Seuraa 
Viestejä45973

Tetraedrin kärjistä vedetään janat (4 kpl) tetraedrin keskipisteeseen. Minkä tahansa kahden tällaisen janan välinen kulma on vakio, jotain yli 95 ja varmaankin alle 110 astetta (en muista enkä jaksa johtaa).

Osaako joku sanoa, mikä ko. kulma on neliulotteiden pentatoopin (aka 5-cell, Simplex) viiden janan tapauksessa? Minulle riittäisi likiarvokin asteina, en tarvitse tarkkaa tulosta radiaaneina.

Sivut

Kommentit (26)

Kiitos linkistä, kärkikoordinaatteja olisi kai pitänyt etsiä ilmeisimmästä paikasta.

No kerrotaan muillekin mitä saatiin:

Otin noista linkissä mainituista kärkikoordinaateista viimeiset kaksi, joihin origosta vedettyjen vektorien

x3 = ( 1/√10 , -√3/2 , 0 , 0 )
ja
x4 = ( -2√2/5 , 0 , 0 , 0 )

normit

|x3| = |x4| = √(1/10 + 3/2) = √(8/5)

Kun sisätulo x3•x4 = |x3|*|x4|*cos (kulma välillä x3, x4)

ja toisaalta

x3•x4 = 1/√10 * -2√2/5 + (-√3/2) * 0 = -2*√1/25 = -2/5

niin tästähän saadaan 8/5 * cos(kulma välillä x3, x4) = -2/5 eli cos(...) = -1/4

joten kulma on arccos(-1/4) eli noin 75,5 astetta.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
mallintaja
... joten kulma on arccos(-1/4) eli noin 75,5 astetta.



Alkua en jaksanut katsoa, mutta tuo nyt ainakin on pielessä: arccos(-1/4) = 104 astetta noin, eli sama kuin tetraedrilla. Onkos siinäkään tolkkua?

Tiedä sitten onko tässä jotain logiikkaa, mutta kolmiolla korkeusjanojen välinen kulma on 120 astetta, tetraedrilla tuo 104, joten luulisi, että kulma edelleen pienenee dimension kasvaessa.

Tuo 75,5 astetta on arccos(-1/4):n suplementtikulma. Onko kaavassa merkkivirhe (arccos(1/4) on suunnilleen 75,5) vai antaako se mahdollisesti suuremman vektorien välisen kulman?

Itse asiassa samalla Wikin sivulla oli jo vastaus valmiina:

The 5-cell is self-dual, and its vertex figure is a tetrahedron. Its maximal intersection with 3-dimensional space is the triangular prism. Its dihedral angle is cos−1(1/4), or approximately 75.52°.



Tämä riittää minulle, joskin jäi epäselväksi miksi sisätulon laskukaavalla saisi oikeastaan komplementtikulman. arccos(-1/4) antaa tosiaankin n. 104,48 astetta.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
mallintaja
Itse asiassa samalla Wikin sivulla oli jo vastaus valmiina:

The 5-cell is self-dual, and its vertex figure is a tetrahedron. Its maximal intersection with 3-dimensional space is the triangular prism. Its dihedral angle is cos−1(1/4), or approximately 75.52°.



Tämä riittää minulle, joskin jäi epäselväksi miksi sisätulon laskukaavalla saisi oikeastaan komplementtikulman. arccos(-1/4) antaa tosiaankin n. 104,48 astetta.
author="" kirjoitti:



Kun katsot noita vektoreitasi niin huomaat, että molemmat ovat x,y - tasossa.
x3 :n päätepiste on siellä 4. neljänneksessä ja x4:n päätepiste on negatiivisella x-akselilla. Kyllähän noiden vektorien välinen kulma on yli 90 astetta, itse asiassa juuri tuo 104,5 astetta.( Se suurempi kulma on 255,5 astetta).
Vai mitenkä?

Ohman

Yleisempi ratkaisu kuuluu seuraavasti:

The angle subtended by any two vertices of an n-dimensional simplex through its center is arccos(-1/n)



Löytyi sivulta http://en.wikipedia.org/wiki/Simplex

Eli neliulotteisessa (pentatoopin) tapauksessa saadaan tuo n. 104,5 asteen kulma ja tetraedrin tapauksessa arccos(-1/3) eli n. 109,5 astetta Tällainen tulos kuulostaa intuitiivisestikin järkevämmältä.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
mallintaja
Itse asiassa samalla Wikin sivulla oli jo vastaus valmiina:

The 5-cell is self-dual, and its vertex figure is a tetrahedron. Its maximal intersection with 3-dimensional space is the triangular prism. Its dihedral angle is cos−1(1/4), or approximately 75.52°.



Tämä riittää minulle, joskin jäi epäselväksi miksi sisätulon laskukaavalla saisi oikeastaan komplementtikulman. arccos(-1/4) antaa tosiaankin n. 104,48 astetta.
[/quote][quote author=""]



Tästä vielä sen verran, että sinä alunperin kysyit tuota kärkivektoreiden välistä kulmaa, joka asia on nyt ihan selvä ja on tuo 104,5 astetta. Tuossa ylläolevassa wikipedia- lainauksessa puhutaan kulmasta nimeltä "dihedral angle", joka ei ole tuo kysymäsi kulma.

Ohman

Ohman
sinä alunperin kysyit tuota kärkivektoreiden välistä kulmaa, joka asia on nyt ihan selvä ja on tuo 104,5 astetta. Tuossa ylläolevassa wikipedia- lainauksessa puhutaan kulmasta nimeltä "dihedral angle", joka ei ole tuo kysymäsi kulma.

Ohman




Joo, näyttäisikin olevan joku kulma 'pentatoopin maksimaalisessa 3D-leikkauksessa'. Hällä väliä...

Terve,

Raven

Tuo 75,5 astetta on arccos(-1/4):n suplementtikulma. Onko kaavassa merkkivirhe (arccos(1/4) on suunnilleen 75,5) vai antaako se mahdollisesti suuremman vektorien välisen kulman?

Vektorien välinen kulma voi olla suurempi kuin 90 astetta. Tässä tapauksessa sen täytyykin olla niin.
mallintaja

Wikipedia / 5-cell

The 5-cell is self-dual, and its vertex figure is a tetrahedron. Its maximal intersection with 3-dimensional space is the triangular prism. Its dihedral angle is cos−1(1/4), or approximately 75.52°.

Tämä riittää minulle, joskin jäi epäselväksi miksi sisätulon laskukaavalla saisi oikeastaan komplementtikulman. arccos(-1/4) antaa tosiaankin n. 104,48 astetta.

Tämä 104 astetta on kahden vektorin välinen kulma, tulos 75 astetta on seurausta kahden tason välinen kulman lausekkeen yleistyksestä neliulotteiseen avaruuteen.
Ohman

Tuossa ylläolevassa wikipedia- lainauksessa puhutaan kulmasta nimeltä "dihedral angle", joka ei ole tuo kysymäsi kulma.



Joo, mallintajan alkuperäinen kysymys koskee vektorien välistä kulmaa, joka voi vaihdella välillä [0,pi]. Wikipedian dihedraalikulma on taasen oleellisesti sama kuin kahden tason välinen kulma, joka yleensä määritellään tason normaalisuorien väliseksi kulmaksi.

Suorien välinen kulma taasen määritelläään olevan välillä [0,pi/2], eikä esimerkiksi suorien tangenttivektorien väliseksi kulmaksi, koska tangenttivektori annetulle suoralle ei ole yksikäsitteinen. Ainahan suoran tangenttivektori T voidaan korvata vektorilla -T. Vastaava pätee dihedraalikulman useampiulotteiselle yleistykselle.

Sekaannusta kulmissa aiheuttaa se, että tasoon voidaan myös liittää suunnistus eli normaalivektorin antaminen, jolloin tasoon voidaan liittää ylä-ja alapuolen käsite. Paperi käännettynä yläpuoli aalaspäin ei ole enää sama taso vaan niiden normaalit eroavat 180 astetta. Suunnistumaton taso ei tätä eroa tee.

Kuitenkin tässä tapauksessa dihedraalikulma sattuu olemaan sama kuin verteksivektorien kulman supplementtikulma .

Alla osoitetaan simpleksin kahden verteksin väliselle kulmalle kaava a =arccos(-1/n) ja dihedraalikulmalle lauseke b = arcos(1/n).

Jos n-simpleksin K keskipiste on origossa ja K:n kärkipisteinä ovat vektorit X0 , X1, . . ,Xn. Kysyjän esimerkkitapauksessa 4-simpleksin kärkinä olisi siis vektorit X0,X1,X2,X3 ja X4.
Koska ollaan kiinnostuneita vain kulmista, voidaan vektorit X0,..., Xn normittaa yksikkövektoreiksi ja lisäksi simpleksin symmetrian perusteella saadaan :

X1 + X2 + ... + Xn = 0.

Valitaan vektorien {X0 , X1, . . ,Xn} joukosta vektori Xk ja lasketaan vektorin Xk pistetulo ylläolevan lausekkeen kanssa:

+ +...+ = 0

Symmetrian perusteella ylläolevassa kaikki pistetulot, paitsi tulo =1, ovat samoja = cos(a), missä a on kahden eri vektorin välinen kulma. Silloin yhtälö (1) palautuu muotoon:

n cos(a) + 1 = 0,

josta saadaan kysytty kulma a = arccos(-1/n).

Simpleksillä n-tahkoja T n+1 kpl ja tahkot voidaan numeroida sen kärkipistevektorin mukaan, joka ei kuulu tahkoon T. Esimerkiksi tahko T(0) on vektorien X1,...,Xn virittämä (n-1)-simpleksi.Tahkon T(k) keskipiste K(p) saadaan yhtälöstä:

Kp(k) = 1/n(X0 + X2 +..+ Xn) - 1/n Xk = - 1/n Xk,

sillä X0 +...+ Xn = 0. Vektorista Kp(k) voidaan laskea tahkon T(k) normaalivektori n(k) = - X(k). Tahkojen T(k) ja T(p) välinen dihedraalikulma b on tahkojen normaalivektorien välinen positiivinen kulma b, jolle saadaan lauseke cos(b) = ||.

Huomaa itseisarvomerkit. Tämä takaa sen, että kulma b on välillä [0,Pi/2]. Tällä tavalla määritelty kulma b on yksikäsitteinen ja se poistaa epämääräisyyden, joka syntyy normaalivektorien suuntien valinnasta.

Nyt koska n(k) = - X(k) ja n(p) = - X(p) saadaan cos(b) = || = || = |cos(a)|.
Tästä saadaan käyttäen aikaisemmin johdettua kaavaa cos(a) = -1/n dihedraalikulmalle:

cos(b) = 1/n.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Spanish Inquisitor
Terve,

Joo, mallintajan alkuperäinen kysymys koskee vektorien välistä kulmaa, joka voi vaihdella välillä [0,pi]. Wikipedian dihedraalikulma on taasen oleellisesti sama kuin kahden tason välinen kulma, joka yleensä määritellään tason normaalisuorien väliseksi kulmaksi.

Suorien välinen kulma taasen määritelläään olevan välillä [0,pi/2], eikä esimerkiksi suorien tangenttivektorien väliseksi kulmaksi, koska tangenttivektori annetulle suoralle ei ole yksikäsitteinen. Ainahan suoran tangenttivektori T voidaan korvata vektorilla -T. Vastaava pätee dihedraalikulman useampiulotteiselle yleistykselle.

Suora on yksi käyrä muiden joukossa ja sen tangentti on 1-käsitteinen, kunhan
käyrän parametrista on sovittu. Jos parametri,esim. s, korvataan parametrillä -s, saadaan tietysti tuo vastakkaissuuntainen tangentti.Tangenttivektorien pituudet vaihtelevat myös s:n mukana, mutta jos se on kaarenpituus, tangentti on ykkösvektori.

Sekaannusta kulmissa aiheuttaa se, että tasoon voidaan myös liittää suunnistus eli normaalivektorin antaminen, jolloin tasoon voidaan liittää ylä-ja alapuolen käsite. Paperi käännettynä yläpuoli aalaspäin ei ole enää sama taso vaan niiden normaalit eroavat 180 astetta. Suunnistumaton taso ei tätä eroa tee.

Kuitenkin tässä tapauksessa dihedraalikulma sattuu olemaan sama kuin verteksivektorien kulman supplementtikulma .

Alla osoitetaan simpleksin kahden verteksin väliselle kulmalle kaava a =arccos(-1/n) ja dihedraalikulmalle lauseke b = arcos(1/n).

Jos n-simpleksin K keskipiste on origossa ja K:n kärkipisteinä ovat vektorit X0 , X1, . . ,Xn. Kysyjän esimerkkitapauksessa 4-simpleksin kärkinä olisi siis vektorit X0,X1,X2,X3 ja X4.
Koska ollaan kiinnostuneita vain kulmista, voidaan vektorit X0,..., Xn normittaa yksikkövektoreiksi ja lisäksi simpleksin symmetrian perusteella saadaan :

X1 + X2 + ... + Xn = 0.




Mihin se X0 nyt jäi?




Valitaan vektorien {X0 , X1, . . ,Xn} joukosta vektori Xk ja lasketaan vektorin Xk pistetulo ylläolevan lausekkeen kanssa:

+ +...+ = 0




Mihin se X0 jäi?

Symmetrian perusteella ylläolevassa kaikki pistetulot, paitsi tulo =1, ovat samoja = cos(a), missä a on kahden eri vektorin välinen kulma. Silloin yhtälö (1) palautuu muotoon:




Mikä on yhtälö (1), en näe numerointia yhtälöissäsi.

n cos(a) + 1 = 0,




Tämähän on näin jos tuo X0 on mukana mutta kun ei ollut.

josta saadaan kysytty kulma a = arccos(-1/n).

Simpleksillä n-tahkoja T n+1 kpl




Sinä puhuit alunperin n-simpleksistä, jonka siis virittävät n+1 geometrisesti riippumatonta pistettä.Sillä on siis n-1 - tahkoja n kappaletta. Miksi äkkiä käytät lukua n toisin kuin alussa?



Esimerkiksi tahko T(0) on vektorien X1,...,Xn virittämä (n-1)-simpleksi.Tahkon T(k) keskipiste K(p) saadaan yhtälöstä:

Kp(k) = 1/n(X0 + X2 +..+ Xn) - 1/n Xk = - 1/n Xk,




Missäs se X1 luuraa?

En nyt viitsi jatkaa tätä kritiikkiä tämän pitemmälle. Saattaa tuntua saivartelulta, mutta minun mielestäni pitäisi olla eksakti kun kirjoittaa näinkin eksaktista aiheesta kuin algebrallinen topologia.

En ole myöskään mitenkään erityisesti ruvennut etsimään virheitä nimenomaan SI:n teksteistä, on nyt vain pari kertaa sattunut niin.

Ohman

Terve,

Ohman

Missäs se X1 luuraa?
En nyt viitsi jatkaa tätä kritiikkiä tämän pitemmälle. Saattaa tuntua saivartelulta, mutta minun mielestäni pitäisi olla eksakti kun kirjoittaa näinkin eksaktista aiheesta kuin algebrallinen topologia.



Kyseessä on vain kirjoitusvirhe eikä mikään eksaktisuuden puute, mistähän hatusta tuonkin repäisit. Jokainen simplekseistä kiinnostunut, joka lukee tekstini ajatuksella käsittää kyllä mitä haen tekstilläni takaa.

Ohman

En ole myöskään mitenkään erityisesti ruvennut etsimään virheitä nimenomaan SI:n teksteistä, on nyt vain pari kertaa sattunut niin.

Ei mun teksteissä ole vakavia päättelyvirheitä, ainakaan tietääkseni ja jos on, niin pitää osoittaa se. Kirjoitusvirheet ovat vain kirjoitusvirheitä, niiden kanssa on vain opittava elämään ja kun niiden määrä on verrannollinen juttujen pituuteen, en viitsi ihan tälläisiä nettipalstajuttuja alkaa millään supersuurennuslasilla tarkastamaan.
Ohman

Saattaa tuntua saivartelulta, mutta minun mielestäni pitäisi olla eksakti kun kirjoittaa näinkin eksaktista aiheesta kuin algebrallinen topologia.

Mulla taasen on aavistus, että et ole koskaan algebrallista topologiaa tosissasi opiskellut, tämä on tosin vain vaistonvarainen aavistus. Minä olen, oikeasti. Algebrallinen topologia oppihaarana ei ole mikään pedanttisen eksaktisuuden ruumillistuma sen enempää kuin muutkaan matematiikan alat, paremminkin on hyvin hyödyllistä , jos omaa hyvän geometrisen hahmotuskyvyn tavallisten matemaattisten taitojen lisäksi.

Jotenkin tekstissäsi annat ymmärtää että esitystavassani on jotain vikaa. Ei niissä ole mitään vikaa, palstan kriteerit huomioon ottaen. Ammattimainen matemaattinen keskustelu on sitten asia erikseen, mutta tällä palstalla on siihen aika harvoin todellista tarvetta tai edes kiinnostusta.

Liiallinen pedanttinen matemaattisuus vähentää jo muutenkin todennäköisesti vähälukuista lukijakuntaa radikaaalisti. Liikaa formaalia matematiikkaa ja käykin niin, että kirjoitusta ei ymmärrä kukaan muu kuin kirjoittaja itse, jos hänkään, ja tälläisen kirjoituksen tarkoitus jää kyllä silloin varsin hämäräksi.

On sinullakin jutuissasi usein vääriä merkintöjä tms, mutta koska ymmärrän siitä huolimatta mitä haet takaa - ainakin yleensä - ei niistä ole niin väliä, ainakaan minulle.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Spanish Inquisitor
Terve,
Ohman

Missäs se X1 luuraa?
En nyt viitsi jatkaa tätä kritiikkiä tämän pitemmälle. Saattaa tuntua saivartelulta, mutta minun mielestäni pitäisi olla eksakti kun kirjoittaa näinkin eksaktista aiheesta kuin algebrallinen topologia.



Kyseessä on vain kirjoitusvirhe eikä mikään eksaktisuuden puute, mistähän hatusta tuonkin repäisit. Jokainen simplekseistä kiinnostunut, joka lukee tekstini ajatuksella käsittää kyllä mitä haen tekstilläni takaa.

Ohman

En ole myöskään mitenkään erityisesti ruvennut etsimään virheitä nimenomaan SI:n teksteistä, on nyt vain pari kertaa sattunut niin.

Ei mun teksteissä ole vakavia päättelyvirheitä, ainakaan tietääkseni ja jos on, niin pitää osoittaa se. Kirjoitusvirheet ovat vain kirjoitusvirheitä, niiden kanssa on vain opittava elämään ja kun niiden määrä on verrannollinen juttujen pituuteen, en viitsi ihan tälläisiä nettipalstajuttuja alkaa millään supersuurennuslasilla tarkastamaan.
Ohman

Saattaa tuntua saivartelulta, mutta minun mielestäni pitäisi olla eksakti kun kirjoittaa näinkin eksaktista aiheesta kuin algebrallinen topologia.

Mulla taasen on aavistus, että et ole koskaan algebrallista topologiaa tosissasi opiskellut, tämä on tosin vain vaistonvarainen aavistus. Minä olen, oikeasti. Algebrallinen topologia oppihaarana ei ole mikään pedanttisen eksaktisuuden ruumillistuma sen enempää kuin muutkaan matematiikan alat, paremminkin on hyvin hyödyllistä , jos omaa hyvän geometrisen hahmotuskyvyn tavallisten matemaattisten taitojen lisäksi.

Jotenkin tekstissäsi annat ymmärtää että esitystavassani on jotain vikaa. Ei niissä ole mitään vikaa, palstan kriteerit huomioon ottaen. Ammattimainen matemaattinen keskustelu on sitten asia erikseen, mutta tällä palstalla on siihen aika harvoin todellista tarvetta tai edes kiinnostusta.

Liiallinen pedanttinen matemaattisuus vähentää jo muutenkin todennäköisesti vähälukuista lukijakuntaa radikaaalisti. Liikaa formaalia matematiikkaa ja käykin niin, että kirjoitusta ei ymmärrä kukaan muu kuin kirjoittaja itse, jos hänkään, ja tälläisen kirjoituksen tarkoitus jää kyllä silloin varsin hämäräksi.

On sinullakin jutuissasi usein vääriä merkintöjä tms, mutta koska ymmärrän siitä huolimatta mitä haet takaa - ainakin yleensä - ei niistä ole niin väliä, ainakaan minulle.

author="" kirjoitti:



No oli siinä kritiikissäni sentään useampia kohtia kuin tuo X1:n luuraaminen.Kun tekstissä on useita tällaisia, panee se epäilemään koko juttua.
Kyllä matematiikan kaavoissa saa olla tarkkana, ettei väärinkäsityksiä tai kummastelua synny.

Minun opintojeni laatua ja määrää sinun on turha ruveta arvailemaan. Ja vaikka en olisi opiskellut riviäkään algebrallista topologiaa esittämäni (paino)virheet olivat tekstissäsi.

Tuo "palstan kriteerit huomioon ottaen": Kun kyseessä on populaaritieteellinen palsta (onko?), herää kysymys, kannattaako tällaisia topologiajuttuja tänne ylipäätään kirjoittaa.Mutta kun kerran kirjoitellaan, kirjoitellaan edes tyydyttävästi.

En ole syyttänyt sinua "vakavista päättelyvirheistä", mutta olen kyllä sitä mieltä, että kun useissa kirjoituksen kaavoissa oli jotain vialla, kirjoituksen kritisointi ei saisi olla kiellettyä.

Ohman

Terve,

Ohman

No oli siinä kritiikissäni sentään useampia kohtia kuin tuo X1:n luuraaminen.Kun tekstissä on useita tällaisia, panee se epäilemään koko juttua.
Kyllä matematiikan kaavoissa saa olla tarkkana, ettei väärinkäsityksiä tai kummastelua synny.
Terve,

No, sun pitää osoittaa, nuo "useampia kohtia" ja "useita tälläisiä" koskevat väitteesi.
Ohman

En ole syyttänyt sinua "vakavista päättelyvirheistä", mutta olen kyllä sitä mieltä, että kun useissa kirjoituksen kaavoissa oli jotain vialla, kirjoituksen kritisointi ei saisi olla kiellettyä.

Jos niissä on "jotain vialla", sinun pitää osoittaa se. Se että mun esitystapa voi olla vaikeasti avautuva tai tiivis, saattaa olla syynä siihen, että et hahmota mahdollisesti täysin sitä mitä kirjoitan. Tässä vaiheessa vasta-argumenttisi ovat vain tunteellista käsien heiluttelua. Uskon, että kun syvennyt kirjoitukseeni, niin huomaat, että siinä on ajatusta. Turhaan nyt mielestäni vänkäät tästä, kun kuitenkin kirjoittelet hyvin monista aiheista.

Ja jos virheitä löytyy, ei muuta kun laitat ne näkyviin. Minä olen tyytyväinen oikaisusta, sillä sillä tavalla keskustelu etenee ja keskustelijat viisastuvat.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Spanish Inquisitor
Terve,

Ohman

No oli siinä kritiikissäni sentään useampia kohtia kuin tuo X1:n luuraaminen.Kun tekstissä on useita tällaisia, panee se epäilemään koko juttua.
Kyllä matematiikan kaavoissa saa olla tarkkana, ettei väärinkäsityksiä tai kummastelua synny.
Terve,

No, sun pitää osoittaa, nuo "useampia kohtia" ja "useita tälläisiä" koskevat väitteesi.
Ohman

En ole syyttänyt sinua "vakavista päättelyvirheistä", mutta olen kyllä sitä mieltä, että kun useissa kirjoituksen kaavoissa oli jotain vialla, kirjoituksen kritisointi ei saisi olla kiellettyä.

Jos niissä on "jotain vialla", sinun pitää osoittaa se. Se että mun esitystapa voi olla vaikeasti avautuva tai tiivis, saattaa olla syynä siihen, että et hahmota mahdollisesti täysin sitä mitä kirjoitan. Tässä vaiheessa vasta-argumenttisi ovat vain tunteellista käsien heiluttelua. Uskon, että kun syvennyt kirjoitukseeni, niin huomaat, että siinä on ajatusta. Turhaan nyt mielestäni vänkäät tästä, kun kuitenkin kirjoittelet hyvin monista aiheista.

Ja jos virheitä löytyy, ei muuta kun laitat ne näkyviin. Minä olen tyytyväinen oikaisusta, sillä sillä tavalla keskustelu etenee ja keskustelijat viisastuvat.

author="" kirjoitti:



Laitoin (paino?)virheet näkyviin. Minun mielestäni oikea vastauksesi olisi ollut jotain tämän tapaista:Olet oikeassa. Sorry, tuli muutama kirjoitusvirhe.

Ei näiden kommenttieni olisi pitänyt antaa antaa aihetta tällaiseen keskusteluun.
Edelleen näyttää siltä, että et lukenut koko juttuani.

Mutta kun sinusta se vaatimus, että matemaattiset kaavat tällaisessa jutussa ovat virheettömiä, on pedanttisuutta, en oikein osaa jatkaa keskustelua. Puhumattakaan siitä, mitä minun opintojeni arvailu kuuluu tähän asiaan.

Ohman

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat