Seuraa 
Viestejä937

Kurssillani on todennäköisyys määritelty seuraavasti:

Olkoon Omega perusjoukko. Funktio P:Omega->R on todennäköisyys, jos
1. 0<=P(A)<=1 kaikilla Omegan osajoukoille A.
2. P(Omega)=1
3. P(cup_{i=1}^infty A_i)=sum_{i=1}^\infty P(A_i) kun leikkaukset A_i\cap A_j ovat epätyhjiä.

Edelleen diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio f_X määritellään kaavalla

f_X:R\to R:f_X(x)=P(X=x)

Mitä tämä määritelmä tarkoittaa? Muualla matikan puolella yhtäsuuruusmerkki oli aina funktion ulkopuolella. Nyt kuitenkin tässä väitetään, että satunnaismuuttuja X on yhtäsuuri kuin reaaliluku x, ja että objekti "X=x" on Omegan alkio.

Eli olenko ymmärtänyt määritelmän jotenkin väärin ja notaatio on kunnossa vai onko tuo notaatio virheellinen?

Kommentit (15)

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983

P(X = x) on tapahtuman "X saa arvon x " todennäköisyys. Sikäli tuo funktio on kuvaus R ->R eli ihan hyvin määritelty. Asia erikseen, että tuohan on jatkuville jakaumille 0 eli ei kovin fiksu.
Mutta tuon kai tiedätkin eli mikä tässä on pointti?

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
pöhl
Seuraa 
Viestejä937
Opettaja
Mutta tuon kai tiedätkin eli mikä tässä on pointti?

Tiedät tuon, mutta notaatio ihmetyttää. Valmistuin algebran ja topologian linjalta, eikä muilla kursseilla kuin todennäköisyyslaskennassa tullut vastaan notaatiota tyyliin f(V=v)=jotain tai edes f(v\in V). Esimerkiksi lineaarialgebrassa määriteltiin erikseen, että v on V:n alkio ja sanottiin f(v)=jotain. Miksi kuitenkin todennäköisyyslaskennassa käytetään notaatiota P(X=3)=9/10?

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Puuhikki
Opettaja
Mutta tuon kai tiedätkin eli mikä tässä on pointti?

Tiedät tuon, mutta notaatio ihmetyttää. Valmistuin algebran ja topologian linjalta, eikä muilla kursseilla kuin todennäköisyyslaskennassa tullut vastaan notaatiota tyyliin f(V=v)=jotain. Esimerkiksi lineaarialgebrassa määriteltiin erikseen, että v on V:n alkio ja sanottiin f(v)=jotain. Miksi kuitenkin todennäköisyyslaskennassa käytetään notaatiota P(x=3)=9/10?
author="" kirjoitti:



Tnlaskennassa käytetään usein lyhennettä (X = 3) tarkoittamaan niiden Omegan elementtien joukkoa, joissa satunnaismuuttuja X saa arvon 3.Tämä on siis Omegan osajoukko, ei välttämättä yksittäinen alkio. Tämänhän Opettajakin oikeastaan jo totesi.

Itse tn määritellään mittateoreettisena käsitteenä, joka täyttää tietyt ehdot.Tnavaruudessa Omega annetaan ns.sigma-kunta, joka on tietyt ehdot täyttävä Omegan osajoukkojen joukko. Kaikkien osajoukkojen ei välttämättä tarvise kuulua siihen. Mutta en nyt rupea tässä esitelmöimään. Kurssisi lienee jonkinlainen alkeiskurssi, jossa todennäköisyyksiä ei lähdetä johtamaan näistä mittateoreettisista käsitteistä lähtien (vrt. Kolmogorovin aksioomat).

Jotkut (esim. Halmos) käyttävät myös nimitystä sigma-algebra (joka taas on sigma-rengas, johon kuuluu myös itse Omega)

Ohman

pöhl
Seuraa 
Viestejä937
Ohman
Kurssisi lienee jonkinlainen alkeiskurssi, jossa todennäköisyyksiä ei lähdetä johtamaan näistä mittateoreettisista käsitteistä lähtien (vrt. Kolmogorovin aksioomat).

Totta. Opiskelu on vaan raskaampaa kuin matikan opiskelu, kun tarkkuudesta tingitään. Opiskelen lähinnä parantaakseni mahdollisuuksia saada töitä. Tosin en tiedä auttaako se, kun olen näiden notaatioiden kanssa välillä pihalla kuin lumiukko.

Mittateoreettinen lähestymistapa on mukavampi. Löysin aika hyvän kirjan osoitteesta

http://math.nenu.edu.cn/uploads/soft/12 ... erence.pdf

mutta siinäkin on sivulla 28 annettu tuo notaatio melko suoraan.

Terve,

Puuhikki

Mitä tämä määritelmä tarkoittaa? Muualla matikan puolella yhtäsuuruusmerkki oli aina funktion ulkopuolella. Nyt kuitenkin tässä väitetään, että satunnaismuuttuja X on yhtäsuuri kuin reaaliluku x, ja että objekti "X=x" on Omegan alkio.
Eli olenko ymmärtänyt määritelmän jotenkin väärin ja notaatio on kunnossa vai onko tuo notaatio virheellinen?

Notaatio on kyllä virheellinen, jos sille ei ole annettu mitään selittävää määritelmää Yhtälö X = x sellaisenaan on puhdasta puppua. Nämä on näitä tn-laskennan omia merkintöjä, jotka usein vähentävät kirjoitustyötä, mutta tuovat mukanaan juuri ylläolevan kaltaista sekaannusta.

Kuitenkin useimmat oppikirjat, määrittelevät Ω:n osajoukon {X = x} asettamalla:

{X = x} = {ω∈Ω| X(ω) = x}.

ja sitten todennäköisyyden:

P({X = x}) = P({ω∈Ω| X(ω) = x}), tämä on myös usein lyhyessä muodossa P(X = x)

ja pistetodennäköisyysfunktion:

f_X (x) = P({ω∈Ω| X(ω) = x}).

Esimerkiksi kirjat Elfing& Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II ja Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I määrittelevät kyllä tälläiset {X = x}, {a < X < b}, {X < b} jne. ylläolevaan tapaan. Tsekkaa se kurssimateriaali, josko siellä on näitä määritelty ja anna palautetta kurssinpitäjälle jos ei nitä ole mainittu.

Puuhikki

Miksi kuitenkin todennäköisyyslaskennassa käytetään notaatiota P(x=3)=9/10?

Luulen , että loppujen lopuksi tälläinen P(x=3) merkintä on hyvin havainnollinen ja kätevä käytännössä.

EDIT: Poistettu ylimääräinen kaarisulku.

Volta
Seuraa 
Viestejä123
Puuhikki
Kurssillani on todennäköisyys määritelty seuraavasti:

Olkoon Omega perusjoukko. Funktio P:Omega->R on todennäköisyys, jos
1. 0<=P(A)<=1 kaikilla Omegan osajoukoille A.
2. P(Omega)=1
3. P(cup_{i=1}^infty A_i)=sum_{i=1}^\infty P(A_i) kun leikkaukset A_i\cap A_j ovat epätyhjiä.

Edelleen diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio f_X määritellään kaavalla

f_X:R\to R:f_X(x)=P(X=x)

Mitä tämä määritelmä tarkoittaa? Muualla matikan puolella yhtäsuuruusmerkki oli aina funktion ulkopuolella. Nyt kuitenkin tässä väitetään, että satunnaismuuttuja X on yhtäsuuri kuin reaaliluku x, ja että objekti "X=x" on Omegan alkio.

Eli olenko ymmärtänyt määritelmän jotenkin väärin ja notaatio on kunnossa vai onko tuo notaatio virheellinen?


Saitkin jo hyvin vastauksia, mutta tosiaan kun muistaa mikä on satunnaismuuttujan määritelmä niin merkintä on aika selkeä. Satunnaismuuttuja on oikeasti funktio X(omega) eventtiavaruudelta reaalivektoreille ja merkintä X=x tarkoittaa X^{-1}(x), jossa X^{-1} on X:n käänteisfunktio. Funktio X on määritelty kaikille sigma-algebran (tai kunnan jos siitä nimestä tykkää) alkioille.

Sovelletuilla aloilla tyypillinen merkintätapa on vaan P(x), jolla oikeastaan tarkoitetaan sitä todennäköisyysfunktiota. Ja todennäköisyystiheyttäkin merkitään usein samoin.

pöhl
Seuraa 
Viestejä937

Vastaukset olivat hyviä, kiitos niistä. Kumpa tietäisin, kumpi olisi työllistymisen kannalta tärkeämpää. Opetella kurssien käyttämään kurssien asioita vai opetella asiat aksiomaattisesti, esimerkiksi kirjasta http://www.amazon.com/Probability-Path- ... 081764055X tai prujusta.

Spanish Inquisitor

Tsekkaa se kurssimateriaali, josko siellä on näitä määritelty ja anna palautetta kurssinpitäjälle jos ei nitä ole mainittu.

En usko palautteen auttavan, kun kurssin lähtötasoksi on tarkoitettu lukion lyhyt matikka. Esimerkiksi kommentoin uskottavuusfunktion kohdalla, että miksi voidaan merkitä f(x_1,...,x_n;theta)=prod_i f(x_i;theta) vaikka f:n parametrien lukumäärä vaihtelee, mutta tämä sivuutettiin sanomalla, että kyse on kirjallisuudessa esiintyvästä standardista. Ja tuollainen puolipiste keskellä funktion parametreja jäi mulle mysteeriksi.

heskam
Seuraa 
Viestejä935

Jos P on sigma-algebran todennäköisyysmitta, niin satunnaismuuttuja S indusoi uuden todennäköisyysmitan f reaalilukuosajoukolta -> [0,1].
On siis kaksi tn-jakaumaa.
S on kuvaus, jolloin S=a identifioituu sekä a:ksi, että a:n alkukuvajoukoksi {w|S(w) = a} alkuperäisessä sigma-algebrassa.. Voidaan operoida joko tiheysfunktiolla tai alkuperäisellä todennäköisyydellä.
Esim. kahden nopan heitto, S kuvaus "kahden nopan silmälukujen summa"

esim. S=5 antaa alkukuvanaan {(4,1),(1,4),(2,3),(3,2)}, josta f:(5) voidaan konstruoida P:n avulla.

Kaupungin populaatiosta on mukavampi käyttää jakaumaa f, kuin alkuperäista P:tä, jolloin voidaan suoraan käyttää esim normaalisuusoletuksia yms. "pituusjakauma","painojakauma" jne.

Kaksi noppaa:
Perusjoukko = 6x6 = karteesinen tulo, jossa 36 alkiota, tn/alkio = 1/36
Sigma-algebra = potenssijoukko.
mitta #: "counting measure" laskee joukon alkioiden lukumäärän.

#(E=perusjoukko) = 36
#(A) = #({(1,1),(2,2)}) = 2

P(A) = #(A) /#(E) = 2/36

S: s(x,y) = x+y

f: n arvojoukko 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

f:n alkukuvat (joukkosulut jätetty pois):
2: (1,1) 1kpl
3: (1,2),(2,1) 2kpl
4: (1,3),(3,1),(2,2) 3kpl
5: ... 4kpl
6: ... 5kpl
7: ((6,1),(1,6),(5,2),(2,5),(4,3),(3,4),(3,3) 6kpl
8: ... 5kpl
9: ... 4kpl
10: ... 3kpl
11: ... 2kpl
12: (6,6) 1kpl

P(S=5) = 4/36 = 1/9.

Alkukuvajoukko muodostaa ns. pistevieraan jaon. eli alkeistapahtuma kuuluu vain yhteen alkukuvajoukkoon.

Eli P(S=x) on itse asiassa P(S^-1(x)) eli pisteen x alkukuvajoukon todennäköisyys.

Vasen notaatio on ehkä miellyttävämpi käyttää. Koko juttu tietysti kumpuaa kuvauksen määritelmästä:

Moni alkupiste voi kuvautua yhdeksi pisteeksi, mutta yksi piste ei voi kuvautua useammaksi pisteeksi.

Jokainen alkupiste kuvautuu yhdeksi pisteeksi.

Volta
Seuraa 
Viestejä123
Puuhikki
Vastaukset olivat hyviä, kiitos niistä. Kumpa tietäisin, kumpi olisi työllistymisen kannalta tärkeämpää. Opetella kurssien käyttämään kurssien asioita vai opetella asiat aksiomaattisesti, esimerkiksi kirjasta http://www.amazon.com/Probability-Path- ... 081764055X tai prujusta.

Yleisesti ottaen aksiomaattisten määritelmien tunteminen helpottaa kokonaisuuden ymmärtämistä. Mutta jos aiot laskea todennäköisyyslaskennalla jotain (esim. töissä), pitää sinun kuitenkin opiskella se ei-aksiomaattinen käytännön puoli. Jos aksiomaattisesta ja käytännöstä pitää valita, kannattaa käytäntö valita. Ei se hirveästi auta töissä, jos tiedät mikä on satunnaismuuttujan sigma-algebrallinen määritelmä, jos tehtävänäsi on laskea vaikka jonkun järjestelmän vikaantumistodennäköisyys. Tai analysoida regressioanalyysilla giga dataa.

pöhl
Seuraa 
Viestejä937
Abbath
Mutta jos aiot laskea todennäköisyyslaskennalla jotain (esim. töissä), pitää sinun kuitenkin opiskella se ei-aksiomaattinen käytännön puoli.

Totta. Ensiksi opettelen sen, miten asiat tehdään käytännössä. Kyllähän siihenkin menee aikaa, kun opettelee vaikkapa eri testien käyttötarkoituksen ja sen, miten testit tehdään vaikkapa Sagella, Excelillä tai R:llä. Mutta on ihan mielenkiintoista tietää myös teoreettinen pohja kaikelle todennäköisyyskoneistolle. Lisäksi jos joskus tulee tilanne, että nykyiset testit ei sovellu kyseessä olevaan ongelmaan, voi joutua miettimään perustuloksista, millainen testi kannattaa kyseiseen tilanteeseen kehittää.

Volta
Seuraa 
Viestejä123
Puuhikki
Abbath
Mutta jos aiot laskea todennäköisyyslaskennalla jotain (esim. töissä), pitää sinun kuitenkin opiskella se ei-aksiomaattinen käytännön puoli.

Totta. Ensiksi opettelen sen, miten asiat tehdään käytännössä. Kyllähän siihenkin menee aikaa, kun opettelee vaikkapa eri testien käyttötarkoituksen ja sen, miten testit tehdään vaikkapa Sagella, Excelillä tai R:llä. Mutta on ihan mielenkiintoista tietää myös teoreettinen pohja kaikelle todennäköisyyskoneistolle. Lisäksi jos joskus tulee tilanne, että nykyiset testit ei sovellu kyseessä olevaan ongelmaan, voi joutua miettimään perustuloksista, millainen testi kannattaa kyseiseen tilanteeseen kehittää.

Mutta kannattaa muistaa, että todennäköisyyslaskenta ei ole pelkästään tilastollisia testejä, vaan se on jopa hieman harhaanjohtava tapa käyttää tilastotiedettä. Testit antavat hyvin suppean näkemyksen, joskin kyllä niiden periaatteet ovat tärkeitä opetella. Ns. probabilistinen tai siis bayesilainen tilastotiede antaa huomattavasti paremman näkökulman myös tilastollisiin testeihin kuin kokkikaavatestit. Myös regressioanalyysi, siinä muodossa kuin se on esimerkiksi koneoppimisessa, on erittäin hyödyllinen käytännön näkökulma aiheeseen. Samoin kuin tilastollinen signaalinkäsittely.

pöhl
Seuraa 
Viestejä937
Abbath
Mutta kannattaa muistaa, että todennäköisyyslaskenta ei ole pelkästään tilastollisia testejä, vaan se on jopa hieman harhaanjohtava tapa käyttää tilastotiedettä.

Muistan toki. Eiköhän tilastotieteessä riitä loppuelämäksi opeteltavaa. Ajattelin lukea nyt avoimessa yliopistossa approbaturin, ja sitten katselen yliopistojen sivulta cum laude -kurssien sisältöjä.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat