Seuraa 
Viestejä9

Miten kuuluu vastaus? Reaalisen 4x4 matriisin A yksi ominaisarvo on 1+i ja det(A)<0 miksi A on diagonalisoituva?

Sivut

Kommentit (24)

hmk
Seuraa 
Viestejä1034
matriisi
Miten kuuluu vastaus? Reaalisen 4x4 matriisin A yksi ominaisarvo on 1+i ja det(A)<0 miksi A on diagonalisoituva?



Täällä ei ole tapana antaa valmiita vastauksia kotitehtäviin.

Lähde liikkeelle vaikkapa siitä tiedosta, että nxn -matriisi on diagonalisoituva, jos sillä on n erisuurta ominaisarvoa. Lisäksi tiedetään, että det(A) on A:n ominaisarvojen tulo.

Tehtävänannon perusteella tiedetään, että on olemassa vektori x, jolle

Ax = (1+i)x

missä A on reaalinen. Muodosta tämän yhtälön kompleksikonjugaatti. Mitä siitä voidaan päätellä?

Mitä ehdon det(A)<0 avulla voidaan nyt sanoa ominaisarvojen yhtä/erisuuruudesta?

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Terve,

matriisi

Miten kuuluu vastaus? Reaalisen 4x4 matriisin A yksi ominaisarvo on 1+i ja det(A)<0 miksi A on diagonalisoituva?

hmk

Täällä ei ole tapana antaa valmiita vastauksia kotitehtäviin.

Juuri näin. Nyt kuitenkin ajattelin vastata, koska luultavasti kysyjän kurssi aiheesta on jo ohi.

hmk

Lähde liikkeelle vaikkapa siitä tiedosta, että nxn -matriisi on diagonalisoituva, jos sillä on n erisuurta ominaisarvoa. Lisäksi tiedetään, että det(A) on A:n ominaisarvojen tulo.

Kommentoin ihan siltä varalta, että tässä päättelyssä voi olla tiettyjä sudenkuoppia.

det(A) ei ole aina suoraan ominaisarvojen tulo, se on sitä vain jos matriisin ominaisvektorit muodostavat kannan vektoriavaruudelle, jossa A on määritelty.

EDIT:
Tässä on siis tarkoitettu sitä, että ominaisarvoa λ vastaavan ominaisavaruuden dimension d(λ) avulla muodostettujen λ:n potenssien tulo ∏ λ ^ d(λ ) on todella det(A), vain silloin kun A on diagonalisoituva.

Esimerkiksi matriisilla B, jonka ensimmäinen rivi on (2,1) ja toinen rivi (0,2) on vain yksi ominaisarvo 2 ja tätä ominaisarvoa vastaavan ominaisavaruuden dimensio on yksi, jonka virittäjänä on vektori x = (1,0) ja matriisia B ei voi diagonalisoida. Lisäksi det(B) = 4, joten det(B) ei ole sama kuin ominaisarvojen tulo = 2.

On kuitenkin voimassa det(A) = ∏λ^k(λ ),

missä luku k(λ ) on ominaisarvon λ algebrallinen multiplisiteetti eli karakteristisen yhtälön juuren λ kertaluku. Kuitenkaan luku k(λ) ei ole sama kuin ominaisarvoa λ vastaavan ominaisavaruuden dimensio d(λ ), vaan yleisesti d(λ) ≤ k(λ) ja yhtälö d(λ) = k(λ) on voimassa vain, jos A diagonalisoituva.

Tutkin tehtävää ylläkirjoitetun valossa ja lopputulos on alla.

Tehtävänannon perusteella tiedetään, että matriisilla A on kaksi erisuurta ominaisarvoa 1 + i ja 1- i, yhtälöiden

Ax = (1 + i) x
Ay = (1 - i) y

perusteella . Tässä vektori y on vektorin x kompleksikonjugaatti. Kuitenkaan suoraan ei tiedetä sitä että onko matriisilla muita ominaisarvoja tai onko A diagonalisoituva.

Jos ominaisarvoa 1 + i vastaavan ominaisavaruuden dimensio on 2 on myös ominaisarvoa 1 - i vastaavan ominaisavaruuden dimensio 2. Tällöin A diagonalisoituva, mutta det(A) = [(1+i)(1-i)]^2 > 0, joka on olettamuksen det(A) < 0 mukaan mahdotonta. Siis sekä ominaisarvoa 1 +i ja 1 - i vastaavien ominaisavaruuksien dimensiot = 1.Matriisin A karakteristinen polynomi faktorisoituu kahden reaalisen toisen asteen polynomin tuloksi:

p(λ) = (λ - 1 - i)(λ - 1 + i ) (λ^2 +bλ +c)
p(λ) = (λ² - 2λ +2) (λ² +bλ +c)

Saadusta yhtälöstä näkee kertomalla, että polynomin p(λ) alimman asteen termi on 2c. Teorian mukaan tämä termi on sama kuin matriisin determinantti eli 2c = det(A) < 0. Tästä seuraa, että polynomilla p (λ) on olemassa positiivinen juuri y. Tämä siksi, että p(0) = 2c < 0 ja p(λ) on positiivinen riittävän isolla λ.

Jos yhtälöllä λ² +bλ +c ainoastaan yksi juuri olisi tämän diskriminantti D = b² -4 c =0, josta seuraisi b² = 4 c < 0, joka on mahdotonta. Siis yhtälöllä kaksi juurta y1 ja y2.

Karakteristisella polynomilla on siten neljä erisuurta ominaisarvoa 1-i,1-i, y1 ja y2 ja siten matriisi A diagonalisoituva.

Editoitu yllä merkityssä kohdassa.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
hmk
Seuraa 
Viestejä1034
Spanish Inquisitor

hmk

Lähde liikkeelle vaikkapa siitä tiedosta, että nxn -matriisi on diagonalisoituva, jos sillä on n erisuurta ominaisarvoa. Lisäksi tiedetään, että det(A) on A:n ominaisarvojen tulo.

Kommentoin ihan siltä varalta, että tässä päättelyssä voi olla tiettyjä sudenkuoppia.

det(A) ei ole aina suoraan ominaisarvojen tulo, se on sitä vain jos matriisin ominaisvektorit muodostavat kannan vektoriavaruudelle, jossa A on määritelty.




Jep, kiitos täsmennyksestä. Todistushahmotelmassani täytyy siis muistaa, että kukin ominaisarvo esiintyy em. tulossa algebrallisen kertalukunsa osoittaman määrän kertoja.

Käydään nyt vielä hieman tarkemmin läpi todistushahmotelmaani. Mainitsemani (ja Spanish Inquisitorinkin mainitseman) kompleksikonjugoinnin avulla voidaan siis päätellä, että A:lla on ominaisarvot (1+i) ja (1-i). Determinantille saadaan siis lauseke

det(A) = (1+i)^a (1-i)^b (x1)^c (x2)^d

missä kertaluvut (kokonaislukuja) a, b > 0; c, d >= 0; a + b + c + d = 4; ja x1, x2, (1+i) ja (1-i) ovat keskenään erisuuria. Nyt voidaan käydä läpi kaikki vaihtoehdot. Esim. jos olisi c = d = 0, det(A) olisi joko kompleksinen tai positiivinen, mikä on ristiriidassa oletuksen det(A) < 0 kanssa. Ainoa vaihtoehto, joka toteuttaa ehdon det(A) < 0, on tapaus a = b = c = d = 1, jossa vielä x1 ja x2 ovat reaalilukuja, joille x1 x2 < 0.

Siispä A:lla on 4 erisuurta ominaisarvoa, ja se on täten diagonalisoituva.

Tämä ei toki ole yhtä elegantti kuin Spanish Inquisitorin todistus, mutta nähdäkseni silti toimiva.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
hmk
Spanish Inquisitor

hmk

Lähde liikkeelle vaikkapa siitä tiedosta, että nxn -matriisi on diagonalisoituva, jos sillä on n erisuurta ominaisarvoa. Lisäksi tiedetään, että det(A) on A:n ominaisarvojen tulo.

Kommentoin ihan siltä varalta, että tässä päättelyssä voi olla tiettyjä sudenkuoppia.

det(A) ei ole aina suoraan ominaisarvojen tulo, se on sitä vain jos matriisin ominaisvektorit muodostavat kannan vektoriavaruudelle, jossa A on määritelty.




Jep, kiitos täsmennyksestä. Todistushahmotelmassani täytyy siis muistaa, että kukin ominaisarvo esiintyy em. tulossa algebrallisen kertalukunsa osoittaman määrän kertoja.

Käydään nyt vielä hieman tarkemmin läpi todistushahmotelmaani. Mainitsemani (ja Spanish Inquisitorinkin mainitseman) kompleksikonjugoinnin avulla voidaan siis päätellä, että A:lla on ominaisarvot (1+i) ja (1-i). Determinantille saadaan siis lauseke

det(A) = (1+i)^a (1-i)^b (x1)^c (x2)^d

missä kertaluvut (kokonaislukuja) a, b > 0; c, d >= 0; a + b + c + d = 4; ja x1, x2, (1+i) ja (1-i) ovat keskenään erisuuria. Nyt voidaan käydä läpi kaikki vaihtoehdot. Esim. jos olisi c = d = 0, det(A) olisi joko kompleksinen tai positiivinen, mikä on ristiriidassa oletuksen det(A) < 0 kanssa. Ainoa vaihtoehto, joka toteuttaa ehdon det(A) < 0, on tapaus a = b = c = d = 1, jossa vielä x1 ja x2 ovat reaalilukuja, joille x1 x2 < 0.

Siispä A:lla on 4 erisuurta ominaisarvoa, ja se on täten diagonalisoituva.

Tämä ei toki ole yhtä elegantti kuin Spanish Inquisitorin todistus, mutta nähdäkseni silti toimiva.

author="" kirjoitti:




Sanot yllä: "ja x1,x2,1+i ja 1-i ovat keskenään eri suuria".Sitten lopussa toteat, että " Siispä A:lla on 4 eri suurta ominaisarvoa"!Mutta tämänhän olit jo tietävinäsi tuon edellisen mukaan!

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
hmk

Lähde liikkeelle vaikkapa siitä tiedosta, että nxn -matriisi on diagonalisoituva, jos sillä on n erisuurta ominaisarvoa. Lisäksi tiedetään, että det(A) on A:n ominaisarvojen tulo.

Kommentoin ihan siltä varalta, että tässä päättelyssä voi olla tiettyjä sudenkuoppia.

det(A) ei ole aina suoraan ominaisarvojen tulo, se on sitä vain jos matriisin ominaisvektorit muodostavat kannan vektoriavaruudelle, jossa A on määritelty.[/quote]


Jep, kiitos täsmennyksestä. Todistushahmotelmassani täytyy siis muistaa, että kukin ominaisarvo esiintyy em. tulossa algebrallisen kertalukunsa osoittaman määrän kertoja.

Käydään nyt vielä hieman tarkemmin läpi todistushahmotelmaani. Mainitsemani (ja Spanish Inquisitorinkin mainitseman) kompleksikonjugoinnin avulla voidaan siis päätellä, että A:lla on ominaisarvot (1+i) ja (1-i). Determinantille saadaan siis lauseke

det(A) = (1+i)^a (1-i)^b (x1)^c (x2)^d

author="" kirjoitti:



Mistäs sinä tämän tiedät?Vrt. Spanish Inquisitorin yllä oleva det(A):ta koskeva lause. Kumpi teistä nyt on oikeassa?

Ohman

hmk
Seuraa 
Viestejä1034
Ohman
hmk
Determinantille saadaan siis lauseke

det(A) = (1+i)^a (1-i)^b (x1)^c (x2)^d

missä kertaluvut (kokonaislukuja) a, b > 0; c, d >= 0; a + b + c + d = 4; ja x1, x2, (1+i) ja (1-i) ovat keskenään erisuuria.





Sanot yllä: "ja x1,x2,1+i ja 1-i ovat keskenään eri suuria".Sitten lopussa toteat, että " Siispä A:lla on 4 eri suurta ominaisarvoa"!Mutta tämänhän olit jo tietävinäsi tuon edellisen mukaan!

Ohman




Miten niin? Jos vaikka olisi c = d = 0, niin A:lla olisi vain 2 erisuurta ominaisarvoa, juurikin 1+i ja 1-i (x1:n ja x2:n algebralliset kertaluvut nollia --> ne eivät ole ominaisarvoja).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
hmk
Ohman
hmk
Determinantille saadaan siis lauseke

det(A) = (1+i)^a (1-i)^b (x1)^c (x2)^d

missä kertaluvut (kokonaislukuja) a, b > 0; c, d >= 0; a + b + c + d = 4; ja x1, x2, (1+i) ja (1-i) ovat keskenään erisuuria.





Sanot yllä: "ja x1,x2,1+i ja 1-i ovat keskenään eri suuria".Sitten lopussa toteat, että " Siispä A:lla on 4 eri suurta ominaisarvoa"!Mutta tämänhän olit jo tietävinäsi tuon edellisen mukaan!

Ohman




Miten niin? Jos vaikka olisi c = d = 0, niin A:lla olisi vain 2 erisuurta ominaisarvoa, juurikin 1+i ja 1-i (x1:n ja x2:n algebralliset kertaluvut nollia --> ne eivät ole ominaisarvoja).
author="" kirjoitti:



Etkö sinä nyt lukea osannut? Ensin sanot, että ominaisarvot ovat eri suuria ja sitten todistat, että ne ovat eri suuria!

Enpä osaa enempää tuota kommenttiani selittää.

Ohman

hmk
Seuraa 
Viestejä1034
Ohman

Etkö sinä nyt lukea osannut? Ensin sanot, että ominaisarvot ovat eri suuria ja sitten todistat, että ne ovat eri suuria!

Enpä osaa enempää tuota kommenttiani selittää.

Ohman




Huoh, lue tarkemmin. En väittänyt, että x1 ja x2 olisivat välttämättä ominaisarvoja; sanoin vain, että ne ovat erisuuria. Vasta myöhemmin todistuksessa osoitetaan, että x1 ja x2 todellakin ovat ominaisarvoja (eli niiden alg. kertaluvut eivät ole nollia).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
hmk
Ohman

Etkö sinä nyt lukea osannut? Ensin sanot, että ominaisarvot ovat eri suuria ja sitten todistat, että ne ovat eri suuria!

Enpä osaa enempää tuota kommenttiani selittää.

Ohman




Huoh, lue tarkemmin. En väittänyt, että x1 ja x2 olisivat välttämättä ominaisarvoja; sanoin vain, että ne ovat erisuuria. Vasta myöhemmin todistuksessa osoitetaan, että x1 ja x2 todellakin ovat ominaisarvoja (eli niiden alg. kertaluvut eivät ole nollia).
author="" kirjoitti:



Enpä nyt kommentoi tätä enempää. Mutta vastaa nyt tuohon toiseen kysymykseenkin, jonka esitin. Ohman

hmk
Seuraa 
Viestejä1034
Ohman

Enpä nyt kommentoi tätä enempää. Mutta vastaa nyt tuohon toiseen kysymykseenkin, jonka esitin. Ohman



Minun lausekkeeni det(A):lle palautuu Inquisitorin lausekkeeksi, kun siihen jättää mukaan vain nollaa suuremmat kertaluvut. Nimittäin jos vaikka d = 0 (eli Inquisitorin merkinnöin k(x2) = 0), niin x2^d = x2^0 = 1, jolloin ko. termi voidaan jättää merkitsemättä näkyviin.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
hmk
Ohman

Enpä nyt kommentoi tätä enempää. Mutta vastaa nyt tuohon toiseen kysymykseenkin, jonka esitin. Ohman



Minun lausekkeeni det(A):lle palautuu Inquisitorin lausekkeeksi, kun siihen jättää mukaan vain nollaa suuremmat kertaluvut. Nimittäin jos vaikka d = 0 (eli Inquisitorin merkinnöin k(x2) = 0), niin x2^d = x2^0 = 1, jolloin ko. termi voidaan jättää merkitsemättä näkyviin.
[quote][quote]

Et näytä ymmärtävän kysymyksiäni.

Ohman

hmk
Seuraa 
Viestejä1034
Ohman

Et näytä ymmärtävän kysymyksiäni.

Ohman




Joo, mahdatko itsekään. Tai sitten vain trollaat.

Sinulla oli siis ensinnäkin väärinymmärrys todistuksestani (oletit sen kehäperusteluksi, mitä se ei ole) ja lisäksi kysyit kumman kaava det(A):lle (minun vai Inquisitorin) oli oikea (johon perustelin, että molemmat ovat oikeita).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Devil
Seuraa 
Viestejä1328

Voisko tähän väliin joku vääntää vaikka ihan rautalangasta, että mitä hyötyä näistä matriiseista oikein on? Missä näitä käytetään ja mikä on se vaihtoehtoinen tapa ja jne...???
Koulussa näitä aikanaan jauhettiin vissiin parinkin kurssin verran, mutta mulle ei vaan kirkastunut eikä selvinnyt, että mitä helvettiä tässä oikein tehdään ja miksi.

X

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1572
Devil
Voisko tähän väliin joku vääntää vaikka ihan rautalangasta, että mitä hyötyä näistä matriiseista oikein on? Missä näitä käytetään ja mikä on se vaihtoehtoinen tapa ja jne...???
Koulussa näitä aikanaan jauhettiin vissiin parinkin kurssin verran, mutta mulle ei vaan kirkastunut eikä selvinnyt, että mitä helvettiä tässä oikein tehdään ja miksi.

Kysytkö aivan tosissasi? Olet tainnut vain lintsata kurssin alun, jossa on kerrottu, missä kaikessa matriiseja käytetään.

Ainakin tekniikan ja luonnontieteiden puolella matriisit ovat kätevä työkalu hyvinkin monenlaisiin asioihin. Kun en tiedä alaasi, niin en nyt ryhdy erittelemään tarkemmin matriisilaskennan sovellutuksia.

Vanha jäärä

Devil
Seuraa 
Viestejä1328

Automaatio ja tietotekniikka oli se. Muistaakseni en lintsannut moneltakaan tunnilta, mutta samaten muistaakseni ei se opettaja sitä mitenkään perustellut eikä pohjustanut, että mihin tätä nyt mahtaisi tarvita, vaan heti alkoi tulla kaavaa ja käppyrää ja miten tämä nyt tästä kääntyy ja taittuu, mutta mitään selitystä ei tullut siihen, että miksi. Enkä ole onneksi tuotakaan ikinä missään tarvinnut.

X

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat