Seuraa 
Viestejä106

Tuli tuossa mietiskeltyä iltapuhteella Fourier'n sarjan muodostamista, mutta enpä oikein päässyt puusta pitkään. Lähinnä ongelmana on, etten oikein hahmota, mikä olisi helpoin tapa lähteä noita integraaleja repimään auki, kun kun...

Ajatuksen lähtökohtana olisi, että on jokin funktio y(x), jota kuvaa Fourier'n sarja. Oletetaan, että tuota y(x):ää ei voida lausua äärellisellä määrällä alkeisfunktioita millään välillä, eli sille on toistaiseksi tarjolla vain tuo sarjaesitys, jonka oletetaan niin ikään suppenevan. Sitten tuo y(x) on toisen funktion f(y) sisäfunkiona ja sattumoisin tietenkin tarvitsisin f:n Fourier'n sarjan x:n avulla ilmaistuna.

Sen verran tuossa itse katselin iltojen rattona, että nuo perinteiset a_v, b_v -kertoimien integraalit näyttäisivät varsin työläiltä tavoilta lähestyä. Esimerkiksi f(y):n kehittäminen y:n sarjaksi näyttäisi tuottavan tulokseksi melkoisen äkkiä perin inhottavia lausekkeita. Kompleksilukujen puolelta en kovin ole ennättänyt vielä penkomaan, joten en tiedä, toisiko vaikka joku residysovellus valoa ongelmaan.

Joten: Olisiko parasta tyytyä laskujen tässä vaiheessa vain approksimaatioon f(x):stä vai tunteeko joku jotain kikkakolmosia (tai vitosia, tai muita numeroita) noiden sarjan kertoimien kaivamiseksi ulos?

Me iudice

Kommentit (5)

Volta
Seuraa 
Viestejä123
galilei
Tuli tuossa mietiskeltyä iltapuhteella Fourier'n sarjan muodostamista, mutta enpä oikein päässyt puusta pitkään. Lähinnä ongelmana on, etten oikein hahmota, mikä olisi helpoin tapa lähteä noita integraaleja repimään auki, kun kun...

Ajatuksen lähtökohtana olisi, että on jokin funktio y(x), jota kuvaa Fourier'n sarja. Oletetaan, että tuota y(x):ää ei voida lausua äärellisellä määrällä alkeisfunktioita millään välillä, eli sille on toistaiseksi tarjolla vain tuo sarjaesitys, jonka oletetaan niin ikään suppenevan. Sitten tuo y(x) on toisen funktion f(y) sisäfunkiona ja sattumoisin tietenkin tarvitsisin f:n Fourier'n sarjan x:n avulla ilmaistuna.

Sen verran tuossa itse katselin iltojen rattona, että nuo perinteiset a_v, b_v -kertoimien integraalit näyttäisivät varsin työläiltä tavoilta lähestyä. Esimerkiksi f(y):n kehittäminen y:n sarjaksi näyttäisi tuottavan tulokseksi melkoisen äkkiä perin inhottavia lausekkeita. Kompleksilukujen puolelta en kovin ole ennättänyt vielä penkomaan, joten en tiedä, toisiko vaikka joku residysovellus valoa ongelmaan.

Joten: Olisiko parasta tyytyä laskujen tässä vaiheessa vain approksimaatioon f(x):stä vai tunteeko joku jotain kikkakolmosia (tai vitosia, tai muita numeroita) noiden sarjan kertoimien kaivamiseksi ulos?


Varmaan kokeilitkin jo tätä, mutta mitä jos muodostat f(y):lle Taylorin sarjan tai jonkun muun potenssisarjan? Fourier-sarjan potenssit saanee alkuperäisen sarjan kertoimista kyllä, ainakin kirjoittamalla Fourier-sarjan ensin kompleksieksponenttimuodossa. Ja onhan se konvoluutioteoreemakin olemassa.

galilei
Seuraa 
Viestejä106

Juu, jotain tuollaista on kyllä tullut pohdiskeltua. Lähinnä tuossa sarjajutussa vain alkaa hirvittää tuo tarvittavien termien määrä, joten voi olla, että käytän vain jotain sopivaa approksimaatiota f(y):stä. Pitää katsella, kun ehtii. Toistaiseksi vain niin kiirettä, että tämä projekti on vähän jäänyt. Mutta kiitos!

Me iudice

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
galilei
Tuli tuossa mietiskeltyä iltapuhteella Fourier'n sarjan muodostamista, mutta enpä oikein päässyt puusta pitkään. Lähinnä ongelmana on, etten oikein hahmota, mikä olisi helpoin tapa lähteä noita integraaleja repimään auki, kun kun...

Ajatuksen lähtökohtana olisi, että on jokin funktio y(x), jota kuvaa Fourier'n sarja. Oletetaan, että tuota y(x):ää ei voida lausua äärellisellä määrällä alkeisfunktioita millään välillä, eli sille on toistaiseksi tarjolla vain tuo sarjaesitys, jonka oletetaan niin ikään suppenevan. Sitten tuo y(x) on toisen funktion f(y) sisäfunkiona ja sattumoisin tietenkin tarvitsisin f:n Fourier'n sarjan x:n avulla ilmaistuna.

Sen verran tuossa itse katselin iltojen rattona, että nuo perinteiset a_v, b_v -kertoimien integraalit näyttäisivät varsin työläiltä tavoilta lähestyä. Esimerkiksi f(y):n kehittäminen y:n sarjaksi näyttäisi tuottavan tulokseksi melkoisen äkkiä perin inhottavia lausekkeita. Kompleksilukujen puolelta en kovin ole ennättänyt vielä penkomaan, joten en tiedä, toisiko vaikka joku residysovellus valoa ongelmaan.

Joten: Olisiko parasta tyytyä laskujen tässä vaiheessa vain approksimaatioon f(x):stä vai tunteeko joku jotain kikkakolmosia (tai vitosia, tai muita numeroita) noiden sarjan kertoimien kaivamiseksi ulos?

author="" kirjoitti:



En nyt varmaan ymmärtänyt ongelmaasi.Jos tunnet y-funktion Fourier-sarjan, voit kai laskea y:n arvon pisteessä x niin tarkasti kuin haluat.Olkoon tämä arvo y(x). Sitten lasket f-funktion arvon pisteessä y(x),tämä on f(y(x)). Miten tämän lasket riippuu tietysti siitä, miten f-funktio on annettu.Jos senkin arvo on laskettavissa vain Fourier-sarjan avulla, niin muodostat tuon f:n Fourier-sarjan ja sitten sijoitat siihen muuttujan arvoksi tuon arvon y(x).

Tämä vastaukseni johtuu nyt siitä, että kuten sanoin, en taida ymmärtää, mitä ajoit takaa. Miksi sinun pitäisi saada syntymään yhdistetyn funktion f(y) Fourier-sarja?

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Abbath
galilei
Tuli tuossa mietiskeltyä iltapuhteella Fourier'n sarjan muodostamista, mutta enpä oikein päässyt puusta pitkään. Lähinnä ongelmana on, etten oikein hahmota, mikä olisi helpoin tapa lähteä noita integraaleja repimään auki, kun kun...

Ajatuksen lähtökohtana olisi, että on jokin funktio y(x), jota kuvaa Fourier'n sarja. Oletetaan, että tuota y(x):ää ei voida lausua äärellisellä määrällä alkeisfunktioita millään välillä, eli sille on toistaiseksi tarjolla vain tuo sarjaesitys, jonka oletetaan niin ikään suppenevan. Sitten tuo y(x) on toisen funktion f(y) sisäfunkiona ja sattumoisin tietenkin tarvitsisin f:n Fourier'n sarjan x:n avulla ilmaistuna.

Sen verran tuossa itse katselin iltojen rattona, että nuo perinteiset a_v, b_v -kertoimien integraalit näyttäisivät varsin työläiltä tavoilta lähestyä. Esimerkiksi f(y):n kehittäminen y:n sarjaksi näyttäisi tuottavan tulokseksi melkoisen äkkiä perin inhottavia lausekkeita. Kompleksilukujen puolelta en kovin ole ennättänyt vielä penkomaan, joten en tiedä, toisiko vaikka joku residysovellus valoa ongelmaan.

Joten: Olisiko parasta tyytyä laskujen tässä vaiheessa vain approksimaatioon f(x):stä vai tunteeko joku jotain kikkakolmosia (tai vitosia, tai muita numeroita) noiden sarjan kertoimien kaivamiseksi ulos?


Varmaan kokeilitkin jo tätä, mutta mitä jos muodostat f(y):lle Taylorin sarjan tai jonkun muun potenssisarjan? Fourier-sarjan potenssit saanee alkuperäisen sarjan kertoimista kyllä, ainakin kirjoittamalla Fourier-sarjan ensin kompleksieksponenttimuodossa. Ja onhan se konvoluutioteoreemakin olemassa.
author="" kirjoitti:



Mitähän tekemistä konvoluutiolla on sen kanssa, että yritetään muodostaa yhdistetyn funktion Fourier-sarja?

Ohman

Volta
Seuraa 
Viestejä123
Ohman
Abbath

Varmaan kokeilitkin jo tätä, mutta mitä jos muodostat f(y):lle Taylorin sarjan tai jonkun muun potenssisarjan? Fourier-sarjan potenssit saanee alkuperäisen sarjan kertoimista kyllä, ainakin kirjoittamalla Fourier-sarjan ensin kompleksieksponenttimuodossa. Ja onhan se konvoluutioteoreemakin olemassa.



Mitähän tekemistä konvoluutiolla on sen kanssa, että yritetään muodostaa yhdistetyn funktion Fourier-sarja?

Ihan vaan niin, että sarjan n:nnet potenssit vastaavat kertoimien n-kertaista (diskreettiä) konvoluutiota itsensä kanssa. Tällä tavalla saadaan laskettua auki se Taylorin sarja.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat