Seuraa 
Viestejä9

Voisiko joku esimerkin avulla näyttää miten Taylorin polynomin jäännöstermi muodostetaan?

Kommentit (4)

pöhl
Seuraa 
Viestejä936

Siis jäännöstermi on vain sarja niistä lopuista termeistä. Esimerkiksi jos funktion f(x) Taylorin polynomi on P(x), niin jäännöstermi on f(x)-P(x). On sille myös olemassa toisia esitysmuotoja, kuten vaikkapa Lagrangen muoto, mutta kysymyksen perusteella en osaa sanoa, millaiseen muotoon haluat jäännöstermin.

Edit. Linkki poistettu haittaohjelman takia.

matriisi
Seuraa 
Viestejä9

Tarkoitin onko olemassa joku kaava, jolla voidaan muodostaa jäännöstermin lauseke. Kuten
Taylorin polynomin muodostamiseen on kaava Pn(x) = f(a) + f′(a)(x − a) +...+(fn(a))/(n!)(x-a)^n
(fn=f:n n kertainen derivaatta)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Ohman
Seuraa 
Viestejä1637

On olemassa Taylorin lause, joka sanoo, että jos funktio f(x) ja sen n ensimmäistä derivaattaa ovat jatkuvia suljetulla välillä (a,x), niin on voimassa yhtälö

(A) f(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + f''(a) / 2! (x-a)^2+...+(f(n-1)) (a)/(n-1)! (x-a)^(n-1)
+ Rn(x;a) = T(n-1)(x;a) + Rn(x;a) , missä T(n-1) on tuo Taylorin polynomi astetta n-1) ja johon sisältyvä jäännöstermi Rn(x;a) voidaan kirjoittaa

(B) Rn(x;a) = (fn)(c)/n! (x-a)^n.

Tuossa c on a:n ja x:n välissä oleva, a:sta,x:stä ja n:stä riippuva luku. Käytin tuota samaa korkeamman derivaatan merkintää kuin sinäkin.

Tuo jäännöstermi on Lagrangen.Cauchyn kaava jäännöstermille on

(C) Rn(x;a) = (fn)(c)/(n-1)! (x-c)^(n-1) (x-a) ( c on a:n ja x:n välissä).

Kolmas jäännöstermin lauseke, niinikään Lagrangen johtama, on

(D) Rn(x;a) = (1/(n-1)! Integraali(a:sta x:ään) ((fn)(t) (x-t)^(n-1)) dt

Kun B ja C riippuvat tuntemattomasta muuttujanarvosta c niin (D) on täsmällinen jäännöstermin ilmaisu.

Kaavat esiintyvät joskus vähän eri muodoissa, voidaan esim. kirjoittaa c =
a + u(x-a) (0 < u < 1) ja saada kaavat vähän eri näköisiksi. Sitten on vielä esim.
Sclömilchin ja Rochen kaava josta saadaan tietyllä parametrin arvolla Lagrangen muoto ja tietyllä toisella Cauchyn lauseke.

No eiköhän tuota pakerrusta ollut jo tarpeeksi. Päähuomautukseni tulee nyt.

Jos f(x) on jatkuva ja sillä on jatkuvat kaikkien kertalukujen derivaatat jollain välillä joka sisältää arvon a, niin voidaan Taylorin kaavaa

f(x) = T(n-1)(x;a) + Rn(x;a)

käyttää jokaisella tuon välin sisäpuolella olevalla arvolla x valittakoon miten suuri n hyvänsä.

Taylorin sarja on

f(a) + f'(a) (x-a) + f''(a) / 2! (x-a)^2 +...+(fn)(a) / n! (x-a)^n+...

Jos muodostetaan Taylorin sarja ,jonka n:n ensimmäisen termin summa on tuo Taylorin polynomi T(n-1)(x;a), ei riitä, että Taylorin sarja suppenee. Jotta Taylorin sarja suppenisi kohti tuota funktiota f(x) täytyy suoraan näyttää, että jäännöstermi

Rn(x;a) = f(x) - T(n-1) (x;a)

kysymyksessä olevalla x:n arvolla lähenee nollaa kun n kasvaa rajatta.Tällöin tuo jäännöstermi voidaan ilmaista Taylorin sarjan sen osan summana, joka seuraa polynomin T(n-1) (x;a) termien jälkeen eli

Rn(x;a) = (fn)(a) / n! (x-a)^n + (f(n+1))(a) / (n+1)! (x-a)^(n+1)+...

Tästä voi saada tarkemman jäännöstermin arvion kuin noista aiemmista lausekkeista.

Olennaista tässä oli nyt se, että kuten edellä sanoin, pelkkä Taylorin sarjan suppeneminen ei riitä.

Näitä oppeja kannattaisi kyllä hankkia jostain hyvästä oppikirjasta.

Ohman

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat