Seuraa 
Viestejä45973

Haluaisin vain tietää, että mikä olisi ympyrän yhtälö kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa tai R³ avaruudessa. Pallolle se on ihan r²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² näin yksinkertaisesti, mutta mikä se sitten on ympyrälle?

Kommentit (6)

hmk
Seuraa 
Viestejä1034
Guppi
Haluaisin vain tietää, että mikä olisi ympyrän yhtälö kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa tai R³ avaruudessa. Pallolle se on ihan r²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² näin yksinkertaisesti, mutta mikä se sitten on ympyrälle?



2D-pinta (kuten pallopinta) 3D-avaruudessa vaatii yhden yhtälön. 1D-käyrä (kuten ympyrän kaari) vaatii kaksi yhtälöä. Esimerkiksi z = 0 ja x^2 + y^2 = r^2 määrittelee xy-tasossa olevan ympyrän kaaren.

Asian voi myös ajatella niin, että z = 0 määrää erään pinnan (xy-tason) ja x^2 + y^2 = r^2 määrää toisen pinnan (äärettömän pitkän sylinterin, jonka akseli on z-akseli, ja säde r). Nämä yhtälöt yhdessä määräävät käyrän, joka on e.m. pintojen leikkauskäyrä (ajattele molemmat pinnat x,y,z-koordinaatistoon, ja mieti, millaisen kuvion sylinteri leikkaa xy-tasosta).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

hmk
Guppi
Haluaisin vain tietää, että mikä olisi ympyrän yhtälö kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa tai R³ avaruudessa. Pallolle se on ihan r²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² näin yksinkertaisesti, mutta mikä se sitten on ympyrälle?



2D-pinta (kuten pallopinta) 3D-avaruudessa vaatii yhden yhtälön. 1D-käyrä (kuten ympyrän kaari) vaatii kaksi yhtälöä.

Aivan, eli yleisessä muodossa 3D avaruudessa kyse on yhtälöparista :
ax + by + cz + d = 0
r²=(x-x₁)²+(y-y₁)²+(z-z₁)²

Toki jos haluaa r säteisen ympyrän, kannattaa muotoilla tuo niin, että ympyrän keskipiste on ko tasossa.
a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0
r²=(x-x₁)²+(y-y₁)²+(z-z₁)²

ylempi yhtälöpari voi tuottaa vaikka tyhjän joukon.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Joo mietinkin, että se olisi jonkinlainen pallon ja tason tai lieriön ja tason leikkausympyrä, mietin myös, että se voisi muotoa, jossa vaikka vektori ū on kohtisuorassa jonkun vektorin ā kanssa ja
|ā|=(x-x₁)²+(y-y₁)²+(z-z₁)²,jolloin saataisiin yhtälöpari, jossa

ū×ā =0
|ā|²=(x-x₁)²+(y-y₁)²+(z-z₁)²
Se kuiteskin on yhtälöryhmä ja halusin tietää, että olisiko ympyrälle sellaista yhden yhtälön määritystä, jota ei ole rajattu tiettyihin tilanteisiin, mutta sellaista ei yhtälöä ei varmaan ole olemassa.

JAM
Seuraa 
Viestejä192

Ympyrä voidaan aina esittää vektoriesityksenä parametrimuodossa:
r = r0 + a cos(t) + b sin(t)
missä a ja b ovat yhtä pitkiä toisiaan vastaan kohtisuoria vektoreita. Tämä esitys on riippumaton avaruuden dimensiosta. Tästä saadaan sitten koordinaateille niin monta yhtälöä kuin avaruudessa on dimensioita.

PPo
Seuraa 
Viestejä14501
JAM
Ympyrä voidaan aina esittää vektoriesityksenä parametrimuodossa:
r = r0 + a cos(t) + b sin(t)
missä a ja b ovat yhtä pitkiä toisiaan vastaan kohtisuoria vektoreita. Tämä esitys on riippumaton avaruuden dimensiosta. Tästä saadaan sitten koordinaateille niin monta yhtälöä kuin avaruudessa on dimensioita.

Hyvä yhtälö.
Pieni lisäys. Ympyrän säde on abs(a)=abs(b)

PPo
JAM
Ympyrä voidaan aina esittää vektoriesityksenä parametrimuodossa:
r = r0 + a cos(t) + b sin(t)
missä a ja b ovat yhtä pitkiä toisiaan vastaan kohtisuoria vektoreita. Tämä esitys on riippumaton avaruuden dimensiosta. Tästä saadaan sitten koordinaateille niin monta yhtälöä kuin avaruudessa on dimensioita.

Hyvä yhtälö.
Pieni lisäys. Ympyrän säde on abs(a)=abs(b)

No jos lisäämään kerran lähdetään, niin sitten kaiketi pitäisi korostaa, että r ja r0 ovat nimenomaan paikkavektoreita. Muutenhan saadaan vain ääretön määrä itseisarvoltaan yhtäsuuria erisuuntaisia vektoreita, eikä ympyrää.
Ja pitäisikö parametri t lisäksi määrittää kuuluvan puoliavoimeen joukkoon [0 ...2pi[ ?
Riippunee siitä kuinka tarkasti matemaattista formalismia tässä nyt itsekukin viitsii noudattaa ja mitä olettaa toisen osapuolen pitävän itsestäänselvyytenä ja mitä ei.

Voisi kai tehtävää lähestyä sitenkin, että ensin määrittää ympyrän yhtälön 2D tasolle v,w koordinaateille, ja sisällyttää yleisen koordinaatisto muunnoksen x,y,z => u,v,w kaavat jotta tulos saadaan yleisesti 3D tapauksen ympyräksi.

Mutta mulle tuo parametresitys kelpaa jo sellaisenaankin.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat