Seuraa 
Viestejä45973

Matematiikka,
Kolmiolukujen summa

Sain viime kesänä johdettua elegantin kaavan kolmiolukujen summalle.
Kolmiolukuja ovat luvut 0,1,3,6,10,15,21,...
Nollaa pidetään kyseessä olevaan lukujen lajiin kuuluvana.
Kolmioluvut Tn saadaan aritmeetisena summana,jossa lasketaan n peräkkäistä luonnollista lukua yhteen.
Sain johdettua kaikkien peräkkäisten kolmiolukujen summakaavan:
SUMMA Tn=(n-1)^2+(n-3)^2+(n-5)^2+...(n-k)^2
-kaavassa n on laskettavien kolmiolukujen lukumäärä ja kaavasta lasketaan vain ne termit,jotka täyttävät ehdon :n>k ja k on pariton luonnollinen luku.
Geometrisena tulkintana kyseinen kolmiolukujen summakaava on sama kuin niiden neliöiden pinta-alojen summa,joiden sivuina ovat n-1,n-3,n-5,....

Esimerkiksi viiden ensimmäisen kolmioluvun summa on siten:
T5=(5-1)^2+(5-3)^2=4^2+2^2=16+4=20.

Vastaavaa kolmiolukujen summakaavaa en itse ole löytänyt matemaattisesta kirjallisuudesta.
Onko kukaan muu löytänyt?

Kommentit (6)

PPo
Seuraa 
Viestejä14507
makko2012
Matematiikka,
Kolmiolukujen summa

Sain viime kesänä johdettua elegantin kaavan kolmiolukujen summalle.
Kolmiolukuja ovat luvut 0,1,3,6,10,15,21,...
Nollaa pidetään kyseessä olevaan lukujen lajiin kuuluvana.
Kolmioluvut Tn saadaan aritmeetisena summana,jossa lasketaan n peräkkäistä luonnollista lukua yhteen.
Sain johdettua kaikkien peräkkäisten kolmiolukujen summakaavan:
SUMMA Tn=(n-1)^2+(n-3)^2+(n-5)^2+...(n-k)^2
-kaavassa n on laskettavien kolmiolukujen lukumäärä ja kaavasta lasketaan vain ne termit,jotka täyttävät ehdon :n>k ja k on pariton luonnollinen luku.
Geometrisena tulkintana kyseinen kolmiolukujen summakaava on sama kuin niiden neliöiden pinta-alojen summa,joiden sivuina ovat n-1,n-3,n-5,....

Esimerkiksi viiden ensimmäisen kolmioluvun summa on siten:
T5=(5-1)^2+(5-3)^2=4^2+2^2=16+4=20.

Vastaavaa kolmiolukujen summakaavaa en itse ole löytänyt matemaattisesta kirjallisuudesta.
Onko kukaan muu löytänyt?


Tn=summa((1+k)/2*k) k=1,2,...n,(To=0)
Yritelmä Tn=An^3+Bn^2+Cn+D
n=1: A+B+C+D=1
n=2; 8A+4B+2C+D=4
n=3; 27A+9B+3C+D=10
n=4; 64A+16B+4C+D=20
Ratkaistaan A=1/6,B=1/2, C=1/3, D=0 joten
Tn=1/6*n*(n+1)*(n+2) kun n=1,2,3.... ja To=0
n

PPo
Seuraa 
Viestejä14507
PPo
makko2012
Matematiikka,
Kolmiolukujen summa

Sain viime kesänä johdettua elegantin kaavan kolmiolukujen summalle.
Kolmiolukuja ovat luvut 0,1,3,6,10,15,21,...
Nollaa pidetään kyseessä olevaan lukujen lajiin kuuluvana.
Kolmioluvut Tn saadaan aritmeetisena summana,jossa lasketaan n peräkkäistä luonnollista lukua yhteen.
Sain johdettua kaikkien peräkkäisten kolmiolukujen summakaavan:
SUMMA Tn=(n-1)^2+(n-3)^2+(n-5)^2+...(n-k)^2
-kaavassa n on laskettavien kolmiolukujen lukumäärä ja kaavasta lasketaan vain ne termit,jotka täyttävät ehdon :n>k ja k on pariton luonnollinen luku.
Geometrisena tulkintana kyseinen kolmiolukujen summakaava on sama kuin niiden neliöiden pinta-alojen summa,joiden sivuina ovat n-1,n-3,n-5,....

Esimerkiksi viiden ensimmäisen kolmioluvun summa on siten:
T5=(5-1)^2+(5-3)^2=4^2+2^2=16+4=20.

Vastaavaa kolmiolukujen summakaavaa en itse ole löytänyt matemaattisesta kirjallisuudesta.
Onko kukaan muu löytänyt?


Tn=summa((1+k)/2*k) k=1,2,...n,(To=0)
Yritelmä Tn=An^3+Bn^2+Cn+D
n=1: A+B+C+D=1
n=2; 8A+4B+2C+D=4
n=3; 27A+9B+3C+D=10
n=4; 64A+16B+4C+D=20
Ratkaistaan A=1/6,B=1/2, C=1/3, D=0 joten
Tn=1/6*n*(n+1)*(n+2) kun n=1,2,3.... ja To=0

Ratkaisu saadaan kompaktiksi seuraavasti n--->n-1---->
Tn=1/6*(n-1)*n*(n+1) kun n=1,2,3....

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Terve,

makko2012

Sain johdettua kaikkien peräkkäisten kolmiolukujen summakaavan:
SUMMA Tn=(n-1)^2+(n-3)^2+(n-5)^2+...(n-k)^2
-kaavassa n on laskettavien kolmiolukujen lukumäärä ja kaavasta lasketaan vain ne termit,jotka täyttävät ehdon :n>k ja k on pariton luonnollinen luku.]

Tämä kaava onkin tosi hieno!
makko2012

Vastaavaa kolmiolukujen summakaavaa en itse ole löytänyt matemaattisesta kirjallisuudesta.
Onko kukaan muu löytänyt?

Googlettelin, jotta löytäisin antamasi kaavan, mutta en minäkään löytänyt sitä mistään, joka on aika ihmeellistä, koska kaavasi on kuitenkin tyylikäs. Ehkä syynä kaavan poissa-oloon on se että vaikka kaava on helppo kirjoittaa auki paperille, sen muodollinen todistaminen näyttäisi olevan pitkähkö, verraten esimerkiksi PPo:n esittämään kaavaan, joka on myös hyvin tiivis ja elegantti:

PPo

Ratkaisu saadaan kompaktiksi seuraavasti n--->n-1---->
Tn=1/6*(n-1)*n*(n+1) kun n=1,2,3....



Tämä PPo:n kaava voidaan vielä kirjoittaa tiiviisti muodossa:

T(n) = C(n+3,2), missä merkintä C(n,k) on binomikerroin = n!/( (n-k)!k! )

Yritin löytää todistusta antamallesi kaavalle ilman kaavaa T(n) = C(n+3,2), mutta en löytänyt sellaista, vaan todistukseni käyttää tätä PPo:n kaavaa apuna. Olisi mielenkiintoista tietää minkälaisen todistuksen löysit kaavallesi? Antamasi kaavan poissaoloon voi olla syynä juuri se, että todistukset yhtälöllesi ovat pitkiä ilman kaavaa T(n) = C(n+3,2), jollloin tyydytään tähän
helpompaan kaavaan.

Alla sitten makko2012:n kaavan todistus ja kertauksen vuoksi vielä PPo:n kaavan todistus kahdella tavalla, kun nyt tuli nekin käytyä läpi.

Väite:
------
Kolmiolukujen summa saadaan makko2012:n kaavasta:

T(n) = (n-1)^2 + (n-3)^2 + ...

Todistetaan väite käyttäen apuna allaolevia aputuloksia ja tehdään sopimus, että summaus summamerkissä Σ on aina sellainen, jossa summausindeksi kulkee aina arvosta 1 arvoon n:

parillisten lukujen neliöiden summa: S1(n) = Σ (2k)^2 = C(2n + 2,3)

parittomien lukujen neliöiden summa: S2(n) = Σ (2k-1)^2 = C(2n + 1,3).

Makko2012:n kaava on

T(n) = (n-1)^2 + (n-3)^2 + ...

Lasketaan T(n), kun n on parillinen. Tällöin käytetään kaavaa S2(n):lle, johon sijoitetaan
luvun n paikalle (n + 1)/2, jolloin saadaan:

T(n) = C(2(n + 1)/2+1,3) = C(n+2,3)

Vastaavasti, kun n on pariton, käytetään kaavaa S1(n), kun sijoitetaan luvun n paikalle
n/2:

T(n) = C(2 n/2+2,3) = C(n+2,3)

Kummassakin tapauksessa saadaan PPo:n antama kaava summalle T(n):

T(n) = C(n+2,3)

joten väite on todistettu.

Suora todistus kaaavalle T(n) = C(n+2,3)
---------------------------------------------------

Kolmioluku k(p) = C(p+1,2) =p(p+1)/2, esimerkiksi k(2) = 3. Tällöin
T(n) = Σ k(p) = 1/2Σ p^2 +Σ 1/2 p = 1/2 Σ p^2 + 1/2 k(n)
Toisaalta T(n) = T(n-1)+k(n), jolloin saadaan:

Σ p^2 + k(n) = 2 T(n-1)+2 k(n).

Tästä saadaan sieventämällä T(n-1) = 1/2Σ p^2 - 1/2 k(n). Neliöiden summa Σ p^2 = 1/6 n (n+1)(1+2n) ja k(n)=C(n+1,2), joten:

T(n-1) = 1/2n (n+1)[ 1/6(1+2n)-1/2] = 1/2n (n+1) [(1/3n-2/6)] = n(n+1)(n-1) 1/6 = C(n+1,3)

Siis T(n-1) = C(n+1,3), jolloin T(n) = C(n+2,3), joten väite on todistettu.

Induktiotodistus kaavalle T(n) = C(n+2,3)
---------------------------------------------------
T(1)=C(3,3)=1=k(1), joten väite tosi kun n=1.
Induktio-oletus: Väite pätee arvolla n-1, siis T(n-1) = C(n+1,3). Tällöin

C(n+1,3) + k(n) = C(n+1,3) + n(n+1)/2 = (n+1) n (n-1)/6 + 3n (n+1)/6 = [(n^2-1)n+3 n^2+3n] /6
= n/6( n^2+3n+2) = n/6 (n+1)(n+2)
=C(n+2,3)

joten väite pätee arvolla n, joten induktiotodistus on valmis.

Kolmioluvut löytyvät myös Pascalin kolmiosta, joten yhtälö T(n) = C(n+2,3) voidaan myös osoittaa oikeaksi kolmion summausominaisuuksien perusteella.

Kiitoksia mielenkiintoisesta tehtävästä, tämän parissa tulikin vietettyä aikaa.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
PPo

Ratkaisu saadaan kompaktiksi seuraavasti n--->n-1---->
Tn=1/6*(n-1)*n*(n+1) kun n=1,2,3....



Tämä PPo:n kaava voidaan vielä kirjoittaa tiiviisti muodossa:

T(n) = C(n+3,2), missä merkintä C(n,k) on binomikerroin = n!/( (n-k)!k! )

author="" kirjoitti:



C(n+3,2) = (n+3)! / ((n+1)! 2!) = ((n+3) (n+2)) / 2.

Eipä näytä samalta kuin PPo:n kaava!

Ohman

Ohman

C(n+3,2) = (n+3)! / ((n+1)! 2!) = ((n+3) (n+2)) / 2.
Eipä näytä samalta kuin PPo:n kaava!

Juu ei näytä, taitaa painovirhepaholainen käynyt visiitillä. C(n+2,3) on oikea muoto, joka on kyllä jutussa alempana oikein.

Korjaan sen, jos aika vielä sallii.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
makko2012
Matematiikka,
Kolmiolukujen summa

Sain viime kesänä johdettua elegantin kaavan kolmiolukujen summalle.
Kolmiolukuja ovat luvut 0,1,3,6,10,15,21,...
Nollaa pidetään kyseessä olevaan lukujen lajiin kuuluvana.
Kolmioluvut Tn saadaan aritmeetisena summana,jossa lasketaan n peräkkäistä luonnollista lukua yhteen.
Sain johdettua kaikkien peräkkäisten kolmiolukujen summakaavan:
SUMMA Tn=(n-1)^2+(n-3)^2+(n-5)^2+...(n-k)^2
-kaavassa n on laskettavien kolmiolukujen lukumäärä ja kaavasta lasketaan vain ne termit,jotka täyttävät ehdon :n>k ja k on pariton luonnollinen luku.
Geometrisena tulkintana kyseinen kolmiolukujen summakaava on sama kuin niiden neliöiden pinta-alojen summa,joiden sivuina ovat n-1,n-3,n-5,....

Esimerkiksi viiden ensimmäisen kolmioluvun summa on siten:
T5=(5-1)^2+(5-3)^2=4^2+2^2=16+4=20.

Vastaavaa kolmiolukujen summakaavaa en itse ole löytänyt matemaattisesta kirjallisuudesta.
Onko kukaan muu löytänyt?

author="" kirjoitti:



Jätän nyt tuon nollan pois. Kolmioluvut ovat siis k:n ensimmäisen kokonaisluvun summia eli muotoa k(k+1) / 2.

Tällöin n:n ensimmäisen kolmioluvun summa on

Summa (1 <= k <= n) (k(k+1))/2 = (1/2) Summa (1<=k<=n)(k^2 + k) =

1/2 ((n(n+1)(2n+1)/6) + n(n+1)/2) = n^3/6 + n^2/2 + n/3.

Esimerkki: n=5: 1+3+6+10+15 = 35

5^3/6 + 5^2/2 + 5/3 = 35.

n=6: Summa on 56

6^3/6 + 6^2/2 +6/3 = 56.

Ohman

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat