kyseessä on ratkaisu a=4.

hmk
Seuraa 
Viestejä1093
calculator

Ethän vaan anna ymmärtää että mielestäsi nämä muut funktiot kuin
ns.alkeisfunktiot olisivat jotenkin toisarvoisia?



Miksi sellaista tekisin? Annan vain ymmärtää, että minun (tätä nimenomaista tarkoitusta varten) määrittelemäni erikoisfunktio on ihan samanarvoinen kuin Lambertin W-funktiokin tämän ongelman ratkaisussa. Et kai väitä että h-funktio olisi "toisarvoinen" vain koska se ei ole yhtä kuuluisa?

calculator

W-funktio ei ole oma keksintöni vaan se on aivan yleisesti käytetty funktio
matematiikassa kuten monet muutkin ns.erikoisfunktiot.



Se, kenen keksintö ja kuinka tunnettu mikäkin erikoisfunktio on, ei vaikuta siihen saako niitä käyttää vai ei. Ellei kyse sitten ole koulutehtävästä, jossa nimenomaan täsmennetään, että anna vastaus sen ja sen erikoisfunktion avulla.

calculator

Harvemmin niitä itse tarvitsee lisää keksiä ainakaan tällä tasolla?



Mutta kuka kieltääkään niitä keksimästä? Samalla periaatteella beta-funktion keksiminenkin olisi ollut turhaa, koska se voidaan määritellä gamma-funktion avulla. Silti molempia käytetään.

calculator

ps. lisäksi tuo "keksimäsi" hmk: h-funktio saattaisi ikävästi sekoittua
Foxin H-funktioon. Ja muutenkin lienee tuo pikku h jo varattu
derivaatan erotusosamäärä lausekkeen määrittelyyn,muistaakseni?

Hyvin monta symbolia käytetään useampaan kuin yhteen tarkoitukseen. Asiayhteydestä käy sitten ilmi, mikä merkitys symbolilla on. Vaikka olisin käyttänyt isoa H:ta funktion symbolina, olisi se silti sallittua (ei mitään symboleja ole jäädytetty kuin pelinumeroita hallin kattoon) -- pikku-h:n käyttö ainoastaan entisestään vähentää väärinymmärryksen mahdollisuutta. Aika sekaisin saa olla jos sekoittaa h-funktioni siihen erotusosamäärän määrittelyssä silloin tällöin käytettyyn parametriin (sehän ei siis ko. yhteydessä ole edes funktio!!).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Jacci
calculator
Jacci
Ratkaisut ovat 2, 4 ja (-2*L(ln2/2))/ln2. Merkitään mainittua Lambertin W-funktiota L.

Edit: hidas




Oman ratkaisuni otin tuolta wolffilta mutta nyt tarkemmin katsoen
onkohan siinä tuo W:n sisällä oleva -merkki oikein?




Merkki on oikein. Tällöin kyseessä on ratkaisu a=4.

Laskitko varmasti oikein, sillä a = 2/ln2*W(-1/2*ln2) = 2

Siis kyseessä ratkaisu a=2

Ja vielä yleisemmin kun on yhtälö a^b = b^a saadaan

a=b^(a/b) = e^(a/b*lnb) <=>

1=a*e^(-(a/b*lnb)) kerrotaan -1/b*ln2:lla jolloin saadaan

-1/b*lnb = -a/b*lnb*e^(-(a/b*lnb)) ja siis määritelmän mukaan

kun x=ye^y <=> y=W(x) eli saadaan

-a/b*lnb=W(-1/b*lnb) <=>

a = -b/lnb*W(-1/b*lnb)

Vielä kun otetaan huomioon tapauskohtainen symmetria ja jaksollisuus
komleksialueella saadaan aina kaikki ratkaisut.

ps. Wolfram näyttää määrittävän W-funktion katekoriaan
elementary-funktions. Ehkä siksi lipsahtanut virhekin sekaan
kun pitävät liian helppona.

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ ja sieltä tuo

http://functions.wolfram.com/Elementary ... roductLog/

ps2. Tähänkin (a^b= b^a) varmaan löytyy "kätevämpi" hmk:n funktio

h2: tai jotain ,eiks vaan?

hmk
Seuraa 
Viestejä1093
calculator

ps2. Tähänkin (a^b= b^a) varmaan löytyy "kätevämpi" hmk:n funktio

h2: tai jotain ,eiks vaan?




Eipä taida löytyä, ainakaan samalla periaatteella. JOS funktiolla (Fb)(x)=x^b - b^x olisi käänteisfunktio Fb^-1, niin silloin (aiempaa vastaten) ratkaisu tietenkin olisi

(Fb)(a) = 0 <=> a = (Fb^-1)(0).

Mutta yleisessä tapauksessa yo. yhtälöllä on useita ratkaisuja, jolloin siis Fb ei ole bijektio, eikä käänteisfunktiotakaan ole olemassa (ainakaan koko R:ssä). Tällöin pitäisi määritellä moniarvoinen funktio tyyliin kompleksinen log, mutta en tiedä olisiko se enää kuinka paljon "kätevämpi".

Aiemmilla viesteilläni tässä ketjussa halusin -- ehkä liikaakin kärjistäen -- nostaa esiin kysymyksen, että mikä on "sallittu" vastaus tehtävään johon pyydetään antamaan tarkka (analyyttinen?) ratkaisu. Riittääkö osoittaa, että ratkaisu on olemassa ja sitten *määritellä* joku tarkoitukseen varta vasten sopiva funktio tms.? Oikeastaanhan W-funktio (ja logaritmikin) on kehitetty samalla periaatteella: ne on *määritelty* tietyn ongelman ratkaisuiksi.

Jospa tässä täytyy palata esittämääsi kysymykseen:

Ethän vaan anna ymmärtää että mielestäsi nämä muut funktiot kuin ns.alkeisfunktiot olisivat jotenkin toisarvoisia?

Ehkäpä sittenkin voidaan todeta, että erikoisfunktiot OVAT toisarvoisia "alkeisfunktioihin" verrattuna. Jos ratkaisu on olemassa alkeisfunktioiden avulla lausuttuna, niin se olisi hyvä myös esittää niiden avulla. Jos taas sellaista ratkaisua ei löydy, ja erikoisfunktioita täytyy käyttää, niin täytyy valita mahdollisimman yksinkertainen ja tunnettu erikoisfunktio.

No nämä nyt ovat tällaisia pseudotieteenfilosofisia pohdintoja... pahoittelen pitkää viestiä.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

hmk
Jos taas sellaista ratkaisua ei löydy, ja erikoisfunktioita täytyy käyttää, niin täytyy valita mahdollisimman yksinkertainen ja tunnettu erikoisfunktio.

Nyt olet asian ytimessä.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat