Seuraa 
Viestejä53

Moro!

On nyt ongelmaksi muodostunu integraalilaskennassa sanallisten tehtävien laskeminen.
Perus muunnokset ja tuommoiset onnistuu. Mutta sanallisissa tehtävissä en vaan osaa muodostaa integraalilauseketta yms.

Esim tämä.

Pystysuorassa putkessa on kaasua jonka tiheys p(h) korkeuden h funktiona on

p(h)= po * e ^ ( -λ*h)

missä po= 3kg/m^3 ja λ = 0,3/m
a) Määritä likiarvo putkessa olevan kaasun massalle, kun poikkileikkaukseltaan ympyrän muotoisen putken halkaisija on 0,5 m ja putken korkeus 7m.

Vastaus: 1,7230527 kg

b) Esitä kaasun massa integraalilausekkeena.

vastaus: (int 0-7m) pii * 0.25^2 m^2 * po * e ^ ( -λ*h) dh

a) Hankalaa päästä alkuun.

Jos massa m=pV

Tilavuus V= pii*(0.25m)^2 * h (= 1,37445 m^3)

Eikö integraalilauseke ole sitten

m=(int 0-7m) V * p(h)
eli
m=(int 0-7m) pii*(0.25m)^2 * h * po * e ^ ( -λ*h) dh ??

Miksi tuota tilavuudessa esiintyvää korkeutta ei oteta huomioon tai mukaan tuohon oikeaan vastaukseen? Argh. toivottavasti joku ymmärsi mistä kiiskastaa

Sivut

Kommentit (16)

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
tamdin
Moro!

On nyt ongelmaksi muodostunu integraalilaskennassa sanallisten tehtävien laskeminen.
Perus muunnokset ja tuommoiset onnistuu. Mutta sanallisissa tehtävissä en vaan osaa muodostaa integraalilauseketta yms.

Esim tämä.

Pystysuorassa putkessa on kaasua jonka tiheys p(h) korkeuden h funktiona on

p(h)= po * e ^ ( -λ*h)

missä po= 3kg/m^3 ja λ = 0,3/m
a) Määritä likiarvo putkessa olevan kaasun massalle, kun poikkileikkaukseltaan ympyrän muotoisen putken halkaisija on 0,5 m ja putken korkeus 7m.

Vastaus: 1,7230527 kg

b) Esitä kaasun massa integraalilausekkeena.

vastaus: (int 0-7m) pii * 0.25^2 m^2 * po * e ^ ( -λ*h) dh

a) Hankalaa päästä alkuun.

Jos massa m=pV

Tilavuus V= pii*(0.25m)^2 * h (= 1,37445 m^3)

Eikö integraalilauseke ole sitten

m=(int 0-7m) V * p(h)
eli
m=(int 0-7m) pii*(0.25m)^2 * h * po * e ^ ( -λ*h) dh ??

Miksi tuota tilavuudessa esiintyvää korkeutta ei oteta huomioon tai mukaan tuohon oikeaan vastaukseen? Argh. toivottavasti joku ymmärsi mistä kiiskastaa

author="" kirjoitti:

Se putken tilavuuselemennti dV = pii*0,25^2 * dh ja massan "elementti" siis
dm = p0*e^(- l h) dV (tuota lambdaa en saanut aikaiseksi joten laitoin siihen l-kirjaimen).

Tuo integroidaan sitten välillä 0 <= h <= 7.

Ohman

Lisään vielä selitystä. dV on sen putkenpalasen tilavuus, jonka pohja on pii*0.25^2 ja korkeus on dh, e i s i i s h.

Ohman

tamdin
Seuraa 
Viestejä53

Ah niin tietenkin. Nyt sain tehtyä 3 seuraavaakin kiitos.

Mites tämmöset integraalin keskiarvot

http://tinypic.com/r/1675ncx/6

tossa on tehtävät 3 ja 4. a) kohdat

3) kaava on siis 1/ (b-a) (int a->b) u(t) dt . eikö

välillä [ 0 , T2] -> 1/ (T2-0) ( int 0-T2 ) uo*t dt

mutta miten tämä pitäisi nyt merkata? kun tuon alueen 0-T1 pinta-ala on uo * T1 .

Analyysin peruslauseen avulla? En oikeen osaa kirjoittaa näitä puhtaiksi. Oikea vastaus on siis T1/T2 * uo..

Ymmärrän esim jos lasketaan keskiarvo f(x) =x ^3 välillä [0,2]

saadaan 1/ (2-0) (int 0-2) x^3 dx
= 1/2 (int 0-2) 1/4 x^4
=1/2 * (1/4*2^4) - ( 0)
= 2

Miten tässä tehtävässä otetaan tuo kohta x^3 -> 1/4x^4 huomioon?

4) sama homma

1/ T (int 0-T) u(t) dt

=> 1/T (int0-T) uo*1/2 * T
=> 1/T * ( uo*1/2*T)
=uo/2

Voiko suoraan laskea noin? (vastaus on oikein) vai onko tossa tehty laittomuuksia. Hieman paha kyllä koneella kirjoitella..

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
tamdin
Ah niin tietenkin. Nyt sain tehtyä 3 seuraavaakin kiitos.

Mites tämmöset integraalin keskiarvot

http://tinypic.com/r/1675ncx/6

tossa on tehtävät 3 ja 4. a) kohdat

3) kaava on siis 1/ (b-a) (int a->b) u(t) dt . eikö

välillä [ 0 , T2] -> 1/ (T2-0) ( int 0-T2 ) uo*t dt

mutta miten tämä pitäisi nyt merkata? kun tuon alueen 0-T1 pinta-ala on uo * T1 .

Analyysin peruslauseen avulla? En oikeen osaa kirjoittaa näitä puhtaiksi. Oikea vastaus on siis T1/T2 * uo..

Ymmärrän esim jos lasketaan keskiarvo f(x) =x ^3 välillä [0,2]

saadaan 1/ (2-0) (int 0-2) x^3 dx
= 1/2 (int 0-2) 1/4 x^4
=1/2 * (1/4*2^4) - ( 0)
= 2

Miten tässä tehtävässä otetaan tuo kohta x^3 -> 1/4x^4 huomioon?

4) sama homma

1/ T (int 0-T) u(t) dt

=> 1/T (int0-T) uo*1/2 * T
=> 1/T * ( uo*1/2*T)
=uo/2

Voiko suoraan laskea noin? (vastaus on oikein) vai onko tossa tehty laittomuuksia. Hieman paha kyllä koneella kirjoitella..

author="" kirjoitti:



Kohta 3:

keskiarvo on 1/T2 * Int(0<= t <= T2) u(t) dt, missä
u(t) = u0 kun 0<=t<=T1 ja u(t) = 0 kun T1<=t<=T2.

Siis tuo keskiarvo on 1/T2 *u(0) * T1 = u0 * T1 / T2

Kohta 4:

Välillä (0<=t<=T) u(t) = (u0 / T) * t ja keskiarvo on

1/T * Int(0<=t<=T) (u0/T)*t dt = u0/T * 1/2 * T^2 = u0 * T/2.

Tuossa sinun x^3 esimerkissäsi pitäisi olla

1/(2 - 0) * Int(0<=x<=2) x^3 dx = 1/2 * Sijoitus(nollasta kahteen) x^4/4 = 2.

Noissa kohtien 3 ja 4 ratkaisuissani tein tuon sijoituksen suoraan integroituani sen u(t)-funktion, kirjoittamatta siis tätä välivaihetta näkyviin.

Taisin lukea tämän juttusi vähän myöhään mutta vastasin nyt kuitenkin.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
tamdin
Joo kiitos!

Nyt vielä vähän kaivelee tuo

b) Esitä kaasun massa integraalilausekkeena.

vastaus: (int 0-7m) pii * 0.25^2 m^2 * po * e ^ ( -λ*h) dh




Miksi tuolla on m^2 ?
author="" kirjoitti:



Taidatkin pilailla. Tuo m^2 tarkoittanee tuossa neliömetriä.Samoin tuossa integraalin rajassa olet kirjoittanut 7 m eli 7 metriä. Joihinkin kohtiin olet pannut nuo dimensiot mukaan, toisiin taas et, tiheyden dimensiota et ole pannut mukaan. Ei niitä tässä integroinnissa pidä kiikutella mukana. Lopputuloksesta voi tietysti tarkastaa,että dimensio on oikea.

Ohman

tamdin
Seuraa 
Viestejä53

Ärsyttää vaivata kokoajan mutta oppikirjaa en ymmärrä, koska välivaiheet puuttuu.

Ongelmana : (int) f´ ( g(x) ) * g´ (x) dx = f(g(x))

tämän ymmärtäminen/käyttäminen sekä vakioiden "järjestäminen" lausekkeeseen

Esimerkiksi :

Määritä integraali

(int) x / ( sqroot( 5x^2 +4 ) ) dx

Eli siistitään

=(int) x * (5x^2 +4 ) ^( - 1/2 ) dx

Eli nyt vaikka ulkofunktio. positiivinen 1/2 derivoituu -1/2 :seen.
järjestetäänkö nyt näin

= (int) 1/2 * 2 *x ( 5x^2 +4 )^(-1/2) dx ?

ei helevata.. ei mun varmaan kannata puolta sivua kirjottaa näitä ehdotuksia..

Jos joku viitsis vaihevaiheelta vähän avata tuon integrointia..

Kiitän!

tamdin
Ärsyttää vaivata kokoajan mutta oppikirjaa en ymmärrä, koska välivaiheet puuttuu.

Ongelmana : (int) f´ ( g(x) ) * g´ (x) dx = f(g(x))

tämän ymmärtäminen/käyttäminen sekä vakioiden "järjestäminen" lausekkeeseen

Esimerkiksi :

Määritä integraali

(int) x / ( sqroot( 5x^2 +4 ) ) dx

Eli siistitään

=(int) x * (5x^2 +4 ) ^( - 1/2 ) dx

Eli nyt vaikka ulkofunktio. positiivinen 1/2 derivoituu -1/2 :seen.
järjestetäänkö nyt näin

= (int) 1/2 * 2 *x ( 5x^2 +4 )^(-1/2) dx ?

ei helevata.. ei mun varmaan kannata puolta sivua kirjottaa näitä ehdotuksia..

Jos joku viitsis vaihevaiheelta vähän avata tuon integrointia..

Kiitän!




Noin tuota antakaas kun vanha kustaa vähän verestää...

merkitään f(x)=5x^2+4, jolloin f`(x)=10x

Kyseessä siis I(x/sqrt(5x^2+4)dx = I(1/10 * 10x/sqrt(5x^2+4))dx =

1/10*I(f`(x)*(f(x))^(-1/2))dx = 1/10* f(x)^(1/2)*2=1/5*sqrt(f(x))

=1/5*sqrt(5x^2+4)

heskam
Seuraa 
Viestejä935

Joo. Mallaa toi x ton sisäfunktion derivaataksi muuttamatta lausekkeen arvoa:

sisäfunktio:
g:x -> 5x^2 +4
g'(x) = d5x^2/dx = 10*x
ulkofunktio:
f':g -> g^-½
f(g)=g^1/2/½

x / ( sqroot( 5x^2 +4 ) ) =
(1/10)*10x/ sqroot(5x^2 +4)
jne. kuten edellä

(Ehkä tämä ei ollut tarpeen)

tr3me
Seuraa 
Viestejä20

kyllä alan saada koppia, mutta vielä vähän epämäärästä kyll'ä.

Jos on tälläinen

(int 0->1 ) (2x^2+1)^3 dx

Niin osasin tämän laskea siten että avasin vaan ton potenssin auki muotoon

(int 0->1) (2x^2+1)(2x^2+1)(2x^2+1) dx ja tosta vielä laskin auki ja siitä integroin.

mutta haluan myös laskea tolla äskeisellä tavalla

eli sisäfunktio g'(x) = 4x

ja ulkofunktio f(x) =>g^ ( 3+1)

Tässä vaikein vaihe ymmärtää jos ei mene näin.

(int 0-1 ) 1/4 * 4 * 1/4* 4* (2x^2+1)^3 dx

1/4 * 1/4 (int 0-1) 4 * 4 (2x^2 +1)^3 dx

= 1/16 * ( 2x^2 + 1) ^4 + C ?

= 1/16 * (( 2*1^2 +1)^4 - (2*0+ 1)^4 )

= 5 joka on väärin..........!

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
tamdin
Ärsyttää vaivata kokoajan mutta oppikirjaa en ymmärrä, koska välivaiheet puuttuu.

Ongelmana : (int) f´ ( g(x) ) * g´ (x) dx = f(g(x))

tämän ymmärtäminen/käyttäminen sekä vakioiden "järjestäminen" lausekkeeseen




Yhdistetyn funktion f(g(x)) derivaatta x:n suhteen saadaan ns. ketjusäännöllä:

d(f(g(x)) = f'(g(x) * g'(x).

Koska Int(d(f(g(x))) = f(g(x)) + C (C integroimisvakio) saadaan siis tuosta ketjusääntökaavasta tuo etsimäsi tulos. Lisäsin nyt vain tuon integroimisvakion, joka eliminoituu silloin, jos kyseessä on jonkin intervallin yli otettu määrätty integraali.

Joillekin tuottaa vaikeuksia soveltaa tuota ketjusääntöä. Otan esimerkin:

f(x) = x^3 ja g(x) = sin(x). f(g(x) = (sin(x))^3

f'(x) = 3 x^2 ja d sin(x) = cos(x)

df(g(x)) = 3 (sin(x)^2) * cos(x)

Lasketaan siis ensin f:n derivaatta pisteessä x ja siihen sitten sijoitetaan x:n paikalle tuo g(x).Tämä sitten kerrotaan g:n derivaatan arvolla pisteessä x.

Toinen esimerkki:

f(x) = 3x^2 +2x + 7 g(x) = 2x^2 +5

f'(x) = 6x +2, f'(g(x)) = 6 (2x^2 + 5) + 2 = 12x^2 + 32

g'(x) = 4x ja siis d(f(g(x)) = (12x^2 + 32) * 4x = 48 x^3 + 128 x

Jos lasket ilman ketjusääntöä,siis sijoittaen alunperin g:n f:ään, saat

f(g(x)) = 3(2x^2+5)^2 + 2(2x^2 + 5) + 7 = 12x^4 + 64 x^2 + 92 ja

d(f(g(x)) = 48 x^3 + 128 x

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
tr3me
kyllä alan saada koppia, mutta vielä vähän epämäärästä kyll'ä.

Jos on tälläinen

(int 0->1 ) (2x^2+1)^3 dx

Niin osasin tämän laskea siten että avasin vaan ton potenssin auki muotoon

(int 0->1) (2x^2+1)(2x^2+1)(2x^2+1) dx ja tosta vielä laskin auki ja siitä integroin.

mutta haluan myös laskea tolla äskeisellä tavalla

eli sisäfunktio g'(x) = 4x

ja ulkofunktio f(x) =>g^ ( 3+1)

Tässä vaikein vaihe ymmärtää jos ei mene näin.

(int 0-1 ) 1/4 * 4 * 1/4* 4* (2x^2+1)^3 dx

1/4 * 1/4 (int 0-1) 4 * 4 (2x^2 +1)^3 dx

= 1/16 * ( 2x^2 + 1) ^4 + C ?

= 1/16 * (( 2*1^2 +1)^4 - (2*0+ 1)^4 )

= 5 joka on väärin..........!

author="" kirjoitti:



Tuo lauseke (2x^2 + 1)^3 olisi pitänyt saattaa tuohon muotoon

f'(g(x)) g'(x),

jolloin sen integraalifunktio olisi fg + C. Tätähän sinä et ollenkaan tehnyt vaan laskeskellut ihan jotain muuta.

Tuo lausekkeesi on yhdistetty funktio f(g(x)), missä f(x) = x^3 ja g(x) = 2x^2 + 1.

Mutta eihän tämän integraalia saada tuolla ketjusäännöllä.Sinun pitäisi löytää sellaiset funktiot f ja g, että

f'(g(x)) * g'(x) = (2x^2 + 1) ^3,

jolloin olisi

d(f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x). Tällöin olisi Int(d(f(g(x))) = f(g(x)) eli saataisiin laskettua tuon funktion (2x^2 + 1)^3 integraali sijoittamalla g:n lauseke f:ään muuttujan x paikalle.

Eiköhän sinun ole viisainta vain "laskea auki" ja integroida tässä tapauksessa.

Ohman

PPo
Seuraa 
Viestejä14507
tr3me
kyllä alan saada koppia, mutta vielä vähän epämäärästä kyll'ä.

Jos on tälläinen

(int 0->1 ) (2x^2+1)^3 dx

Niin osasin tämän laskea siten että avasin vaan ton potenssin auki muotoon

(int 0->1) (2x^2+1)(2x^2+1)(2x^2+1) dx ja tosta vielä laskin auki ja siitä integroin.

mutta haluan myös laskea tolla äskeisellä tavalla

eli sisäfunktio g'(x) = 4x

ja ulkofunktio f(x) =>g^ ( 3+1)

Tässä vaikein vaihe ymmärtää jos ei mene näin.

(int 0-1 ) 1/4 * 4 * 1/4* 4* (2x^2+1)^3 dx

1/4 * 1/4 (int 0-1) 4 * 4 (2x^2 +1)^3 dx

= 1/16 * ( 2x^2 + 1) ^4 + C ?

= 1/16 * (( 2*1^2 +1)^4 - (2*0+ 1)^4 )

= 5 joka on väärin..........!


Taulukosta löytyy funktion potenssin integroimiskaava
int(f ' *f^n)=1/(n+1)*f^(n+1)+C
Tässä tehtävässä integroitavasta lausekkeesta puuttuu kantaluvun derivaatta, kuten Ohman jo selvittikin, joten tätä kaavaa ei voi soveltaa.
Ainoa ratkaisu on potenssin muuttaminen polynomiksi kuten olet tehnytkin.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat