Seuraa 
Viestejä45973

Pitäisi auttaa tytärtä. En osaa. Miten lasketaan?
Mikkelin maantieteelliset koodinaatit ovat noin 61° 45´ N, 27 ° 15´ E. Laske lyhin matka Mikkelistä maapallon pintaa pitkin (R=6 370km)
a) Rhodoksen saarelle (36°15´N, 27° 15´E )
b) Jakutsiin Siperiaan (61° 45´N, 128 ° 30´ E)

Sivut

Kommentit (29)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
eukko
Seuraa 
Viestejä102

Ei ole äidin osakaan aina helppoo...

Varmaan opeteltu on sektorin kaaren laskeminen, kun tiedetään säde ja keskuskulma. Kun tarkkaan tutkii noita koordinaatteja, niin sieltähän se kulma saadaan.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
korant
Googleta pallotrigonometria ja sieltä löytyy tarvittavat kaavat eli pallon cosinilause ja isoympyräetäisyys.

Yritin, sain Rhodokselle matkaa tasan maapallon säteen verran.
Tais mennä vikaan. Sekoitin koordinaatit.

Tässähän toinen koordinaatti on sama kuin Mikkelissä. Sehän tekeekin jutusta aivan yksinkertaisen.
Rhodos 61.75-36.25 = 25.5
Matka 2*pi*6370*25.5/360 = 2835 km

Siperiaan onkin vähän hankalampi. Täytyy varmaan käyttää cosinilausetta.

PPo
Seuraa 
Viestejä14501
Apua_aidille
Pitäisi auttaa tytärtä. En osaa. Miten lasketaan?
Mikkelin maantieteelliset koodinaatit ovat noin 61° 45´ N, 27 ° 15´ E. Laske lyhin matka Mikkelistä maapallon pintaa pitkin (R=6 370km)
a) Rhodoksen saarelle (36°15´N, 27° 15´E )
b) Jakutsiin Siperiaan (61° 45´N, 128 ° 30´ E)

Lukiotehtävä
Rhodokselle mennään pitkin pituuspiiriä 61° 45´ N-36°15´N,
Jakutsiin mennään pitkin isoa ympyrää. Tehtävä on hieman vaikeampi

Apua_aidille
Pitäisi auttaa tytärtä. En osaa. Miten lasketaan?
Mikkelin maantieteelliset koodinaatit ovat noin 61° 45´ N, 27 ° 15´ E. Laske lyhin matka Mikkelistä maapallon pintaa pitkin (R=6 370km)
a) Rhodoksen saarelle (36°15´N, 27° 15´E )
b) Jakutsiin Siperiaan (61° 45´N, 128 ° 30´ E)

b) Muunnetaan nuo suorakulmaiseen x,y,z koordinaatistoon, jossa z-akseli kulkee etelänavalta pohjoisnavalle, ja y-akseli maapallonkeskipisteen sekä mikkelin pituuspiirin kautta.
Mikkeli:
z = 6370km*sin(61.75) = 5611.274 km
x = 0 km
y = 6370km *cos(61.75) = 3015.046 km

Jakutsin:
z = 6370km*sin(61.75) = 5611.274 km
x = 6370km *cos(61.75)*sin(128.5-27.25) = 2957.113 km
y = 6370km *cos(61.75)*cos(128.5-27.25) = -588.206 km

Paikkojen etäisyys suoraa viivaa pitkin on sqrt ( delta_z^2 + delta_x^2 + delta_y^2 ) =
= sqrt(2957.113 ^2 + (3015.046 - -588.206) ^2 ) = sqrt( 2957.113^2 + 3603.252^2) =
= 4661.325 km

Nyt piirretään kolmio, jonka 2 sivua ovat maapallon säteen mittaiset, ja kolmas tuo juuri laskettu. Lasketaan kolmiosta tuon lasketun sivun vastainen kulma, eli maapallon säteiden mittaisten sivujen välinen kulma. Se on samalla keskuskulma ympyräsektorissa, minkä kehämitta on kysytty isoympyräreitin pituus.
Kulma saadaan cosinilauseella 4661.325^2 = 6370^2 + 6370^2 - 2*6370*6370*cos(fi)
josta ratkaistaan cos(fi) = (4661.325^2 - 2*6370^2 ) / -2*6370^2 = 0.732262
joten fi = 42.924 astetta.
Ympyrän kehän pituus on 2*pi*R, joten sektorin kehän pituus = keskuskulma/360 astetta * 2*pi*R = 42.924/360 * 2*pi * 6370 km = 4772 km

Pikkuympyrää pitkin etäisyys olisi ollut 2*pi* (cos(61.75 * 6370 km) * 101.25/360= 5328.027 km, eli isoympyrää pitkin on tietenkin lyhyempi matka, suhteessa 4772/5328 kertainen, eli 89.56% pikkuympyrämatkasta.
Saa tietenkin käyttää myös Greenwitchin kautta kulkevaa y-akselia, jos se tuntuu helpommalta. Ja muutaman kuvan piirtäminen tilanteesta sekä kolmiosta ja ympyräsektorista auttaa varmaankin hahmottamaan asiaa paremmin.

Vaihtoehtoisesti olisi voitu määritellä paikkojen paikkavektorit maapallon keskipisteestä, ja käyttää pistetulon kaavaa kulman laskemiseen, mikäli se on jo opetettu. Silloin ei tarvi edes niitä kuvia, mutta virheitä lienee hankalampi huomata, jos koko homma on täysin abstraktia.

eukko
Seuraa 
Viestejä102

Eikö b-kohta menisi ihan tasogeometriallakin? Halkaistaan maapallo pohjois-etelä-suunnassa, josta voidaan laskea 61,75 asteen leveyspiirin leikkauksen säde. Se on siis toinen ympyrä, josta pituuspiirilukemien erotuksesta saadaan kulma, jonka perusteella taas pituus, joka on kahden paikan etäisyys suoraan maapallon läpi. Siitä taas saadaan ympyräsektori, kuten tuossa edellä on selostettu.

Tuo halkaisemalla saatu ympyrä ei ole isoympyrä mikä antaisi sen lyhimmän reitin. Kyllä siinä on pakko käyttää pallotrigonometriaa (tai kuuklen esittämää tapaa jossa ilmeisesti lasketaan samoin) ja varmasti nuo perusasiat siitä on käsitelty jos tuommoinen kotitehtävä on annettu. Ellei sitten hyväksytä likiarvoa oikeaksi ratkaisuksi. Syntyvä virhe on helppo laskea.

eukko
Eikö b-kohta menisi ihan tasogeometriallakin?

Kyllä, niin sen juuri edellä teinkin. Ensin muunnokset suorakulmaiseen X/Y-tasokoordinaatistoon, koska z-komponentti oli sama, siis delta_z = 0.
ja sitten se tasossa oleva ympyräsektori ja sen osana tasokolmio , minkä asennosta maapalloon nähden ei tarvitse välittää mitään, eikä sitä ole tuossa edes laskettu.

Halkaistaan maapallo pohjois-etelä-suunnassa, josta voidaan laskea 61,75 asteen leveyspiirin leikkauksen säde.

Minkä olin jo yllä laskenut, eli kyseisen pikkuympyrän säde on 6370 km * cos(61.75 astetta) = 3015.046 km

Se on siis toinen ympyrä, josta pituuspiirilukemien erotuksesta saadaan kulma, jonka perusteella taas pituus, joka on kahden paikan etäisyys suoraan maapallon läpi.

Niin, ja miten muuten saat kulman, ja tuon pikkuympyrän säteen avulla suoran etäisyyden, kuin cosinilauseella ?
Jos sitä käytät, niin mitä etua tuossa on verrattuna suorakulmaiseen koordinaatistoon siirtymiseen ?
Eikö cosinilauseen käyttö kahteen kertaan ole vain hitaampi menettely ?
Siitä taas saadaan ympyräsektori, kuten tuossa edellä on selostettu.

Juuri niin, ja se sektori on samassa tasossa kuin se kolmiokin, eli ne voidaan piirtää samaan kuvaan.

Lopuksi voidaan todeta menetelmäsi olevan rajoitettu tilanteeseen, jossa paikat ovat samalla leveyspiirillä, toisin kuin koordinaatistomuunnoksen käyttö. Mikäli eroa vaikeusasteessa ei ole, niin eikö yleisempi tapa kannattaisi opetella mieluummin ?

eukko
Seuraa 
Viestejä102

Juu, menetelmä on juuri tähän tehtävään sovitettu. Eikä siellä tarvittu edes cosinilausetta, vaan sinillä pärjäsi. Vaan totta on, että tietenkin kannattaa opetella kolmiulotteista trigonometriaa. Suosittelen lämpimästi. (Itse olen jo kaiken unohtanut, siksikin ajattelin asiaa minulle itselleni yksinkertaisimman kautta)

mölkhö
Pistetulolla: cos(isoympyrän keskuskulma)=
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... i%2B%28cos61.7sin128.5%29j%2B%28sin61.75%29k%29

kulma=0.74896 rad=> kaaren pituus=R*kulma=4771 km

http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/koord6.html tosta näkee noi kulmat


Tuossa on tullut pieni näppäilyvirhe yllä alleviivattuun kohtaan, mistä korjattuna seuraa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... .75%29k%29
cos (isoympyrän keskuskulma) = 0.732262 , joten kulma = 0.749159 rad
ja kaarenpituus = R * kulma = 4772 km

Tällähän nyt ei sinänsä ollut suuremmin merkitystä, mutta rupesin ihmettelemään yllättävän suurta epätarkkuutta laskussani, minkä syytä ei löytynyt, koska sellaista ei edes ollut.

Joka tapauksessa pistetulon käyttö on huomattavan yksinkertaista ja nopeaa verrattuna noiden kuvien piirtelyyn ja tasogeometrian menetelmien käyttämiseen, eikä mutkistu lähes lainkaan, vaikka ulottuvuuksia lisätään kolmeen saati neljään tai useampaan.

kuukle
mölkhö
Pistetulolla: cos(isoympyrän keskuskulma)=
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... i%2B%28cos61.7sin128.5%29j%2B%28sin61.75%29k%29

kulma=0.74896 rad=> kaaren pituus=R*kulma=4771 km

http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/koord6.html tosta näkee noi kulmat


Tuossa on tullut pieni näppäilyvirhe yllä alleviivattuun kohtaan, mistä korjattuna seuraa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... .75%29k%29
cos (isoympyrän keskuskulma) = 0.732262 , joten kulma = 0.749159 rad
ja kaarenpituus = R * kulma = 4772 km

Tällähän nyt ei sinänsä ollut suuremmin merkitystä, mutta rupesin ihmettelemään yllättävän suurta epätarkkuutta laskussani, minkä syytä ei löytynyt, koska sellaista ei edes ollut.

Joka tapauksessa pistetulon käyttö on huomattavan yksinkertaista ja nopeaa verrattuna noiden kuvien piirtelyyn ja tasogeometrian menetelmien käyttämiseen, eikä mutkistu lähes lainkaan, vaikka ulottuvuuksia lisätään kolmeen saati neljään tai useampaan.


No niinpä olikin. Oli siinä vähän piilossa, etten huomannut, vaikka muutaman kerran otin tarkistuksen varmistuksia. Nyt kun tämä pistetulo on tänne Woframiin näppäilty, niin tätä voi käyttää sitten muissakin etäisyysjutskissa pallopinnalla, kunhan vaan muuttaa kulmat toisiin ja oikein..

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat